2.10有理数综合练习（提优）七年级数学上册讲义（苏科版）

有理数综合练习（提优）一．选择题1．-3A．-34 B．43 C．-4【分析】直接利用倒数的定义得出答案．倒数的定义：一个数与另一个数相乘，所得的积为1，那么这两个数互为倒数．【解答】解：-34的倒数是故选：C．【点评】本题考查了倒数的定义，正确掌握相关定义是解题的关键．2．数a、b、c在数轴上对应的位置如图，化简|a+b|﹣|c﹣b|+|c+a﹣b|的结果（）A．﹣b B．c﹣a C．﹣c﹣a D．2a+b【分析】依据绝对值的性质，想要去掉绝对值，首先要判断每个绝对值内代数式的正负，结合数轴易得a+b，c﹣b，c+a﹣b的正负，再按照合并同类项的计算方式即可得到结果．【解答】解：由数轴易得a+b＜0，c﹣b＞0，c+a﹣b＞0；原式＝﹣a﹣b﹣（c﹣b）+c+a﹣b；＝﹣a﹣b﹣c+b+c+a﹣b；＝﹣b．故选：A．【点评】本题主要考查了绝对值的性质，关键是依据数轴确定每个代数式的正负．3．如图，在一个由6个圆圈组成的三角形里，把﹣25到﹣30这6个连续整数分别填入图的圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和S都相等，那么S的最小值是（）A．﹣84 B．﹣85 C．﹣86 D．﹣87【分析】三个顶点处分别是﹣30，﹣29，﹣28，﹣30与﹣29之间是﹣25，﹣30和﹣28之间是﹣26，﹣29和﹣28之间是﹣27，这样每边的和才能相等并且S有最小值．【解答】解：如图，∴S＝﹣29﹣27﹣28＝﹣84，故选：A．【点评】本题考查了有理数的加法，理解三角形三个顶点的数字是﹣25到﹣30这6个连续整数中最小的三个数字是解题的关键．4．数轴上某一个点表示的数为a，比a小4的数用b表示，那么|a|+|b|的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】利用比a小的数表示为b＝a﹣4，代入式子计算即可．【解答】解：∵b＝a﹣4，∴|a|+|b|＝|a﹣0|+|a﹣4|，表示的是a到0和4的距离的和，所以当a在0和4之间时，有最小值4．故选：B．【点评】本题考查的是绝对的和的最小值问题，解题的关键是把原式化成一个数到两个已知数的最小值问题．5．已知a，b，c三个数在数轴上的位置如图所示，有以下4个结论：①abc＜0；②﹣c＞a＞﹣b；③a+c＞0；④|a﹣c|+|b﹣a|＝|b﹣c|；其中正确的结论的个数有（）个．A．4 B．3 C．2 D．1【分析】利用数轴判断a，b，c的符号，并且通过a，b，c与原点的距离来判断|a|，|b|，|c|的大小，进而可以判断以上4个结论的正误．【解答】解：由数轴可知：b＞a＞0＞c，故①abc＜0，①正确；②﹣c＞a＞0＞﹣b，②正确；③a+c＜0，③错误；④∵a﹣c＞0，b﹣a＞0，b﹣c＞0，∴|a﹣c|+|b﹣a|＝a﹣c+b﹣a＝b﹣c＝|b﹣c|，④正确；故选：B．【点评】本题考查了绝对值的性质及实数如何比较大小，关键在于学生要理解知识并灵活运用．6．在﹣（+2），﹣（﹣8），﹣5，﹣|﹣3|，+（﹣4）中，负数的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】将各式化简，即可判断负数的个数．【解答】解：∵﹣（+2）＝﹣2，﹣（﹣8）＝8，﹣|﹣3|＝﹣3，+（﹣4）＝﹣4，∴负数一共有﹣2，﹣5，﹣3，﹣4，共4个，故选：D．【点评】本题考查了绝对值，正数和负数的相关概念，关键在于学生熟练运用所学知识进行判断．7．10个互不相等的有理数，每9个的和都是“分母为22的既约真分数（分子与分母无公约数的真分数）”，则这10个有理数的和为（）A．12 B．1118 C．76 【分析】有条件：分母为22的既约真分数（分子与分母无公约数的真分数，用列举法逐个尝试即可得出答案．【解答】解：这10个有理数，每9个相加，一共得出另外10个数，由于原10个有理数互不相等，可以轻易得出它们相加后得出的另外10个数也是互不相等的，而这10个数根据题意都是分母22的既约真分数，而满足这个条件的真分数恰好正好有10个，∴这10项分别是：1/22，3/22，5/22，7/22，9/22，13/22，15/22，17/22，19/22，21/22．它们每一个都是原来10个有理数其中9个相加的和，那么，如果再把这10个以22为分母的真分数相加，得出来的结果必然是原来的10个有理数之和的9倍．所以，10个真分数相加得出结果为5，于是所求的10个有理数之和为5/9．故选：D．【点评】其实根据这个结果，还可逐一减去每一个真分数，从而得出每一个有理数具体的值8．一台机器有大、小齿轮用同一传送带连接，若大小齿轮的齿数分别为36和12个，大齿轮每分钟2.5×103转，则小齿轮10小时转（）A．1.5×106转 B．5×105转 C．4.5×106转 D．15×106转【分析】大、小齿轮用同一传送带连接，则大小齿轮转的距离相等，大齿轮每分钟2.5×103，每小时转60×2.5×103转．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．【解答】解：小齿轮10小时转60×2.5×103×10×（36÷12）＝4.5×106转．故选：C．【点评】解决本题的关键是计算出小齿轮10小时转的转数，然后用科学记数法表示．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．二．填空题9．已知|m|＝m+1，则（4m﹣1）4＝81．【分析】根据绝对值、有理数的乘方解决此题．【解答】解：当m≥0，则|m|＝m．∴m＝m+1．此时，m不存在．当m＜0，则|m|＝﹣m．∴﹣m＝m+1．∴m=-∴（4m﹣1）4＝（﹣3）4＝＝81．故答案为：81．【点评】本题主要考查绝对值、有理数的乘方，熟练掌握绝对值、有理数的乘方是解决本题的关键．10．循环小数0.1⋅5⋅可化分数为【分析】根据小数之间的关系先设x=0.15【解答】解：设x=0.15⋅⋅，则100x＝∴15.15⋅⋅=15∴100x＝15+x解得x=5故答案为：533【点评】本题考查循环小数转化为分数，掌握解题中巧妙的设出未知数，列出有关的一元一次方程，是解题关键．11．一批零件，李叔叔每小时加工这批零件的14，刘叔叔每小时加工这批零件的15，如果两人合作，20【分析】14与15代表的是各自的工作效率，两人的总工作效率是设总工作量为“1”，依据工作时间＝工作总量÷工作效率可求答案．【解答】解：因为李叔叔的工作效率是14，刘叔叔的工作效率是1所以两人工作效率之和为14依据工作时间＝工作总量÷工作效率可得：1÷9故答案为209【点评】本题考查的是工作时间＝工作总量÷工作效率的运用，注意这种题目中若无总工作量，则总工作量设为“1”．12．已知A，B，C是数轴上的三个点．点A，B表示的数分别是1，3，如图所示，若BC=74AB，则点C表示的数是-12【分析】因为A、B两点表示的数为1，3，可以得到AB＝2，又因为BC=74AB，所以BC=72，但是并不知道【解答】因为A、B两点表示的数为1，3，可以得到AB＝2，又因为BC=74AB，所以BC当C点在B点的左面时C点代表的数为3-7当C点在B点的右面时C点代表的数为3+7故答案为：-12或【点评】本题主要考查了数轴上两点之间距离的求法，想到C点可以在B点的左面或右面是解题关键．13．如图，点A在数轴上表示的数是﹣8，点B在数轴上表示的数是16，线段AB的中点表示的数是4，若点C是数轴上的一个动点，当2AC﹣BC＝10时，点C表示的数是﹣42或103【分析】根据数轴上两点间距离计算即可求出线段AB的中点表示的数，要求点C表示的数，分三种情况，点C在点A的左侧，点C在AB之间，点C在点B的右侧．【解答】解：∵点A在数轴上表示的数是﹣8，点B在数轴上表示的数是16，∴线段AB的中点表示的数是：-8+设点C表示的数是x，分三种情况：当点C在点A的左侧，∵2AC﹣BC＝10，∴2（﹣8﹣x）﹣（16﹣x）＝10，∴x＝﹣42，∴点C表示的数是：﹣42，当点C在AB之间，∵2AC﹣BC＝10，∴2[x﹣（﹣8）]﹣（16﹣x）＝10，∴x=10∴点C表示的数是：103当点C在点B的右侧，∵AC﹣BC＝AB，∴AC﹣BC＝16﹣（﹣8）＝24，而已知2AC﹣BC＝10，∴此种情况不存在．综上所述：点C表示的数是：﹣42或103故答案为：4，﹣42或103【点评】本题考查了数轴，熟练掌握数轴上两点间距离是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．14．规定如下两种运算：x⊗y＝2xy+1；x⊕y＝x+2y﹣1．例如：2⊗3＝2×2×3+1＝13；2⊕3＝2+2×3﹣1＝7．若a⊗（4⊕5）的值为79，则3a+2[3a﹣2（2a﹣1）]的值是7．【分析】根据x⊗y＝2xy+1；x⊕y＝x+2y﹣1，a⊗（4⊕5）的值为79，可以得到a的值，然后将所求式子化简，再将a的值代入计算即可．【解答】解：∵x⊗y＝2xy+1；x⊕y＝x+2y﹣1，a⊗（4⊕5）的值为79，∴a⊗（4+2×5﹣1）＝a⊗（4+10﹣1）＝a⊗13＝2a×13+1＝26a+1，∴26a+1＝79，解得a＝3，∴3a+2[3a﹣2（2a﹣1）]＝3a+2（3a﹣4a+2）＝3a+6a﹣8a+4＝a+4＝3+4＝7，故答案为：7．【点评】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，求出a的值．15．点A在数轴上，点A所对应的数用2a+1表示，且点A到原点的距离等于3，则a的值为1或﹣2．【分析】根据绝对值的定义：绝对值代表到原点的距离，而点A到原点的距离等于3，所以|2a+1|＝3，即得答案．【解答】解：由题意得：|2a+1|＝3，∴2a+1＝±3，∴a＝1或a＝﹣2，故答案为：1或﹣2．【点评】本题考查了绝对值的定义，由题意列方程是解题的关键．16．幻方是一个古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的三阶幻方﹣﹣九宫图．如图所示的幻方中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数字之和都相等．九宫图中n﹣m＝4．【分析】根据每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数字之和都相等，得﹣5+9+m＝3，求出m，再根据m+1+n＝3，求出n，最后代入n﹣m计算即可．【解答】解：∵﹣7+1+9＝3，每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数字之和都相等∴﹣5+9+m＝3，∴m＝﹣1，∵m+1+n＝3，∴﹣1+1+n＝3，∴n＝3，∴n﹣m＝3﹣（﹣1）＝3+1＝4；故答案为：4．【点评】本题考查了有理数加法、数学常识，掌握有理数加法法则，根据给出的材料列式是解题关键．17．若x为任意有理数，|x|表示在数轴上x表示的点到原点的距离，|x﹣a|表示在数轴上x表示的点到a表示的点的距离，则|x﹣3|+|x+1|的最小值为4．【分析】现依据题意可知|x﹣3|与|x+1|的实际意义，可知|x﹣3|+|x+1|的最小值的实际意义为一个点到3和﹣1的距离的和的最小值，分类讨论即可得出答案．【解答】解：因为|x﹣a|表示在数轴上x表示的点到a表示的点的距离．所以|x﹣3|与|x+1|分别表示为点x到3的距离和点x到﹣1的距离．所以|x﹣3|+|x+1|的最小值的实际意义为点x到3和﹣1的距离的和的最小值．数轴上的区域被3和﹣1划分为三部分：﹣1左面的部分，﹣1和3之间的部分（包含﹣1和3点），3右面的部分．①当x在：﹣1左面的部分和3右面的部分时，x到3和﹣1的距离的和永远大于4．②当x在：，﹣1和3之间的部分（包含﹣1和3点）时，x到3和﹣1的距离的和永远等于4．所以|x﹣3|+|x+1|的最小值为4．【点评】本题主要考查了绝对值的实际意义的应用，解题的关键是找到每个绝对值代表的实际意义，注意分类讨论．18．如图，数轴上A、B两点所表示的数分别为a、b，下列各式中：①（a﹣1）（b﹣1）＞0；②（a﹣1）（b+1）＞0；③（a+1）（b+1）＞0．其中，正确式子的序号是①②．【分析】因为数轴上右边的数总比左边的大，大数减小数差为正，小数减大数差为负．再根据乘法运算同号得正，异号得负．【解答】解：∵a＜1，∴a﹣1＜0．∵b＜1，∴b﹣1＜0．∴（a﹣1）（b﹣1）＞0．∴①正确，故①符合题意．∵b＜﹣1，∴b﹣（﹣1）＜0．即b+1＜0，∴（a﹣1）（b+1）＞0．∴②正确，故②符合题意．∵a＞0，∴a+1＞0，又∵b＜﹣1，∴b+1＜0，∴（a+1）（b+1）＜0．∴③错误．故③不合题意．【点评】本题考查数轴上点的大小的比较，还考查了两个数相乘，积的符号问题．三．解答题19．计算：（1）（﹣5）+（﹣4）﹣（+101）﹣（﹣9）；（2）-1（3）(5（4）-3【分析】（1）先把减法转化为加法，然后根据有理数的加法法则计算即可；（2）先算乘方和括号内的式子，然后计算括号外的乘除法、最后算加法即可；（3）先把除法转化为乘法、然后根据乘法分配律计算即可；（4）先将带分数化为假分数，然后根据乘法分配律计算即可．【解答】解：（1）（﹣5）+（﹣4）﹣（+101）﹣（﹣9）＝（﹣5）+（﹣4）+（﹣101）+9＝﹣101；（2）-＝﹣1×（4﹣9）+3×（-4＝﹣1×（﹣5）+（﹣4）＝5+（﹣4）＝1；（3）(＝（512-=512×36-＝15﹣28+24＝11；（4）-=-196×7-196×=-196×[7+（﹣=-196=95【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的运算法则和运算顺序，注意乘法分配律的应用．20．在1到100这100个数中，任找10个不同的数，使其倒数之和等于1．现已有2个数，为2和6，再写出另外的8个数即可．【分析】在平常的解题过程中，经常见到类似于112【解答】解：∵1＝1-＝（1-12）+（12-13=1∴这10个数可以是：2、6、10、12、20、30、42、56、72、90（答案不唯一）．【点评】本题考查了倒数，解此题的关键是能够运用类似于11221．如图所示，在数轴上点A，B，C表示得数为﹣2，0，6．点A与点B之间的距离表示为AB，点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点C之间的距离表示为AC．（1）求AB、AC的长；（2）点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒3个单位长度和4个单位长度的速度向右运动．请问：BC﹣AB的值是否随着运动时间t的变化而变化？若不变，请求其值；若变化，请说明理由并判断是否有最值，若有求其最值．【分析】（1）在数轴上点A，B，C表示得数为﹣2，0，6，故AB的距离为2，AC的距离为8；（2）由数轴可知，B点在A点前方，相距2个单位，C点在B点前方，相距6个单位．点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒3个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，则点A可表示的数为﹣2﹣2t，点B可表示的数为3t，点C可表示的数为6+4t，所以BC＝6+4t﹣3t＝t+6，AB＝3t﹣（﹣2﹣2t）＝5t+2；显然BC﹣AB＝4﹣4t，是随着t的值变化而变化，当t＝0时，最值为4．【解答】解：（1）∵数轴上点A，B，C表示得数为﹣2，0，6，∴AB的长为2，AC的长为8；（2）由数轴可知，B点在A点前方，相距2个单位，C点在B点前方，相距6个单位，∵点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒3个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，∴点A可表示的数为﹣2﹣2t，点B可表示的数为3t，点C可表示的数为6+4t，∴BC＝6+4t﹣3t＝t+6，AB＝3t﹣（﹣2﹣2t）＝5t+2，∴BC﹣AB＝t+6﹣（5t+2）＝4﹣4t，当且仅当t＝0时，有最值为4．【点评】本题考查了数轴和数轴上点之间距离的理解，综合性较强．22．出租车司机小刘某天上午营运全是在南北走向的某条大街上进行的，如果规定向北为正，向南为负，他这天上午的行程是（单位：千米）：+12，﹣8，+10，﹣13，+10，﹣12，+6，﹣15，+11，﹣14．（1）将最后一名乘客送达目的地时，小张距上午出发点的距离是多少千米？在出发点的什么方向？（2）若汽车耗油量为0.6升/千米，出车时，邮箱有油67.4升，若小张将最后一名乘客送达目的地，再返回出发地，问小张今天下午是否需要加油？若要加油至少需要加多少才能返回出发地？若不用加油，请说明理由．【分析】（1）将各数相加所得的数即是距出发点的距离，若得数为正则在出车的北边，若为负则在出车的南边；（3）耗油量＝每千米的耗油量×总路程，总路程为所走路程的绝对值的和，再和67.4升进行比较即可．【解答】解：（1）（+12）+（﹣8）+（+10）+（﹣13）+（+10）+（﹣12）+（+6）+（﹣15）+（+11）+（﹣14）＝﹣13（千米）．答：小张距上午出发点的距离是13千米，在出发点的南方；（2）（12+8+10+13+10+12+6+15+11+14+13）×0.6＝74.4（升），74.4﹣67.4＝7（升）答：需要加油，要加7升油．【点评】本题考查了用数轴表示有理数以及正数和负数的加减法，注意总路程为所走路程的绝对值的和．23．对于任意有理数a、b、c、d，我们规定符号（a，b）⊗（c，d）＝ad﹣bc+2，例如：（1，3）⊗（2，4）＝1×4﹣2×3+2＝0．（1）求（﹣2，1）⊗（3，5）的值；（2）求（2a+1，a﹣2）⊗（3a+2，a﹣3）的值，其中a2+a+5＝0．【分析】（1）根据（a，b）⊗（c，d）＝ad﹣bc+2，可以求得所求式子的值；（2）根据（a，b）⊗（c，d）＝ad﹣bc+2，先将所求式子化简，然后再根据a2+a+5＝0，可以得到a2+a＝﹣5，再代入化简后的式子计算即可．【解答】解：（1）∵（a，b）⊗（c，d）＝ad﹣bc+2，∴（﹣2，1）⊗（3，5）＝（﹣2）×5﹣1×3+2＝（﹣10）﹣3+2＝﹣11；（2）∵（a，b）⊗（c，d）＝ad﹣bc+2，∴（2a+1，a﹣2）⊗（3a+2，a﹣3）＝（2a+1）（a﹣3）﹣（a﹣2）（3a+2）+2＝2a2﹣5a﹣3﹣3a2+4a+4+2＝﹣a2﹣a+3，∵a2+a+5＝0，∴a2+a＝﹣5，∴原式＝﹣（a2+a）+3＝﹣（﹣5）+3＝5+3＝8．【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是会用新定义解答问题．24．如图的数轴，（1）数轴上的点C表示的数为﹣2．（2）数轴上表示与原点的距离为1个单位长度的点为P点，E点．（3）若表示数m的点在原点的左边，|m|＝﹣m，|m|表示的几何意义为m到原点的距离．（4）若a，b两数在数轴上对应的点分别为A，B．请化简|a|﹣|a+b|+|3﹣b|．【分析】（1）由数轴可以直接得出数值，C点所对应的数值为﹣2；（2）理解点和点之间距离的意思，很显然P点、E点到原点的距离为1；（3）数轴上可以表示任何有理数，去掉绝对值与零有关系，即|a|=a(a＞0（4）根据数与零的大小关系去掉绝对值符号，合并化简．【解答】解：（1）C点所对应的数值为﹣2，故答案为﹣2；（2）观察数轴可知P点、E点到原点的距离为1，故答案为P点、E点；（3）表示数m的点在原点的左边，则m＜0，|m|＝﹣m，故答案为﹣m；（4）|a|﹣|a+b|+|3﹣b|＝﹣a+a+b+3﹣b＝3．【点评】本题综合考查了对数轴的理解和如何去掉绝对值的内容，要学会通过看数轴来反馈信息，进而分析解答问题．25．测量一幢楼的高度，七次测得的数据分别是：79.8m，80.6m，80.4m，79.1m，80.3m，