华师版九年级数学 22.2 一元二次方程的解法（学习、上课课件）

22.2一元二次方程的解法第22章一元二次方程22.2.1直接开平方法和因式分解法逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2直接开平方法因式分解法知识点直接开平方法知1－讲11.

定义利用平方根的意义直接开平方求一元二次方程解的方法叫做直接开平方法.知1－讲特别警示直接开平方法利用的是平方根的意义，所以要注意两点：(1)不要只取正的平方根而遗漏负的平方根；(2)只有非负数才有平方根，所以用直接开平方法解方程的前提是x2＝p中p≥0.知1－讲

知1－讲3.用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤(1)移项；(2)开平方；(3)解两个一元一次方程.知1－练例1用直接开平方法解下列方程：(1)9x2－81＝0；(2)2(x－3)2－50＝0.解题秘方：紧扣“直接开平方法”的步骤求解.知1－练(1)9x2－81＝0；(2)2(x－3)2－50＝0.解：移项，得9x2＝81.系数化为1，得x2＝9.开平方，得x＝±3.∴x1＝3，x2＝－3.移项，得2(x－3)2＝50.系数化为1，得(x－3)2＝25.开平方，得x－3＝±5.∴x1＝8，x2＝－2.将方程变成左边是完全平方的形式，右边是非负数的形式(如果方程右边是负数，那么这个方程无实数根).知1－练1-1.用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无实数根的方程为()A.x2－1＝0 B.x2＝0C.x2＋4＝0 D.－x2＋3＝0C知1－练

D知2－讲知识点因式分解法21.

定义把一元二次方程的一边化为0，另一边分解成两个一次式的乘积，进而转化为两个一元一次方程，从而求出原方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.知2－讲2.用因式分解法解一元二次方程的一般步骤(1)整理方程，使其右边为0；(2)将方程左边分解为两个一次式的乘积；(3)令两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；(4)分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.知2－讲知识储备常用的因式分解的方法：1.提公因式法；2.公式法；3.x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b).知2－练

例2解题秘方：按方程的特点选择恰当的因式分解的方法.知2－练解：移项，得(x－5)(x－6)－(x－5)＝

0.分解因式，得(x－5)(x－7)＝0.∴

x－5＝0或x－7＝0.∴x1＝5，x2＝7.(1)(x－5)(x－6)＝x－5；方程的两边不能同时除以x－5，这样会使方程丢一根.知2－练

(2)4(x－3)2－25(x－2)2＝0；知2－练

知2－练2-1.[中考·临沂]方程x2－2x－24＝0的根是()A.x1＝6，x2＝4B.x1＝6，x2＝－4C.x1＝－6，x2＝4D.x1＝－6，x2＝－4B知2－练2-2.如果一个等腰三角形的两边长分别为方程x2－5x＋4＝0的两根，则这个等腰三角形的周长为()A.6B.9C.6或9D.以上都不正确B直接开平方法和因式分解法解一元二次方程直接开平方法因式分解法降次22.2一元二次方程的解法第22章一元二次方程22.2.2配方法逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2配方法知识点配方法知1－讲11.

定义通过方程的简单变形，将左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，从而可以直接开平方求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法.知1－讲2.用配方法解一元二次方程的一般步骤(1)移项；(2)二次项系数化为1；(3)配方；(4)开平方.知识链接配方的依据是完全平方公式a2±2ab＋b2＝(a±b)2，其实质是将a看成未知数，b看成常数，则b2即是一次项系数一半的平方.知1－练例1

解题秘方：先将方程配方化为(x＋n)2＝p的形式，再用直接开平方法求解.知1－练(1)x2＋4x＋3＝0；解：移项，得x2＋4x＝－3.配方，得x2＋4x＋22＝－3＋22，即(x＋2)2＝1.开平方，得x＋2＝±1.∴x1＝－1，x2＝－3.知1－练

知1－练(3)2x2－4x－1＝0；

知1－练(4)(1＋x)2＋2(1＋x)－3＝0.解：移项，得(1＋x)2＋2(1＋x)＝3.配方，得(1＋x)2＋2(1＋x)＋12＝3＋12，即(1＋x＋1)2＝4.开平方，得1＋x＋1＝±2.∴x1＝0，x2＝－4.巧将1＋x看成一个整体进行配方，可达到简化效果.知1－练1-1.用配方法解一元二次方程x2－6x＋8＝0，配方后得到的方程是()A.(x＋6)2＝28B.(x－6)2＝28C.(x＋3)2＝1D.(x－3)2＝1D知1－练

B知1－练1-3.若关于x的方程4x2－(m－2)x＋1＝0的左边是一个完全平方式，则m等于()A.－2 B.－2或6C.－2或－6 D.2或－6B配方法配方法解方程转化直接开平方法二次项系数为1二次项系数不为122.2一元二次方程的解法第22章一元二次方程22.2.3公式法逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2公式法一元二次方程的解法知识点公式法知1－讲1

知1－讲2.公式法(1)定义将一元二次方程中系数

a，b，c的值，直接代入求根公式，就可以求得方程的根.这种解一元二次方程的方法叫做公式法.知1－讲(2)用求根公式解一元二次方程的步骤①把一元二次方程化成一般形式；②确定公式中a，b，c的值；③求出b2－4ac的值；④若b2－4ac

≥0，则把a，b及b2－4ac的值代入求根公式求解.知1－讲特别提醒1.公式法是解一元二次方程的通用解法(也称万能法)，它适用于所有的一元二次方程，但不一定是最高效的解法.2.只有当方程ax2＋bx＋c＝0中的a≠0，b2－4ac≥0时，才能使用求根公式.知1－练例1

解题秘方：按照用求根公式解一元二次方程的步骤求解.知1－练(1)2x2－7x＋4＝0；

求b2－4ac的值时，若代入的字母值是负数，则需将其用括号括起来，不能漏掉“－”号.知1－练

知1－练(3)－3x2－5x＋2＝0.

知1－练

D知1－练1-2.用公式法解下列方程：(1)y2－2y－2＝0；知1－练(2)3x2－2x＝4；知1－练

知2－讲知识点一元二次方程的解法21.解一元二次方程的方法直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法.2.解一元二次方程的基本思路将二次方程化为一次方程，即降次.知2－讲3.合理选择一元二次方程的解法(1)若方程具有(mx＋n)2＝p(p

≥0)的形式，可用直接开平方法求解；(2)若一元二次方程一边为0，另一边易于分解成两个一次式的乘积，可用因式分解法求解；(3)公式法是一种常用的方法，用公式法解方程时一定要把一元二次方程化为一般形式，确定a，b，c的值，在b2－4ac≥0的条件下代入公式求解.知2－讲活用巧记先考虑用直接开平方法和因式分解法，不能用这两种方法时，再用公式法；没有特殊要求的，尽量少用配方法

.可巧用口诀记为观察方程选解法，先看能否开平方，再看是否能分解，左分降次右化零，求根公式最后用，系数符号要看清.知2－练解下列方程.(1)4x2－64＝0；(2)2x2－7x－6＝0；(3)(3x＋2)2－8(3x＋2)＋15＝0.例2解题秘方：根据方程的特点，选择适当的方法解一元二次方程.知2－练(1)4x2－64＝0；(2)2x2－7x－6＝0；解：∵4x2－64＝0，∴x2＝16，∴x1＝4，x2＝－4.

知2－练(3)(3x＋2)2－8(3x＋2)＋15＝0.

知2－练

A公式法选择合适的方法解一元二次方程最直接的方法公式法最灵活的方法因式分解法硬规定的方法配方法22.2一元二次方程的解法第22章一元二次方程22.2.4一元二次方程根的判别式逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2一元二次方程根的判别式知识点一元二次方程根的判别式知1－讲11.

定义一般地，式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母“Δ”来表示，即Δ＝b2－4ac.知1－讲

知1－讲特别提醒确定根的判别式时，需先将方程化为一般形式，确定a，b，c后再计算；使用一元二次方程根的判别式的前提是二次项系数不为0.知1－练例1对于任意实数k，关于x的方程x2－2(k＋1)x－k2＋2k－1＝0的根的情况为()A.有两个相等的实数根 B.没有实数根C.有两个不等的实数根 D.无法判断解题秘方：由根的判别式的正负性及是否为0判断根的情况.知1－练解：∵a＝1，b＝－2(k＋1)，c＝－k2＋2k－1，∴Δ＝b2－4ac＝[－2(k＋1)]2－4×1×(－k2＋2k－1)＝8＋8k2>0.∴方程有两个不等的实数根.答案：C知1－练教你一招：利用根的判别式判断一元二次方程根的情况的方法先将一元二次方程化成一般形式ax2＋bx＋c＝0，当方程中的a，b，c是常数时，直接求出Δ＝b2－4ac的值，确定方程根的情况；当方程中的a，b，c含有字母时，求出Δ＝b2－4ac后再对含有字母的代数式进行讨论，进而确定该方程根的情况.知1－练1-1.[中考·河南]关于x的一元二次方程x2＋mx－8＝0的根的情况是()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根A知1－练

C一元二次方程根的判别式用公式法解方程关键根的判别式有两个不等的实数根有两个相等的实数根无实数根22.2一元二次方程的解法第22章一元二次方程*22.2.5一元二次方程的根与系数的关系逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2一元二次方程的根与系数的关系二次项系数为1的一元二次方程的性质知识点一元二次方程的根与系数的关系知1－讲1

知1－讲特别提醒一元二次方程的根与系数的关系存在的前提是a

≠0，b2－4ac≥0.一元二次方程的根与系数的关系知1－讲

知1－练例1设x1，x2是方程4x2－7＝2x2＋8x的两个实数根，则x1＋x2＝_______，x1x2＝_______.解题秘方：根据根与系数的关系求值.4

知1－练

先确定方程有实数根.知1－练1-1.[中考·绵阳]关于x的方程2x2＋mx＋n＝0的两个根是－2和1，则nm的值为()A.－8 B.8C.16 D.－16C知1－练1-2.[中考·宜宾]已知m，n是一元二次方程x2＋2x－5＝0的两个根，则m2＋mn＋2m的值为()A.0 B.－10C.3 D.10A知1－练已知方程x2－6x＋q＝0有一个根为2，求方程的另一个根和q的值.解题秘方：利用两根之和与两根之积求解.例2知1－练解：设这个方程的另一个根为m，则m＋2＝6，2m＝q，解得m＝4，q＝8.即方程的另一个根为4，q的值为8.也可以把x＝2代入方程，求得字母q＝8，再解x2－6x＋8＝0，求得另一个根为4.知1－练教你一招：已知一根，利用根与系数的关系求方程中待定字母的值的策略：求解此类问题时，若待定字母在一次项系数中，可先用两根之积的关系求出另一根，然后代入方程求待定字母的值，或者用两根之和的关系求待定字母的值.若待定字母在常数项中，可先用两根之和的关系求出另一根，然后代入方程求待定字母的值，或者用两根之积的关系求待定字母的值.知1－练

D－4知2－讲知识点二次项系数为1的一元二次方程的性质21.以x1，x2为根的一元二次方程(未知数为x，二次项系数为1)是x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0.2.若方程x2＋mx＋n＝0的两个实数根为x1，x2，则x1＋x2