2024-2025学年高二数学选择性必修第一册（配湘教版）1.2.1 第2课时 等差数列的性质

第2课时等差数列的性质A级必备知识基础练1.[2024甘肃白银高二期末]在等差数列{an}中,a2+a4=9-a6,则a3+a5=()A.6 B.8C.9 D.122.[2024甘肃武威高二期中]在等差数列{an}中,a4+a6+a8+a10=22,则a1+a13的值为()A.-11 B.11C.22 D.333.[2024甘肃白银高二阶段练习]等差数列{an}的公差为d,当首项a1与d变化时,a2+a10+a21是一个定值,则下列各项中一定为定值的是()A.a10 B.a11C.a12 D.a134.《周髀算经》中有这样一个问题:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气,自冬至日起,其日影长依次成等差数列,立春当日日影长为9.5尺,立夏当日日影长为2.5尺,则春分当日日影长为()A.4.5尺 B.5尺 C.5.5尺 D.6尺5.已知等差数列{an}的公差为d,若a1+a2+a3=9,a2+a4=8,则d=,a1=.

6.已知公差为正整数的等差数列{an}满足下列两个条件:①a3+a5+a7=93;②满足an>100的n的最小值是15.试求公差d和首项a1的值.B级关键能力提升练7.在等差数列{an}中,若a2+a4+a6+a8+a10=40,则a7-12a8的值为(A.4 B.6C.8 D.108.在等差数列{an}中,a1+a5+a7+a9+a13=100,a6-a2=12,则a1=()A.1 B.2C.3 D.49.在等差数列{an}中,若a1+a2+a3=32,a11+a12+a13=118,则a4+a10等于()A.45 B.50C.75 D.6010.(多选题)已知等差数列{an}的公差d>0,且满足a1+a2+a3+…+a101=0,则下列各式一定成立的有()A.a1+a101>0 B.a2+a100=0C.a3+a100≤0 D.a51=011.(多选题)《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等.问各得几何?”其意思为:“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得钱数依次成等差数列.问五人各得多少钱?”关于这个问题,下列说法正确的是()A.甲得钱是戊得钱的2倍B.乙得钱比丁得钱多12C.甲、丙得钱的和是乙得钱的2倍D.丁、戊得钱的和比甲得钱多1312.已知数列{an}是等差数列,若a4+a7+a10=17,a4+a5+a6+…+a13+a14=77,则公差d=.

13.已知等差数列{an}是递增数列,且a1=1,a3a5=91,则{an}的通项公式为,满足am+am+1+am+2+…+am+5=123的正整数m=.

14.已知{an}是等差数列,且满足a2+a3+a4=18,a2a3a4=66,求数列{an}的通项公式.15.设数列{an}是等差数列,ap=q,aq=p(p≠q),试求ap+q.C级学科素养创新练16.我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题:“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩二,七七数之剩二,问物几何?”根据这一数学思想,所有被3除余2的整数从小到大组成数列{an},所有被5除余2的正整数从小到大组成数列{bn},把数列{an}与{bn}的公共项从小到大排列得到数列{cn},则下列说法正确的是()A.a1+b2=c2 B.b8-a2=c4C.b22=c8 D.a6b2=c9

第2课时等差数列的性质1.A因为数列{an}为等差数列,且a2+a4=9-a6,由等差数列的性质,得a2+a4+a6=3a4=9,即a4=3,所以a3+a5=2a4=6.故选A.2.B由等差数列的性质可知a4+a10=a6+a8=a1+a13,而a4+a6+a8+a10=22,所以2(a1+a13)=22,即a1+a13=11.故选B.3.B因为an=a1+(n-1)d,n∈N+,而a2+a10+a21=(a1+d)+(a1+9d)+(a1+20d)=3a1+30d=3(a1+10d)=3a11,所以a11一定为定值.故选B.4.D设十二节气自冬至起的日影长构成的等差数列为{an},则立春当日日影长为a4=9.5,立夏当日日影长为a10=2.5,所以春分当日日影长为a7=12(a4+a10)=6.故选D5.12∵a1+a2+a3=9,且a1+a3=2a2,∴a2=3.∵a2+a4=2a3=8,∴a3=4,∴d=a3-a2=4-3=1,∴a1=a2-d=3-1=2.6.解因为a3+a5+a7=93,所以3a5=93,所以a5=31,所以an=a5+(n-5)d=31+(n-5)d.解不等式31+(n-5)d>100,得n>69d+5因为n的最小值是15,所以14≤69d+5<所以6910<d≤23又因为d为正整数,所以d=7,a1=a5-4d=3.7.A∵a2+a4+a6+a8+a10=5a6=40,∴a6=8.∴a7-12a8=12(2a7-a8)=12(a6+a8-a8)=12a8.B设等差数列{an}的公差为d,∵a1+a5+a7+a9+a13=100,∴5a7=100,∴a7=20.∵a6-a2=4d,且a6-a2=12,∴4d=12,∴d=3.∴a7=a1+6d=20,∴a1=2,故选B.9.B因为在等差数列{an}中,a1+a2+a3=32,a11+a12+a13=118,所以a2=323,a12=1183,所以a4+a10=a2+a12=50,故选10.BD∵等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0,且a1+a101=a2+a100=…=a50+a52=2a51,∴a1+a2+a3+…+a101=(a1+a101)+(a2+a100)+…+(a50+a52)+a51=101a51=0,∴a51=0,a1+a101=a2+a100=2a51=0,故B,D正确,A错误.又a51=a1+50d=0,∴a1=-50d,∴a3+a100=(a1+2d)+(a1+99d)=2a1+101d=2×(-50d)+101d=d>0,故C错误.故选BD.11.AC依题意,设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,则a-2d+a-d=a+a+d+a+2d,即a=-6d.∵a-2d+a-d+a+a+d+a+2d=5a=5,∴a=1,d=-16,∴a-2d=1-2×-16=43,a-d=1--16=76,a+d=1+-16=56,a+2d=1+2×-16=23∴甲得43钱,乙得76钱,丙得1钱,丁得56钱,戊得23钱.则甲得钱是戊得钱的2倍,乙得钱比丁得钱多76-56=1甲、丙得钱的和是乙得钱的43+176=2倍,丁、戊得钱的和比甲得钱多56+23-43=112.23∵a4+a7+a10=3a7=17,∴a7=17∵a4+a5+a6+…+a13+a14=11a9=77,∴a9=7,∴公差d=a913.an=3n-25设{an}的公差为d(d>0).由条件可得a3a5=(1+2d)(1+4d)=91,解得d=3或d=-154(舍去因此an=1+(n-1)×3=3n-2.am+am+1+am+2+…+am+5=3(am+am+5)=3×[3m-2+3×(m+5)-2]=18m+33=123,解得m=5.14.解∵{an}是等差数列,且a2+a3+a4=18,∴3a3=18,a3=6.∵a∴a2+当a2=11,a4=1时,∴an=a1+(n-1)d=16+(n-1)·(-5)=-5n+21.当a2=1,a4=11时,∴an=a1+(n-1)d=-4+(n-1)·5=5n-9.综上,an=-5n+21或an=5n-9.15.解设数列{an}的公差为d,∵ap=aq+(p-q)d,∴d=ap-a从而ap+q=ap+qd=q+q×(-1)=0,∴ap+q=0.16.C根据题意,数列{an}是首项为2,公差为3的等差数列,an=2+3(n-1)=3n-1;数列{bn}是首项为2,公差为5的等差数列,bn=2+5(n-1)=5n-3.把数列{an}与{bn}的公共项从小到大排列得到数列{cn},故数列{cn}是首项为2,公差为15的等差数列,cn=2+15(n-1)=15n-13.a1+b2=2