数学单元检测：第三章导数及其应用

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精数学人教B选修1—1第三章导数及其应用单元检测（时间：90分钟满分：100分)一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分,共50分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．已知f（x)在x＝x0处可导,则()A．f′（x0）B．f′(x0）C．2f′（x0）D．4f′(x0）2．函数f(x）的定义域为开区间(a，b)，导函数f′（x）在（a，b)内的图象如图所示，则函数f（x)在开区间（a，b)内有极小值点的个数为（)A．1B．2C．3D．43．已知P点在曲线F：y＝x3－x上，且曲线F在点P处的切线与直线x＋2y＝0垂直，则点P的坐标为()A．（1，1)B．(－1,0)C．(－1,0）或(1,0）D．(1,0）或（1,1)4．若函数f(x)＝x2＋2(a－1）x＋2在区间(－∞,0］上是减函数,则实数a的取值范围是()A．a≥3B．a≤1C．a＜5D．a≥15．设a∈R,若函数f（x)＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则（）A．a＞－1B．a＜－1C．D．6．已知f（x)＝2x3－6x2＋m(m为常数）在[－2，2]上有最大值3，那么此函数在［－2，2]上的最小值是(）A．－37B．－29C．－5D．以上都不正确7．曲线y＝x3＋x在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）A．1B．C．D．8．若函数f(x)＝x3－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A．(－2,2）B．［－2,2］C．（－∞，－1）D．（1，＋∞)9．设f（x），g(x)是R上的可导函数，f′(x)，g′(x)分别为f(x)，g（x)的导函数，且满足f′(x）g（x）＋f(x)g′(x)＜0，则当a＜x＜b时，有（）A．f(x）g（b）＞f(b)g(x)B．f（x)g（a)＞f（a)g（x）C．f（x）g（x)＞f（b)g（b)D．f(x)g(x)＞f(b）g（a）10．设函数y＝f（x）在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数y＝f′（x)的大致图象为()二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上）11．函数f(x)＝x2＋x在点（2，f(2))处的切线方程为__________．12．函数f(x）＝x3－3x2＋3的单调递减区间为__________．13．函数f（x)＝x＋在（0,＋∞）上的最小值为__________，此时x＝__________.14．已知函数f(x）＝alnx＋x在区间[2,3］上单调递增，则实数a的取值范围是__________．15．给出定义：若函数f(x）在D上可导，即f′（x)存在，且导函数f′(x）在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x）＝（f′（x））′。若f″（x)＜0在D上恒成立，则称f（x）在D上为凸函数．以下四个函数在上不是凸函数的是__________．(把你认为不是的序号都填上)①f（x)＝sinx＋cosx；②f（x）＝lnx－2x;③f（x)＝－x3＋2x－1；④f(x）＝xex.三、解答题（本大题共2个小题，共25分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．(10分)设函数f（x）＝6x3＋3(a＋2）x2＋2ax。（1）若函数f(x）的两个极值点为x1,x2，且x1x2＝1，求实数a的值．（2)是否存在实数a，使得f(x）是（－∞，＋∞)上的单调函数?若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．17．(15分)某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为R(x）＝3700x＋45x2－10x3（单位：万元),成本函数为C(x)＝460x＋5（单位：万元)，又在经济学中，函数f(x）的边际函数Mf（x)定义为Mf(x)＝f(x＋1）－f（x）．（1）求利润函数P(x)及边际利润函数MP（x)．（提示：利润＝产值－成本）（2）问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？(3)求边际利润函数MP（x）的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？

参考答案1.答案：A2.答案：A从f′（x）的图象可知f（x）在（a,b）内从左到右的单调性依次为增、减、增、减，所以f（x）在(a，b)内只有一个极小值点．3。答案：C4.答案：Bf′(x)＝2x＋2a－2,因为f(x)在(－∞，0]上是减函数，所以f′（0)≤0,即2a－2≤0,a≤1。5。答案：B因为f（x)＝ex＋ax，所以f′(x)＝ex＋a。若函数在x∈R上有大于零的极值点，即f′(x)＝ex＋a＝0有正根．当f′（x）＝a＋ex＝0成立时，显然有a＜0，此时x＝ln（－a），由x＞0，得参数a的范围为a＜－1。6。答案:Af′(x）＝6x2－12x＝6x（x－2)．∵f(x）在（－2，0）上为增函数，在（0,2）上为减函数，∴当x＝0时，f（x)最大＝m，∴m＝3。从而f(－2）＝－37，f(2)＝－5，∴最小值为－37。7。答案：B8。答案：Af′(x）＝3x2－3＝3（x＋1）(x－1)．∵当x＜－1时，f′(x）＞0；当－1＜x＜1时，f′(x)＜0；当x＞1时,f′（x）＞0，∴当x＝－1时，f(x）有极大值,当x＝1时,f（x）有极小值．要使f（x)有3个不同的零点，只需解得－2＜a＜2.9。答案:C令y＝f（x)·g(x)，则y′＝f′（x)·g(x)＋f（x)·g′（x），由于f′（x）g（x)＋f(x）g′（x）＜0，所以y在R上单调递减,又x＜b，故f(x）g（x)＞f(b)g(b）．10.答案：D由函数y＝f（x）的图象知，当x∈(－∞,0）时,f(x）单调递减,故f′（x）＜0；当x＞0时,f（x）先增，再减，然后再增，故f′（x）先正，再负，然后再正．故选D.11。答案：5x－y－4＝012.答案：(0，2)13.答案：4214。答案：[－2，＋∞)∵f（x)＝alnx＋x，∴f′（x)＝＋1.又∵f（x）在［2，3]上单调递增，∴＋1≥0在x∈[2,3］上恒成立，∴a≥（－x）max＝－2，∴a∈［－2，＋∞)．15。答案：④对于①，f″（x)＝－（sinx＋cosx）,时，f″（x)＜0恒成立；对于②，，在时，f″（x)＜0恒成立；对于③,f″（x）＝－6x，在时，f″(x)＜0恒成立；对于④，f″(x)＝(2＋x)ex在时，f″(x)＞0恒成立，所以f(x)＝xex不是凸函数．16.答案:分析：(1)极值点是f′（x）＝0的根，利用根与系数的关系解决即可．（2）f（x）是(－∞，＋∞)上的单调函数方程f′(x）＝0的判别式Δ≤0.解：f′(x）＝18x2＋6（a＋2)x＋2a。（1)∵x1，x2是函数f（x）的两个极值点,∴f′(x1)＝f′(x2)＝0，即x1,x2是18x2＋6(a＋2)x＋2a＝0的两个根,从而x1x2＝＝1,∴a＝9.(2）∵Δ＝36(a＋2）2－4×18×2a＝36（a2＋4)＞0,∴不存在实数a，使得f(x)是（－∞,＋∞）上的单调函数．17.答案:分析：（1）将R(x)与C(x）的关系式代入P（x)＝R（x)－C(x)即可；然后将P(x)关系式代入边际利润函数MP（x）即可．(2)利用用导数求其定义域上最值的方法求最大值．（3）利用用导数求单调区间的方法求单调区间．解:(1）P（x）＝R（x）－C（x)＝－10x3＋45x2＋3240x－5（x∈N*且1≤x≤20)；MP（x）＝P（x＋1）－P(x）＝－30x2＋60x＋3275（x∈N*且1≤x≤19）．(2）P′（x)＝－30x2＋90x＋3240＝－30(x－12）(x＋9),∵x＞0，∴P′（x)＝0时，x＝12，∴当0＜x＜12时，P′(x）＞0，当x＞1