27.2相似三角形的判定与性质（讲练）-2022-2023学年九年级数学下册重要考点（人教版）

27.2相似三角形的判定与性质相似三角形在和中，如果我们就说与相似，记作∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”.注意：

(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′；(2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等.题型1：相似三角形1.1．如图，已知△ABC，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是()A． B．C． D．【答案】C【解析】【解答】解：∵由图可知，AB=AC=6，∠B=75°，∴∠C=75°，∠A=30°，A选项中三角形各角的度数分别为75°，52.5°，52.5°，B选项中三角形各角的度数都是60°，C选项中三角形各角的度数分别为75°，30°，75°，D选项中三角形各角的度数分别为40°，70°，70°，∴只有C选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等，故答案为：C.【分析】根据“两组对应边的比相等且这两边的夹角相等的两个三角形相似”并结合各选项可判断求解.【变式11】下列说法正确的是（）A．有一个角等于100°的两个等腰三角形相似B．两个矩形一定相似C．有一个角等于45°的两个等腰三角形相似D．相似三角形一定不是全等三角形【答案】A【解析】【解答】解：A中等于100°的角只能是等腰三角形的顶角，所以这两个等腰三角形相似，故正确，符合要求；B中两个矩形虽然角度相同，但对应的边长比不相等时，两个矩形不相似，故错误，不符合要求；C中等于45°的角可以是等腰三角形的顶角或底角，当为顶角时，三角分别为45°，67.5°D中当两个相似三角形的相似比为1时，两个三角形全等，故错误，不符合要求.故答案为：A.【分析】对应角相等，对应边成比例的两个多边形相似，全等是相似比为1时的特殊情况，故全等的图形一定相似，但相似的图形不一定全等，进而结合等腰三角形的性质及矩形的性质即可一一判断得出答案.【变式12】已知图（1）、（2）中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图（2）中AB、CD交于O点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是（）A．只有（1）相似 B．只有（2）相似 C．都相似 D．都不相似【分析】对于图（1），先利用三角形内角和计算出第三个角，然后根据两个三角形中有两组角对应相等的三角形相似；对于（2）图，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行判断．【解答】解：对于图（1）：180°﹣75°﹣35°＝70°，则两个三角形中有两组角对应相等，所以（1）图中的两个三角形相似；对于（2）图：由于＝，∠AOC＝∠DOB，所以△AOC∽△DOB．故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．平行线分线段成比例定理两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定理．如图：如果，则，，．注意：若将所截出的小线段位置靠上的（如AB）称为上，位置靠下的称为下，两条线段合成的线段称为全，则可以形象的表示为，，．题型2：平行线分线段成比例2.如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF交l1，l2，l3于点D，E，F．若ABBC=43A．43 B．34 C．37 【解题思路】本题通过三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例即可得到结果．【解答过程】解：∵直线l1∥l2∥l3，∴ABBC∵ABBC=43，DF＝∴DEDF故选：D．【变式21】如图，l1∥l2∥l3，则下列等式不成立的是（）A．ADDF=BCCE B．AGAF=BGBE【解题思路】根据平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定和性质即可得到结论．【解答过程】解：∵l1∥l2∥l3，∴ADDF=BCCE，AGAF故选：D．【变式22】如图，在平行四边形ABCD中，点F是AD上的点，AF＝2FD，直线BF交AC于点E，交CD的延长线于点G，则BEEGA．12 B．13 C．23 【解题思路】由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，证明AB＝AF＝2k，DF＝DG＝k，再利用平行线分线段成比例定理即可解决问题．【解答过程】解：由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC＝3k，∴AEEC∴BE故选：C．【变式23】如图，已知点E、F分别是△ABC的边AB、AC上的点，且EF∥BC，点D是BC边上的点，AD与EF交于点H，则下列结论中，错误的是（）A．AEAB=AHAD B．AEAB=EHHF【解题思路】利用平行线分线段成比例定理即可一一判断．【解答过程】解：∵EF∥BC，∴AEAB=AHAD，∴选项A，C，D正确，故选：B．相似三角形的判定定理（一）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.题型3：相似三角形的判定定理13.如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，下列条件不能使△ADE∽△ABC相似的是（）

A．DE∥BC B．AD︰AB=DE︰BCC．AD︰DB=AE︰EC D．∠BDE+∠DBC=180°【答案】B【解析】【分析】A．DE∥BC可得出两组对应角相等，则可通过AAA证明△ADE∽△ABC相似。

C．AD︰DB=AE︰EC即可证明AD︰AB=AE︰AC，则可以证明△ADE∽△ABC相似

D．∠BDE+∠DBC=180°可证明DE∥BC。故也成立。两边对应成比例，夹角相等，才可以证明相似。排除B.

【点评】本题难度较低，主要考查学生对相似三角形判定性质知识点的掌握，为中考常考题型，要求学生牢固掌握。【变式31】如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB.证明：△ADE∽△EFC．

【答案】解；∵DE∥BC，EF∥AB，

∴∠AED=∠ECF，∠CEF=∠EAD．

∴△ADE∽△EFC．【解析】【分析】利用一组平行线被第三条直线所截它们的同位角相等，找到符合相似三角形的条件即可．【变式32】如图，平行四边形ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，DE=12CD．求证：△ABF∽△CEB【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴∠A=∠C，AB∥CD，∴∠ABF=∠CEB，∴△ABF∽△CEB．【解析】【分析】要证△ABF∽△CEB，需找出两组对应角相等；已知了平行四边形的对角相等，再利用AB∥CD，可得一对内错角相等，则可证．相似三角形的判定定理（二）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.题型4：相似三角形的判定定理24.依据下列各组条件，说明△ABC和△A′B′C′是否相似，并说明理由．（1）AB＝10cm，BC＝12cm，AC＝15cm，A′B′＝150cm，B′C′＝180cm，A′C′＝225cm．（2）AB＝10cm，BC＝8cm，AC＝16cm，A′B′＝16cm，B′C′＝12.8cm，A′C′＝25.6cm．【解答】解：（1）△ABC∽△A′B′C′，理由如下：∵，，，∴，∴△ABC∽△A′B′C′；（2）△ABC和△A′B′C′相似；理由如下：∵＝，＝，＝＝，∴，∴△ABC∽△A′B′C′．【点评】本题考查了相似三角形的判定方法、三角形内角和定理；熟练掌握相似三角形的判定方法，通过计算得出两边或三边成比例是解决问题的关键．【变式41】如图，∠B＝90°，∠ACB＝30°，AC＝2，AD＝4，DC＝2．求证：△ABC∽△ACD．【分析】根据直角三角形的性质和相似三角形的判定定理即可得到结论．【解答】证明：∵∠B＝90°，∠ACB＝30°，AC＝2，∴AB＝AC＝1，BC＝AC＝，∵AD＝4，DC＝2．∴＝，＝＝，＝＝，∴＝＝，∴△ABC∽△ACD．【点评】本题考查了相似三角形的判定，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．【变式42】一个三角形三边的长分别为6cm，9cm，7.5cm，另一个三角形三边的长分别为8cm，10cm，12cm，这两个三角形相似吗？为什么？【分析】求出两个三角形三条边对应成比例，即可得出两个三角形相似．【解答】解：这两个三角形相似；理由如下：∵＝，，，∴，∴这两个三角形相似．【点评】本题考查了相似三角形的判定方法；熟练掌握相似三角形的判定方法，证出三角形三边对应成比例是解决问题的关键．相似三角形的判定定理（三）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.注意：

此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.题型5：相似三角形的判定定理35.如图，在△ABC中，点D是AB上一点，且AD＝1，AB＝3，．求证：△ACD∽△ABC．【分析】根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得结论．【解答】证明：∵AD＝1，AB＝3，AC＝，∴，，∴，又∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．【变式51】已知：如图，AD，BC交于点O，AO•DO＝CO•BO，求证：△ABO∽△CDO．【分析】利用比例的性质得＝，加上∠AOB＝∠COD，则根据相似三角形的判定方法可得到结论．【解答】解：∵AO•DO＝CO•BO，∴＝，而∠AOB＝∠COD，∴△ABO∽△CDO．【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．【变式52】如图，AB•AE＝AD•AC，且∠1＝∠2，求证：△ABC∽△ADE．【分析】由已知条件得到：∠BAC＝∠DAE，＝．则由“两边及夹角法”证得结论．【解答】证明：如图，∵AB•AE＝AD•AC，∴＝．又∵∠1＝∠2，∴∠2+∠BAE＝∠1+∠BAE，即∠BAC＝∠DAE，∴△ABC∽△ADE．【点评】本题考查了相似三角形的判定．（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．相似三角形的判定定理（四）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.注意：

要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.题型6：相似三角形的判定定理46.如图，在△PAB中，点C、D在AB上，PC＝PD＝CD，∠APB＝120°，△APC与△BPD相似吗？为什么？【分析】由PC＝PD＝CD可判断△PCD为等边三角形，则∠PCD＝∠PDC＝∠CPD＝60°，利用邻补角得到∠3＝∠4＝120°，又由于∠APB＝120°，可计算出∠1+∠2＝60°，加上∠A+∠2＝60°，所以∠1＝∠A，于是可根据有两组角对应相等的两个三角形相似得到△PAC∽△BPD．【解答】解：△APC与△BPD相似．理由如下：如图，∵PC＝PD＝CD，∴△PCD为等边三角形，∴∠PCD＝∠PDC＝∠CPD＝60°，∴∠3＝∠4＝120°，∵∠APB＝120°，∴∠1+∠2＝120°﹣60°＝60°，∵∠PCD＝∠A+∠2＝60°，∴∠1＝∠A，∴△PAC∽△BPD．【点评】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了等边三角形的判定与性质．【变式61】如图，∠B＝∠D，∠1＝∠2．求证：△ABC∽△ADE．【分析】已经有一对角相等，只需再证一对角相等即可．因为∠1＝∠2，所以∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC，即∠BAC＝∠DAE．问题得证．【解答】证明：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠CAD＝∠2+∠CAD，∴∠BAC＝∠DAE，又∵∠B＝∠D，∴△ABC∽△ADE．【点评】本题考查了相似三角形的判定．两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似，熟记相似三角形的各种判定方法是解题关键．【变式62】如图，O是△ABC的三条角平分线的交点，过点O作AO的垂线交AB于点D，求证：△OBD∽△CBO．【分析】根据三角形内心的性质得∠1＝∠BAC，∠2＝∠4，∠3＝∠ACB，则利用三角形内角和定理得到∠1+∠2+∠3＝90°，则∠BOC＝180°﹣（∠2+∠3）＝90°+∠1，再根据三角形外角性质得∠BDO＝∠DOA+∠1，于是得到∠BDO＝∠BOC，然后根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断△OBD∽△CBO．【解答】证明：如图，∵O是△ABC的三条角平分线的交点，∴∠1＝∠BAC，∠2＝∠4，∠3＝∠ACB，∴∠1+∠2+∠3＝90°，即∠2+∠3＝90°﹣∠1，而∠BOC＝180°﹣（∠2+∠3）＝90°+∠1，∵∠BDO＝∠DOA+∠1，而AO⊥OD，∴∠DOA＝90°，∴∠BDO＝∠BOC，而∠4＝∠2，∴△OBD∽△CBO．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了三角形的内心的性质．【变式63】如图，⊙O中的弦AB，CD相交于点E，求证：△AED∽△CEB．【分析】先根据圆周角定理得出∠A＝∠C，∠B＝∠D，进而可得出结论．【解答】解：∵∠A＝∠C，∠B＝∠D，∴△AED∽△CEB．【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知有两组角对应相等的两个三角形相似是解答此题的关键．题型7：直角三角形相似的判定方法7.已知：如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上高，找出图中的相似三角形．并说明理由．【分析】根据相似三角形的判定定理及已知即可得到存在的相似三角形．【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB∴△ABC∽△ACD△ACD∽△CBD△ABC∽△CBD．【点评】考查相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似．（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．（3）三边对应成比例的两个三角形相似．【变式71】如图，在等腰△ABC中，AD是顶角∠BAC的角平分线，BE是腰AC边上的高，垂足为点E．求证：△ACD∽△BCE．【分析】根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，则∠ADC＝90°，然后根据有两组角对应相等的两个三角形相似得到结论．【解答】证明：∵AD是等腰△ABC的顶角∠BAC的角平分线，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵BE是腰AC边上的高，∴∠BEC＝90°，∵∠ACD＝∠BCE，∠ADC＝∠BEC，∴△ACD∽△BCE．【点评】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了相似三角形的判定．【变式72】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是BC上一点，已知CD＝1，AD＝，AB＝2．求证：Rt△ADC∽Rt△BAC．【分析】先根据勾股定理，求得Rt△ACD中，AC＝2，Rt△ABC中，BC＝4，再根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，判定Rt△ADC∽Rt△BAC．【解答】证明：∵∠C＝90°，CD＝1，AD＝，∴Rt△ACD中，AC＝2，∵∠C＝90°，AB＝2，∴Rt△ABC中，BC＝4，∴＝＝，又∵∠DCA＝∠ACB＝90°，∴Rt△ADC∽Rt△BAC．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定以及勾股定理的运用，解决问题的关键是掌握：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．相似三角形的性质相似三角形的对应角相等，对应边成比例.2.相似三角形对应线段的比等于相似比.相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比.3.相似三角形周长的比等于相似比4.相似三角形面积的比等于相似比的平方题型8：相似三角形的性质8.如图，已知△ACE∽△BDE，AC＝6，BD＝3，AB＝12，CD＝18．求AE和DE的长．【分析】根据相似三角形对应边成比例求出＝，再求解即可．【解答】解：∵△ACE∽△BDE，∴＝＝，∵AC＝6，BD＝3，∴＝＝2，∴AE＝12×＝8，DE＝18×＝6．【点评】本题考查了相似三角形对应边成比例的性质，熟记性质是解题的关键．【变式81】已知△ABC的三边长分别为6，8，10，和△ABC相似的△A′B′C′的最长边长30，求△A′B′C′的另两条边的长、周长及最大角的大小．【分析】由△ABC的三边长分别为6，8，10，可判定△ABC是直角三角形，又由和△ABC相似的△A′B′C′的最长边长30，可得相似比为1：3，则可求得另两条边的长，继而求得周长；然后由相似三角形的对应角相等，求得最大角的大小．【解答】解：∵△ABC的三边长分别为6，8，10，且62+82＝102，∴△ABC是直角三角形，∴△ABC的最大角是90°，∵和△ABC相似的△A′B′C′的最长边长30，∴△ABC与△A′B′C′的相似比为：10：30＝1：3，∴另两条边的长分别为：6×3＝18，8×3＝24，∴周长为：18+24+30＝72，最大角为90°．【点评】此题考查了相似三角形的性质以及勾股定理的逆定理．注意相似三角形的对应边成比例、对应角相等．【变式82】如图，已知△ADE∽△AFG∽△ABC，且△ABC的面积被线段DE、FG三等分，其中BC＝12cm，求线段DE和FG的长度．【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方分别求解即可．【解答】解：∵△ADE∽△ABC，且△ABC的面积被线段DE、FG三等分，∴（）2＝，即（）2＝，解得DE＝4，∵△AFG∽△ABC，且△ABC的面积被线段DE、FG三等分，∴（）2＝，即（）2＝，解得FG＝4，答：线段DE和FG的长度分别为4cm，4cm．【点评】本题考查了相似三角形的性质，主要利用了相似三角形面积的比等于相似比的平方．题型9：相似三角形的性质与判定9.如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝AB，∠DEC＝∠ADB．（1）求证：△AED∽△ADC；（2）若AE＝1，EC＝3，求AB的长．【分析】（1）利用三角形外角的性质及∠DEC＝∠ADB可得出∠ADE＝∠C，结合∠DAE＝∠CAD即可证出△AED∽△ADC；（2）利用相似三角形的性质可求出AD的长，再结合AD＝AB即可得出AB的长．【解答】（1）证明：∵∠DEC＝∠DAE+∠ADE，∠ADB＝∠DAE+∠C，∠DEC＝∠ADB，∴∠ADE＝∠C．又∵∠DAE＝∠CAD，∴△AED∽△ADC．（2）∵△AED∽△ADC，∴＝，即＝，∴AD＝2或AD＝﹣2（舍去）．又∵AD＝AB，∴AB＝2．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）利用“两角对应相等，两三角形相似”证出△AED∽△ADC；（2）利用相似三角形的性质，求出AD的长．【变式91】如图，E为AB上一点，∠A＝∠CED＝∠B，连接CD．（1）求证：△CAE∽△EBD；（2）若CE平分∠ACD，CD＝6，BD＝3，求ED的长．【分析】（1）由∠A＝∠CED，∠A+∠ACE＝∠CED+∠DEB，得∠DEB＝∠ACE，即可推出结论；（2）证明△CDE∽△EDB，得出比例式求解即可．【解答】（1）证明：∵∠A＝∠CED，∠A+∠ACE＝∠CED+∠DEB，∴∠DEB＝∠ACE，又∵∠A＝∠B，∴△CAE∽△EBD；（2）解：∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE，由（1）知，∠DEB＝∠ACE，∴∠DCE＝∠DEB，又∵∠B＝∠CED，∴△CDE∽△EDB，∴，即，∴DE＝3．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．【变式92】如图，已知，在锐角△ABC中，BD和CE分别是边AC、AB上的高．（1）求证：；（2）联结AF，求证：AF•BE＝BC•EF．【分析】（1）通过证明△AEC∽△FEB，根据相似三角形的性质可得结论；（2）通过证明△AEF∽△CEB，根据相似三角形的性质可得结论．【解答】证明：（1）∵BD和CE分别是边AC、AB上的高，∴∠AEC＝∠BDA＝90°，∴∠A+∠ACE＝90°＝∠A+∠ABD，∴∠ACE＝∠ABD，又∵∠AEC＝∠BEF＝90°，∴△AEC∽△FEB，∴＝；（2）如图，连接AF，∵△AEC∽△FEB，∴＝，∴＝，又∵∠AEC＝∠FEB＝90°，∴△AEF∽△CEB，∴＝，∴AF•BE＝BC•EF．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．【变式93】如图，等边三角形△ACB的边长为3，点P为BC上的一点，点D为AC上的一点，连接AP、PD，∠APD＝60°．（1）求证：△ABP∽△PCD；（2）若PC＝2，求CD的长．【分析】（1）由△ABC为等边三角形，易得∠B＝∠C＝60°，又∠APD＝60°，由外角性质可得∠DPC＝∠PAB，利用相似三角形的判定定理（AA）可得△ABP∽△PCD；（2）利用相似三角形的性质可得，易得CD，可得AD，再利用AP2＝AD•AC，可得AP，从而可得答案．【解答】（1）证明：①在等边三角形△ACB中，∠B＝∠C＝60°，∵∠APD＝60°，∠APC＝∠PAB+∠B，∴∠DPC＝∠PAB，∴△ABP∽△PCD；（2）解：∵△ABP∽△PCD，AB＝AC＝3，∴，∴CD＝＝＝，∴AD＝3﹣＝，∵等边三角形△ACB的边长为3，PC＝2，AP2＝AD•AC，∴AB＝3，BP＝1，∴AP＝，∴CD＝．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质及判定，由条件证得△ABP∽△PCD，△ADP∽△APC是解答此题的关键．题型10：相似三角形的应用10.《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的办法，如图所示，在井口A处立一垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观测井水水岸D，视线BD与井口的直径CA交于点E，若测得AB＝1米，AC＝1.6米，AE＝0.4米，则水面以上深度CD为（）A．4米 B．3米 C．3.2米 D．3.4米【分析】由题意知：△ABE∽△CDE，得出对应边成比例即可得出CD．【解答】解：由题意知：AB∥CD，∴△ABE∽△CDE，∴，∴，∴解得CD＝3，∴水面以上深度CD为3米．故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据题意得出△ABE∽△CDE是解决问题的关键．【变式101】小军想出了一个测量建筑物高度的方法：在地面上点C处平放一面镜子，并在镜子上做一个标记，然后向后退去，直至站在点D处恰好看到建筑物AB的顶端A在镜子中的像与镜子上的标记重合（如图）．设小军的眼睛距地面1.65m，BC、CD的长分别为60m、3m，求这座建筑物的高度．【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出＝，进而得出AB的长．【解答】解：由题意可得：∠ABC＝∠EDC，∠ACB＝∠ECD，故△ABC∽△EDC，则＝，∵小军的眼睛距地面1.65m，BC、CD的长分别为60m、3m，∴＝，解得：AB＝33，答：这座建筑物的高度为33m．【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出比例式是解题关键．【变式102】如图，直立在B处的标杆AB＝2.9米，小爱站在F处，其中眼睛E，标杆顶A，树顶C在同一条直线上（人，标杆和树在同一平面内，且点F，B，D在同一条直线上）．已知BD＝6米，FB＝2米，EF＝1.6米，求树高CD．【分析】过E作EH⊥CD交CD于H点，交AB于点G，可证明四边形EFDH为长方形，可得HD的长；可证明△AEG∽△CEH，故可求得CH的长，所以树高CD的长即可知．【解答】解：如图，过点E作EH⊥CD于点H，交AB于点G，则四边形EFDH为矩形，∴EF＝GB＝DH＝1.6米，EG＝FB＝2米，GH＝BD＝6米，∴AG＝AB﹣GB＝2.9﹣1.6＝1.3（米），∵EH⊥CD，EH⊥AB，∴AG∥CH，∴△AEG∽△CEH，∴，∴，解得CH＝5.2，∴CD＝CH+DH＝5.2+1.6＝6.8（米）．答：树高CD为6.8米．【点评】本题考查了相似三角形在实际问题中的运用，关键是正确作出辅助线，构造出相似三角形．题型10：相似三角形的探究性/存在性问题11.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm．现在有动点P从点B出发，沿线段BA向终点A运动，动点Q从点A出发，沿折线AC—CB向终点运动．如果点P的速度是1cm/s，点Q的速度是1cm/s．它们同时出发，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为t秒．（1）如图1，Q在AC上，当t为多少秒时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？（2）如图2，Q在CB上，是否存着某时刻，使得以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）如图1，当∠AQP＝90°时，△AQP∽△ACB，由相似三角形的性质就可以求出t值，如图2，当∠APQ＝90°时，就有△APQ∽△ACB，由相似三角形的性质就可以求出其t值；（2）如图3，当△BPQ∽△BAC时，当△BQP∽△BAC时，根据相似三角形的性质可以求出t的值．【解答】解：（1）如图1，当∠AQP＝90°时，△AQP∽△ACB，∴．在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB＝＝＝10（cm）．∵BP＝t，AQ＝t，∴PA＝10﹣t，∴，∴t＝，如图2，当∠APQ＝90°时，△APQ∽△ACB，∴，∴，t＝．综上所述，t＝或时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似；（2）如图3，当△BPQ∽△BAC时，．∵BQ＝14﹣t，BP＝t，∴，∴t＝，当△BQP∽△BAC时，∴，∴t＝（舍去），∴t＝时，Q在CB上，以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．【点评】本题考查了勾股定理的运用，相似三角形的判定及性质的运用，解答本题时证明三角形相似是关键．【变式111】如图所示，在等腰△ABC中，AB＝AC＝5cm，BC＝8cm，点P由点A出发沿AB方向向点B匀速运动，同时点Q由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜5），解答下列问题：（1）当t为何值时，△BPQ的面积为cm2；（2）在点P，Q的运动中，是否存在时间t，使△BPQ为等腰三角形．若存在，请求出对应的时间t；若不存在，请说明理由．【分析】（1）过点A作AE⊥BC于E，过点P作PF⊥BC于F，先求出AE的长，由相似三角形的性质可求PF＝cm，BF＝cm，由三角形的面积公式可求解；（2）分三种情况讨论，利用等腰三角形的性质可求解．【解答】解：（1）如图，过点A作AE⊥BC于E，过点P作PF⊥BC于F，∵AB＝AC＝5cm，BC＝8cm，AE⊥BC，∴BE＝EC＝4cm，∴AE＝＝＝3cm，∵∠PFB＝∠AEB＝90°，∠B＝∠B，∴△AEB∽△PFB，∴＝，∴＝，∴PF＝cm，BF＝cm，∵△BPQ的面积为cm2，∴×BQ×PF＝，∴×t×＝，∴t1＝1，t2＝4，∴当t为1或4时，△BPQ的面积为cm2；（2）当BP＝BQ时，则5﹣t＝t，∴t＝，当BQ＝PQ时，∵PQ2＝PF2+QF2，∴t2＝[]2+[﹣t]2，∴t1＝5（不合题意），t2＝，当BP＝PQ时，则点P在BF的垂直平分线上，∴＝，∴t＝，综上所述：t的值为或或时，△BPQ为等腰三角形．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．【变式112】如图，在矩形ABCD中，AB＝10m，BC＝24m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向C点移动，同时动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向B点移动．设P、Q两点移动的时间为t（0＜t＜13）秒．（1）t为多少时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ABC相似？（2）探究：在P、Q两点移动过程中，四边形ABQP与△CPQ的面积能否相等？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．【分析】（1）先利用勾股定理计算出AC＝26，由于∠PCQ＝∠ACB，根据三角形相似的判定，当∠PQC＝∠B时可判断CQP∽△CBA，利用相似比得到＝；当∠PQC＝∠BAC时可判断△CQP∽△CAB，利用相似比得到，然后分别解方程求出t的值即可；（2）作PQ⊥BC于H，如图，先证明△CPH∽△CAB，利用相似比可得到PH，再利用四边形ABQP与△CPQ的面积相等得到S△ABC＝2S△CPQ，利用三角形面积公式得到2••t•＝×10×24，然后解关于t的方程可判断四边形ABQP与△CPQ的面积能否相等．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AC＝＝＝26，∵∠PCQ＝∠ACB，∴当∠PQC＝∠B时，△CQP∽△CBA，则，即，解得t＝（s）；当∠PQC＝∠BAC时，△CQP∽△CAB，则，即，解得t＝（s）；∴t为s或s时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ABC相似；（2）四边形ABQP与△CPQ的面积能相等．理由如下：作PQ⊥BC于H，如图，∵PH∥AB，∴△CPH∽△CAB，∴，即，∴PH＝，当四边形ABQP与△CPQ的面积相等时，S△ABC﹣S△CPQ＝S△CPQ，即S△ABC＝2S△CPQ，∴2••t•＝×10×24，整理得t2﹣13t+156＝0，Δ＜0，此时方程没有实数根，∴不存在t的值使四边形ABQP与△CPQ的面积相等．【点评】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．熟练应用相似比计算线段的长．题型12：正方形网格中相似三角形的判定12.如图，在4×4的正方形网格纸中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的格点上．（1）求证：△ABC∽△DEF；（2）直接写出△ABC和△DEF的周长比．【分析】（1）由勾股定理求出BC、AC、DE、DF的长，得＝＝＝，即可得出结论；（2）由相似三角形的性质即可得出答案．【解答】（1）证明：∵AB＝2，BC＝2，AC＝2，DE＝，EF＝2，DF＝，∴＝＝＝，∴△ABC∽△DEF；（2）解：△ABC和△DEF的周长比＝＝．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．【变式121】如图，在7×4方格纸中，点A，B，C都在格点上（△ABC称为格点三角形，即格点△ABC），用无刻度直尺作图．（1）在图1中的线段AC上找一个点D，使CD＝AC；（2）在图2中作一个格点△CEF，使△CEF与△ABC相似．【分析】（1）根据“8字形”相似，可得CD：AD＝2：3，从而得出点D的位置；（2）根据∠ACB＝90°，AC＝2BC，即可画出△CEF．【解答】解：（1）如图1，点D即为所求；（2）如图2，△CEF即为所求．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．【变式122】我们把顶点在正方形网格格点上的三角形叫做格点三角形．在7×4网格中，格点△ABC和格点△DEF如图所示．（1）求证：△ABC∽△DEF；（2）求∠A+∠E的度数．【分析】（1）根据勾股定理求出两个三角形的三边长，根据三边对应成比例的两个三角形相似证明；（2）根据相似三角形的性质、三角形的外角的性质计算．【解答】（1）证明：由勾股定理得，AC＝1，BC＝3，AB＝5，DE＝，EF＝6，ED＝5，则＝＝＝，∴△ABC∽△DEF；（2）解：∵△ABC∽△DEF，∴∠A＝∠D，∵∠D+∠E＝45°，∴∠A+∠E＝45°．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用，掌握三边对应成比例的两个三角形相似是解题的关键．题型13：相似三角形的综合应用13.如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点P在OC上，联结BP，延长BP交CD于点Q，过点P作PE⊥BP分别交AD、BD于点E、F．（1）求证：△APE∽△DBQ；（2）求证：DE•CP＝CQ•DF．【分析】（1）由正方形的性质可得，∠DAC＝∠BDC＝45°，由余角的性质可得∠APE＝∠PBF，可得结论；（2）通过证明△DEF∽△CQP，可得，可得结论．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∠DAC＝∠BDC＝45°，∵PE⊥BP，∴∠PBF+∠BFP＝90°＝∠BFP+∠APE，∴∠APE＝∠PBF，∴△APE∽△DBQ；（2）∵△APE∽△DBQ，∴∠AEP＝∠BQD，∴∠DEP＝∠BQC，又∵∠ADB＝∠ACD＝45°，∴△DEF∽△CQP，∴，∴DE•CP＝CQ•DF．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，证明三角形相似是解题的关键．【变式131】如图，在△ABC中，点D在边AB上，点F、E在边AC上，且DF∥BE，．（1）求证：DE∥BC；（2）如果＝，S△ABC＝12，求S△ADE的值．【分析】（1）由DF∥BE得比例，结合已知比例，利用过渡比得出＝，证明结论；（2）首先可以证明＝，然后证明△ADE∽△ABC，最后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解．【解答】（1）证明：∵DF∥BE，∴＝，∵＝，∴＝，∴DE∥BC；（2）解：∵＝，∴＝，∴＝，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝（）2＝，∵S△ABC＝12，∴S△ADE＝．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，平行线分线段成比例．关键是利用平行线得出相似三角形及比例，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方解题．【变式132】已知在△ABC中，∠C＝90°，以AC上的一点O为圆心，以OA为半径的圆交AB于点D，交AC于点F．（1）求证：AB•AD＝AC•AF；（2）如果CD是⊙O的切线，D是切点，F是OC的中点，当BC＝3时，求AB的长．【分析】（1）连接DE，根据圆周角定理求得∠ADF＝90°，得出∠ADF＝∠ACB，进而证得△ADF∽△ACB，根据相似三角形对应边成比例即可求得结论；（2）连接OD，根据切线的性质求得OD⊥CD，在Rt△OCD中，根据已知求得∠OCD＝30°，进而求得∠BAC＝30°，根据30°的直角三角形的性质即可求得AB的长．【解答】（1）证明：连接DF，∵AF是直径，∴∠ADF＝90°，∴∠ADF＝∠ACB，∵∠DAF＝∠BAC，∴△ADF∽△ACB，∴＝，∴AB•AD＝AC•AF；（2）解：连接OD，∵CD是⊙O的切线，∴OD⊥CD，在Rt△OCD中，OF＝CF＝OD，∴OC＝2OD，∴∠OCD＝30°，∴∠DOC＝60°，∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO＝，∴∠BAC＝30°，在Rt△ABC中，AB＝2BC＝2×3＝6．【点评】本题考查了圆周角定理的应用，三角形相似的判定和性质，切线的性质，30°的直角三角形的性质等，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．一、单选题1．如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（）A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABC C．AB2=AD•AC D．AD【答案】D【解析】【解答】解：A、∵∠ABD=∠ACB，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；B、∵∠ADB=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；C、∵AB2=AD•AC，∴ACAB=ABAD，

又∠A=∠A，D、ADAB=ABBC不能判定△ADB∽△ABC故答案为：D.【分析】由图可知△ADB与△ABC中，∠CAB=∠BAD，要证两三角形相似，可以添加这两三角形中剩下的两组角中的任意一组相等或夹∠CAB与∠BAD的两边对应成比例，据此一一判断得出答案.

2．下列四组图形中不一定相似的是。A．有一个角等于400B．有一个角为500C．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形D．有一个角是600【答案】A【解析】【分析】相似三角形的判定方法：有两对角分别相等的两个三角形相似。

Ａ、有一个角等于400的两个等腰三角形不一定相似，本选项符合题意；

Ｂ、有一个角为500的两个直角三角形；Ｃ、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形；Ｄ、有一个角是600的两个等腰三角形，均相似，不符合题意.

3．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中△ABC相似的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】【解答】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为2、2、10、只有选项B的各边为1、2、5与它的各边对应成比例．故答案为：B．【分析】根据三边对应成比例的三角形相似，分别计算出图中的三角形的三边长，再计算出选项中的各三角形的三边长，发现B选项的三角形和图中的三角形的三边长比例相等，相似。4．某块面积为4000m2的多边形草坪，在嘉兴市政建设规划设计图纸上的面积为250cm2，这块草坪某条边的长度是40m，则它在设计图纸上的长度是（）A．4cm B．5cm C．10cm D．40cm【答案】C【解析】【解答】解：设这块草坪在设计图纸上的长度是xcm，4000m2=40000000cm2，40m=4000cm，根据题意得：40000000250=（4000x）解得：x=10，即这块草坪在设计图纸上的长度是10cm．故选C．【分析】首先设这块草坪在设计图纸上的长度是xcm，根据题意可得这两个图形相似，根据相似图形的面积比等于相似比的平方，可列方程40000000250=（4000x）5．如图所示，△ABC是等边三角形，若被一边平行于BC的矩形所截，AB被截成三等份，则图中阴影部分的面积是△ABC面积的()A．19 B．29 C．13 【答案】C【解析】【解答】解：∵AB被三等分

∴△AEH∽△AFG∽△ABC

∴AEAF=12，AEAB=13

∴S△AFG：S△ABC=4:9，S△AEH：S△ABC=1:9

∴S△AFG=49S△ABC，S△AEH=19S△ABC

∴故答案为：C.

【分析】根据题意，由相似三角形的性质，求出答案即可。6．如图，在△ABC中，DE∥BC，且AE=3cm，EC=5cm，DE=6cm．则BC等于()

A．10cm B．16cm C．12cm 【答案】B【解析】【分析】根据相似三角形的对应边成比例解答即可．

【解答】∵AE=3cm，EC=5cm，

∴AC=8cm，

又∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，

∴DEBC=AEAC，

∴6BC=38，

∴二、填空题7．如图，△ABC中，DE∥BC，DEBC=23，△ADE的面积为8，则△ABC【答案】18【解析】【解答】解：∵在△ABC中，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.∵DEBC=∴S△ADE∴S△ABC=9【分析】由DE∥BC可证△ADE∽△ABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解.8．如图所示，线段AB与CD都是⊙O中的弦，其中弧AB=108°，AB=a，弧CD=36°，CD=b，则⊙O的半径R=【答案】a﹣b或ab【解析】【解答】在AB上取BM=OB，连接AO、BO、DO、MO，∵AB=108°，CD=36°，∴∠DOC=36°，∠AOB=108°，∵OC=OD=OA=OB，∴∠ABO=∠DOC=36°，∴△BOM≌△