中考数学几何专项复习：对角互补模型 知识讲义

对角互补模型知识精讲

1,全等型一90。

如图，已知/AO8=NOCE=90。，OC平分/AOB.

则可以得到如下几个结论：①CD=CE,②。。+OE=，2OC,③SAOCD+SAO°E=I。。？.

证明：（法一）如图，过点C作CMLOA于点M,CNLOB于点、N.

•••。。平分/498,:.CM=CN（角平分线上的点到角两边的距离相等）,

在正方形MONC中，由题意可得NMCN=360。一/CMO—NAOB—/CNO=90。,.^.ZMCD+ZDCN=90°,

又---ZDC£=90°,NECN+ZMCD=9Q°,：.ZMCD=ZECN,

:.ACDMmMEN,：.CD=CE,结论①成立;

•；四边形MONC为正方形，,OM=ON=彳OC,

又,：OD+OE=OD+ON+NE=OD+ON+DM=OM+ON,：.OD+OE=y2OC,结论②成立;

ASODCE=S正方形MWC=OM-ON=[^OC]=；。。2,结论③成立.

证明：（法二）如图所示，过点C作C尸，。C交。3于点R

A

：0C平分/AOB,...N£)OC=NEOC=45°,.,.△COF是等腰直角三角形，

：.CO=CF,ZCFO=ZCOD=45°,

又•.•/OCO+NOCE=NECF+NOCE=90°,：,ZDCO=ZECF,：./\COD^/\CFE,

：.OD=EF,CD=CE,结论①成立；

：ACOF是等腰直角三角形，；.OF=A/2OC-,

XOD+OE=EF+OE=OF,：.OD+OE=y/2OC,结论②成立；

S&OCD+S&OCE=S等腰RSCOF=200.改=2002,...结论③成立

2.如图，已知/Z)C£的一边与A。的延长线交于点。，ZAOB^ZDCE^90°,0c平分NAOA

则可得到如下几个结论：①CD=CE,②OE—。。=«今0。③SMOE—SACOD=^"2.

证明：如图，过点C作CFLOA,CGLOB,垂足分别为尸、G.

A

由角平分线性质可得CF=CG,...四边形CFOG为正方形,

：/1+/2=90°,N3+N2=90°,.\Z1=Z3,：.ACDF^/\CEG,

：.CD=CE,结论①成立;

在正方形CFOG中，OF=OG=^OC,

^.•。E—。D=。G+G£—。D=OG+即一。r)=OG+。尸，.^.O£—O。=2X^^OC=V^OC,结论②成立；

2

S&COE-S&COD=\oE-OG-\oD.CF=^OF(OE-OD)=^OCX^OC=^OC

3.全等型一60。和120°

如图，已知/AOB=2N£)CE=120。，0c平分NAOA

则可得到如下几个结论：①CD=CE,②OD+OE=OC,③+SMOE=容。。？.

A

证明：如图，过点C作CfUOA,CG±OB,垂足分别为尸、G.

A

由角平分线性质可得CF=CG,在四边形OFCG中，ZFCG=60°,

VZFCD+ZDCG=ZGCE+ZDCG=6Q°,：.ZFCD=ZGCE,ACDF^ACEG(ASA),

：.CD=CE,结论①成立；

在放ZkCOF和RfZkCOG中，NCOF=NCOG=60°,：.OF=OG=^OC,

XOD+OE=0D+OG+EG=OD+OG+DF=OF+OG,：.OD+OE=2X0C=OC,结论②成立；

S^COD+S.OE=2s△8G=2义gOG•OG=J。。X苧。。=苧。。2,结论③成立.

4,全等型一2a和180°—2。

如图，己知/AOB=2a,NOCE=180°—2a,0c平分NAOA

2

则可以得到以下结论：①CD=CE,®OD+OE=2OC-cosa,©S^COD+SACOE=OC-sincv-coscv.

证明：如图，过点C作C凡LOA,CG±OB,垂足分别为尸、G.

A

C

证△CO尸名△CEG可得CO=CE,结论①成立,

在放△CO/和放△COG中，ZCOF=ZCOG=af：.OF=OG=OC•COSCE,

又•・・OQ+OE=OD+OG+EG=OD+OG+D/=O/+OG,：.OD+OE=2OC•cosa,结论②成立,

S^COD+S^COE=2sAePG=2X-OG-CG=OC-cosa：-OC-sina=OC2-sina,cosa,结论③

乙

成立.

5.相似型一90°

如图，已知NAOB=NOCE=90。，ZBOC=a.

结论：CE=CD•tana.

证明【方法一】：如图1,过点C作C凡LOA,CGA.OB,垂足分别为尸、G.

先证△CEGs^COR即为=7而，又..•四边形CFOG是矩形，；.C尸=£>G,

Ur

('(；

在放△COG中,tanaCE=CD•tana；

OG,

A

证明