沪科版九年级数学 21.3 二次函数与一元二次方程（学习、上课课件）

21.3二次函数与一元二次方程第二十一章二次函数与反比例函数逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2二次函数与一元二次方程之间的关系二次函数的图象与一元二次方程的近似解的关系二次函数与一元二次不等式之间的关系知识点二次函数与一元二次方程之间的关系知1－讲11.二次函数图象与x轴的交点横坐标与一元二次方程根的关系一般地，从二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可知：如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有交点，交点的横坐标是x0，那么当x＝x0时，函数值是0，因此x＝x0是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根.知1－讲2.

二次函数与一元二次方程的联系与区别一元二次方程ax2＋bx＋c＝0与二次函数y＝ax2＋bx＋c之间的内在联系与区别，列表如下：b2－4ac＞0b2－4ac＝0b2－4ac＜0一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况没有实根知1－讲二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象a>0a<0抛物线与x轴的交点(x1，0)，(x2，0)没有交点知1－讲拓宽视野已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，求当y＝m时自变量x的值，可以解一元二次方程ax2＋bx＋c＝m；反之，解一元二次方程ax2＋bx＋c＝m可以看成是已知y＝ax2＋bx＋c的函数值y＝m，求自变量x的值.一元二次方程ax2＋bx＋c＝m的解是抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝m的公共点的横坐标....知1－练已知抛物线y=x2+2x+m．(1)若m=－3，求该抛物线与x

轴交点的坐标；(2)判断该抛物线与x

轴交点的个数，并说明理由.解题秘方：本题考查了抛物线与x

轴的交点，掌握二次函数的图象与性质是解题关键．例1知1－练(1)若m=－3，求该抛物线与x

轴交点的坐标；解：当m=－3时，抛物线为y=x2+2x－3.令y=0，则x2+2x－3=0，解得x1=－3，x2=1，∴该抛物线与x

轴交点的坐标为(

－3，0)和(1，0)

.知1－练(2)判断该抛物线与x

轴交点的个数，并说明理由.解：令y=0，则x2+2x+m=0，Δ=22－4m=4－4m.当Δ>0时，即4－4m>0，解得m<1；当Δ=0时，即4－4m=0，解得m=1；当Δ<0时，即4－4m<0，解得m>1.综上所述，当m<1时，抛物线与x

轴有两个交点；当m=1时，抛物线与x

轴有一个交点；当m>1时，抛物线与x

轴没有交点.知1－练感悟新知1-1.抛物线y=x2+2x+m－1与x

轴有两个不同的交点，则m

的取值范围是(

)A.m<2B.m>2C.0<m≤2D.m<－2A知1－练感悟新知1-2.

[中考·成都]在平面直角坐标系xOy

中，若抛物线y=x2+2x+k

与x

轴只有一个交点，则k=_______．1感悟新知知2－讲知识点二次函数的图象与一元二次方程的近似解的关系2二次函数y=ax2+bx+c

的图象与x

轴的公共点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的解，因此可以借助二次函数的图象求一元二次方程的解.感悟新知知2－讲1.利用二次函数y=ax2+bx+c

的图象与x

轴的公共点求一元二次方程ax2+bx+c=0的解(1)作出二次函数y=ax2+bx+c

的图象，确定图象与x轴公共点的个数，也就是方程ax2+bx+c=0的解的个数；..........感悟新知知2－讲(2)观察图象，函数图象与x

轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的解，当函数图象与x

轴有两个交点，且交点的横坐标不是整数时，可通过不断缩小解所在的范围估计一元二次方程的解；(3)交点横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=0的解......

知2－讲感悟新知

感悟新知知2－讲2.利用二次函数y=ax2

的图象与直线y=－bx

－c

的公共点求方程ax2+bx+c=0的解(1)将方程ax2+bx+c=0化为ax2=－bx

－c的形式；(2)在平面直角坐标系中画出抛物线y=ax2

和直线y=－bx

－c，并确定抛物线与直线的公共点的坐标；(3)公共点的横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=0的解.知2－练[母题教材P34习题T4]利用二次函数的图象求一元二次方程－x2＋2x－3＝－8的近似解(结果精确到0.1).解题秘方：画出二次函数y＝－x2＋2x＋5的图象，利用二次函数的图象与x

轴的公共点计算一元二次方程的近似解.例2

知2－练解：整理方程，得－x2＋2x＋5＝0.作函数y＝－x2＋2x＋5的图象如图21.3-1所示.知2－练由图象可知，抛物线与x轴交点的横坐标分别在－2和－1，3和4之间，即方程－x2+2x－3＝－8的两个实数解分别在－2和－1，3和4之间，用取平均数的方法不断缩小解的取值范围，从而确定方程的近似解.由图象可知，当x＝3时，y>0；当x＝4时，y<0.取3和4的平均数3.5，当x＝3.5时，y＝－0.25，与x＝3时的函数值异号，所以方程的这个解在3和3.5之间.知2－练取3和3.5的平均数3.25，当x＝3.25时，y＝0.9375，与x＝3.5时的函数值异号，所以方程的这个解在3.25和3.5之间.取3.25和3.5的平均数3.375，当x＝3.375时，y＝0.359375，与x＝3.5时的函数值异号，所以方程的这个解在3.375和3.5之间.知2－练由此方法可得到原方程的一个近似解为3.4.用同样的方法可得到原方程的另一个近似解为－1.4.所以方程－x2＋2x－3＝－8的近似解为x1≈－1.4，x2≈3.4.知2－练感悟新知2-1.

[月考·合肥庐阳区]已知二次函数y=x2+2x

－k，小明利用计算器列出了下表：那么方程x2+2x

－k=0的一个近似根是_____________.x＝－4.3x

x2

+2x－k－4.1－1.39－4.2－0.76－4.3－0.11－4.40.56

知3－讲知识点二次函数与一元二次不等式之间的关系3求不等式ax2＋bx＋c>0(a

≠0)的解集，就是求x为何值时，二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值y>0；求不等式ax2＋bx＋c<0(a

≠0)的解集，就是求x为何值时，二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值y<0.列表如下：(以a>0为例)知3－讲b2－4ac

的符号b2－4ac＞0b2－4ac＝0b2－4ac＜0y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的交点个数知3－讲ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根没有实数根知3－讲一元二次不等式的解集ax2＋bx＋c

＞0(a>0)x<x1

或x>x2全体实数ax2＋bx＋c<0(a>0)x1<x<x2无解无解知3－讲深度理解二次函数与一元二次不等式的关系：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分对应的自变量取值范围就是ax2＋bx＋c>0的解集，在x轴下方的部分对应的自变量取值范围就是ax2＋bx＋c<0的解集.当抛物线开口向上且与x轴无交点时，ax2＋bx＋c>0的解集是全体实数，ax2＋bx＋c<0无解；当抛物线开口向下且与x轴无交点时，ax2＋bx＋c>0无解，ax2＋bx＋c<0的解集是全体实数.知3－练[母题教材P35习题T9]二次函数y=ax2+bx+c

的图象如图21.3-2所示，则关于x

的不等式ax2+bx+c>0的解集是()A.x<－1B.x>3C.－1<x<3D.x<－1或x>3例3知3－练解题秘方：根据二次函数y=ax2+bx+c

的图象与x轴的交点坐标求解即可．解：∵二次函数y=ax2+bx+c

的图象与x

轴交于点(－1，0)，(3，0)，且图象开口向上，∴关于x

的不等式ax2+bx+c>0的解集是x<－1或x>3．答案：D知3－练感悟新知3-1.如图，在平面直角坐标系中，直线y=mx+n

与坐标轴交于A，B

两点，点A

在x轴上，点B

在y

轴上，OA=OB=2OC，抛物线y=ax2+bx+2经过点A，B，C.(