第18讲方程(组)与不等式(组)的综合(原卷版+解析)-2021-2022学年七年级数学下册常考点(数学思想+解题技巧+专项突破+精准提升)

方程（组）与不等式(组)的综合专题高频考点+针对训练类型一一元一次方程与不等式的综合典例1若关于x的方程的解是非负数，求m的取值范围。典例2若关于x的不等式3m－2x＜5的解集是x＞2，则实数m的值为．针对训练11．关于x的方程5－a(1－x)＝8x－(3－a)x的解是负数，则a的取值范围是（）A．a＜－4 B．a＞5 C．a＞－5 D．a＜－52．若关于x的不等式ax－3＞0的解集是x＜－1，则a的值是________．3．关于的方程的解是非负数，求正整数m的值。类型二二元一次方程组与一元一次不等式的综合典例3已知方程组的解满足x＋y＜1，求k的取值范围.

针对训练24．若关于x的方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋2y＝p＋1，,4x＋3y＝p－1))的解满足x＞y，则p的取值范围是________．5．若关于x、y的二元一次方程组中，5x＋2y的值为负数，求m的取值范围.类型三二元一次方程组与一元一次不等式组的综合典例4已知关于x、y的方程组的解是一对正数。（1）试确定m的取值范围；（2）化简针对训练36．已知关于x，y的方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝－7－m，,x－y＝1＋3m))的解满足x为非正数，y为负数．(1)求m的取值范围；(2)在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式2mx＋x＜2m＋1的解集为x＞1?7．已知关于x，y的方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x－y＝a＋3，,2x＋y＝5a，)))其中a为常数．(1)求方程组的解；(2)若方程组的解满足x＞y＞0，求a的取值范围．

第二部分专题提优训练1．已知关于x，y的方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋y＝k＋1，,x＋3y＝3))的解为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝a，,y＝b，))若a＋b＞0，则k的取值范围是()A．k＞4B．k＞－4C．k＜4D．k＜－42．若关于x、y的二元一次方程组的解满足x＋y<2，则a的取值范围是（）．A．a>2 B．a<2 C．a>4 D．a<43．已知关于x的不等式(2－m)x＞2的解集是x＜eq\f(2,2－m)，则m的取值范围是________．4．(1)已知关于x，y的方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝1＋3m，,x＋2y＝1－m))的解满足x＋y＜0，求m的取值范围；(2)已知关于x，y的二元一次方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋y＝4m＋2，,x－y＝6))的解满足x＋y＜3，求满足条件的m的所有非负整数值．5．当m为何整数时，关于x，y的方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝m，,5x＋3y＝13))的解是非负数？6．若关于x、y的二元一次方程组中，x的值为负数，y的值为正数，求m的取值范围．

7.已知关于x，y的方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋2y＝m＋1，,2x＋y＝m－1.))当m为何值时，x＞y且2x＜3y?8．已知关于x，y的方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y＝m，,2x＋3y＝2m＋4))的解满足不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋y≤0，,x＋5y>0，))求满足条件的m的整数值．9．已知关于x，y的方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＝－a－1，,2x－y＝－3a))的解满足x＜0，y＞0.(1)求a的取值范围；(2)若2x·8y＝2m，求m的取值范围．10．若点P(x，y)的坐标满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝3a－2b－4，,2x－y＝a＋b－8.))(1)求点P的坐标；(用含a，b的式子表示x，y)(2)若点P在第二象限，且符合要求的整数a只有三个，求b的取值范围；(3)若点P在第四象限，且关于z的不等式yz＋x＋4＞0的解集为z＜eq\f(2,3)，求关于t的不等式at＞b的解集．方程（组）与不等式(组)的综合专题高频考点+针对训练类型一一元一次方程与不等式的综合典例1若关于x的方程的解是非负数，求m的取值范围。思路引领：首先解方程用含m的代数式表示出x，再根据解是非负数得x≥0，从而列出关于m的不等式，求出其取值范围．解：解关于的方程，去分母，得，去括号，得移项，合并同类项，得，因为x≥0，所以≥0，即≥0，所以m≤2．题眼直击：一元一次不等式的解集．点睛：要解决的问题是求的取值范围，本质是是非负数．本题所用的这种“反客为主”的方法，是常用的解题方法，在有字母系数的题目中常用．典例2若关于x的不等式3m－2x＜5的解集是x＞2，则实数m的值为．思路引领：先将字母m看成是常数，解不等式得x＞，再由解集为x＞2可得到关于m的方程，即可求出m的值．解：解不等式得x＞，∵解集为x＞2∴解得：m＝3题眼直击：一元一次不等式的解集．点睛：不等式的一个极端状态即为方程，解集的一个极端状态即为方程的解．因此也可用下面的解法：根据题意可知：x=2是方程3m－2x＜5的解，把x＝2代入方程中，得3m－2×2＝5，所以m＝3．针对训练11．关于x的方程5－a(1－x)＝8x－(3－a)x的解是负数，则a的取值范围是（）A．a＜－4 B．a＞5 C．a＞－5 D．a＜－5答案：B点拨：先求出方程的解x＝，然后让这个解小于零．2．若关于x的不等式ax－3＞0的解集是x＜－1，则a的值是________．答案：－33．关于的方程的解是非负数，求正整数m的值。解：∵，∴3x－(2x－m)＝2－x．∴x＋m＝2－x，∴x＝．∵方程的解是非负数，∴≥0．解得m≤2．所以正整数m的值为1，2．类型二二元一次方程组与一元一次不等式的综合典例3已知方程组的解满足x＋y＜1，求k的取值范围.思路引领1：由于方程组的解满足x＋y＜1，我们可考虑把k看作已知数，求出x、y的值，然后代入解法一：∵①×3－②得：8x＝3k，∴x＝②×3－①得：8y＝8－k，∴y＝∵x＋y＜1，∴＋＜1∴k＜0，∴k的范围为k＜0.x＋y＜1，求出k的范围.思路引领2：观察这个方程组，我们可以发现这个方程组的系数轮对称，我们只需把两个方程相加，就可以得到x＋y的值，然后代入x＋y＜1，求出k的范围．解法二：∵①＋②得：x＋y＝∵x＋y＜1，∴＜1∴k的范围为k＜0．题眼直击：二元一次方程组，解一元一次不等式．点睛：本题综合方程组和不等式知识，解决这类问题的时候，我们可先用含参数的代数式表示x、y的值，或者根据方程组的特点直接用代数式表示出x＋y的值，然后代入不等式求出k的取值范围．两种方法都很实用，方法一对于解系数不成对称关系的方程组比较简单；方法二对于解两个未知数的系数轮对称的方程，两种方法都很重要，方法一对于解系数不成对称关系的方程组比较简单；方法二对于解两个未知数的系数轮对称的方程．针对训练24．若关于x的方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋2y＝p＋1，,4x＋3y＝p－1))的解满足x＞y，则p的取值范围是________．答案：p＞－65．若关于x、y的二元一次方程组中，5x＋2y的值为负数，求m的取值范围.解：∵，解得：∵5x＋2y的值为负数，∴5(2m－1)＋2(m＋4)＜0．∴m＜－．类型三二元一次方程组与一元一次不等式组的综合典例4已知关于x、y的方程组的解是一对正数。（1）试确定m的取值范围；（2）化简思路引领：由于这个方程组的解是一对正数，我们可先用含m的代数式表示这个二元一次方程组的解，然后利用这组解是一对正数列出不等式组，从而可求出m的取值范围．解：（1）=1\*GB3①＋=2\*GB3②得：，=1\*GB3①－=2\*GB3②得：，∵方程组的解为一对正数∴解得：（2）∵∴，∴＝（）＋（）＝2m＋1．题眼直击：利用不等式组讨论方程组的解点睛：方程组的解满足特定要求时，我们总是先设法求出这个方程组的解，然后根据题意列出不等式组，求出字母参数的取值范围针对训练36．已知关于x，y的方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝－7－m，,x－y＝1＋3m))的解满足x为非正数，y为负数．(1)求m的取值范围；(2)在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式2mx＋x＜2m＋1的解集为x＞1?解：(1)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝－7－m，①,x－y＝1＋3m.②))①＋②，得2x＝－6＋2m，所以x＝－3＋m.①－②，得2y＝－8－4m，所以y＝－4－2m.因为x≤0，y＜0，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－3＋m≤0，,－4－2m<0，))解得－2＜m≤3.(2)因为2mx＋x＜2m＋1，所以(2m＋1)x＜2m＋1.因为不等式的解集为x＞1，所以2m＋1＜0.所以m＜－eq\f(1,2).由(1)知，－2＜m≤3，所以－2＜m＜－eq\f(1,2).所以m的整数值为－1.7．已知关于x，y的方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x－y＝a＋3，,2x＋y＝5a，)))其中a为常数．(1)求方程组的解；(2)若方程组的解满足x＞y＞0，求a的取值范围．解：(1)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x－y＝a＋3，①,2x＋y＝5a，②)))①＋②，得3x＝6a＋3.解得x＝2a＋1.把x＝2a＋1代入②，解得y＝a－2.所以方程组的解为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x＝2a＋1，,y＝a－2.)))(2)因为x＞y＞0，所以2a＋1＞a－2＞0，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(2a＋1>a－2，,a－2>0，,2a＋1>0.)))解得a＞2.第二部分专题提优训练1．已知关于x，y的方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋y＝k＋1，,x＋3y＝3))的解为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝a，,y＝b，))若a＋b＞0，则k的取值范围是()A．k＞4B．k＞－4C．k＜4D．k＜－4答案：B2．若关于x、y的二元一次方程组的解满足x＋y<2，则a的取值范围是（）．A．a>2 B．a<2 C．a>4 D．a<4答案：D点拨：因为，把两个方程的左右分别相加可得：4（x+y）=4+a，所以x+y=；又x+y<2，即：<2，解得：a<4，所以正确选项是D．3．已知关于x的不等式(2－m)x＞2的解集是x＜eq\f(2,2－m)，则m的取值范围是________．答案：m＞24．(1)已知关于x，y的方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝1＋3m，,x＋2y＝1－m))的解满足x＋y＜0，求m的取值范围；(2)已知关于x，y的二元一次方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋y＝4m＋2，,x－y＝6))的解满足x＋y＜3，求满足条件的m的所有非负整数值．解：(1)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝1＋3m①，,x＋2y＝1－m②，))由①＋②，得3x＋3y＝2＋2m，∴x＋y＝eq\f(2＋2m,3)，∵x＋y＜0，∴eq\f(2＋2m,3)＜0，解得m＜－1，即m的取值范围是m＜－1.(2)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋y＝4m＋2①，,x－y＝6②，))由①＋②得4x＝4m＋8，∴x＝m＋2，把x＝m＋2代入②得m＋2－y＝6，∴y＝m－4，∴x＋y＝(m＋2)＋(m－4)＝2m－2，∵x＋y＜3，∴2m－2＜3，∴m＜eq\f(5,2)，∴满足条件的m的所有非负整数值为0，1，2.5．当m为何整数时，关于x，y的方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝m，,5x＋3y＝13))的解是非负数？解：由方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝m，,5x＋3y＝13，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(13－3m,2)，,y＝\f(5m－13,2).))因为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥0，,y≥0，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(13－3m,2)≥0，,\f(5m－13,2)≥0.))解得eq\f(13,5)≤m≤eq\f(13,3).所以当m的整数值为3或4时，方程组的解是非负数．6．若关于x、y的二元一次方程组中，x的值为负数，y的值为正数，求m的取值范围．解：∵，∴∵x的值为负数，y的值为正数∴，解得：－2＜m＜0.57.已知关于x，y的方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋2y＝m＋1，,2x＋y＝m－1.))当m为何值时，x＞y且2x＜3y?解：由方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋2y＝m＋1，,2x＋y＝m－1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝m－3，,y＝－m＋5.))因为x＞y且2x＜3y，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－3>－m＋5，,2（m－3）<3（－m＋5）.))解得4＜m＜eq\f(21,5).所以当4<m<eq\f(21,5)时，x>y且2x<3y.8．已知关于x，y的方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y＝m，,2x＋3y＝2m＋4))的解满足不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋y≤0，,x＋5y>0，))求满足条件的m的整数值．解：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y＝m，①,2x＋3y＝2m＋4.②))①＋②，得3x＋y＝3m＋4.②－①，得x＋5y＝m＋4.因为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋y≤0，,x＋5y>0，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3m＋4≤0，,m＋4>0.))解得－4＜m≤－eq\f(4,3).所以满足条件的m的整数值为－3或－2.9．已知关于x，y的方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＝－a－1，,2x－y＝－3a))的解满足x＜0，y＞0.(1)求a的取值范围；(2)若2x·8y＝2m，求m的取值范围．解：(1)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x－y＝－a－1，,2x－y＝－3a，)))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x＝－2a＋1，,y＝－a＋2.)))因为x＜0，y＞0，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2a＋1＜0，,－a＋2＞0，))解得eq\f(1,2)＜a＜2.(2)因为2x·8y＝2m，所以2x·(23)y＝2m，即2x·23y＝2m.所以2x＋3y＝2m，所以x＋3y＝m.所以－2a＋1＋3(－a＋2)＝m，所以a＝eq\f(7－m,5).因为eq\f(1,2)＜a＜2，所以eq\b\lc\{(\a