专题10新定义综合题-2019-2020学年北京各区及京城名校初二下学期期末数学试卷分类汇编（原卷版）

专题新定义综合题（道）学年北京各区及京城名校初二下学期期末数学试卷分类汇编（年东城初二下期末·第题）已知正方形边长为，若一个等边三角形的三个顶点均在正方形的内部或边上，则称这个等边三角形为正方形的内等边三角形．（1）正方形的边长为，点在边上．①当点为边的中点时，求作：正方形的内等边（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；②若是正方形的内等边三角形，连接则线段长的最小值是__________，线段长的取值范围是__________；（2）和都是正方形的内等边三角形，当边的长最大时，画出和，点按逆时针方向排序，连接，求的长．（年西城初二下期末·第题）对于平面内三点,我们规定：若将点绕点顺时针旋转（）后能与点重合，就将其简记为：．在平面直角坐标系中，．解决下面的问题：（1）如图，若，画出点并直接写出点的坐标；（2）如图，，直线与轴的交点为．①若，且点落在直线上，求的值；②若点在四边形的边上运动，在直线上存在相应的点，使得，请直接写出点的横坐标的取值范围．（年房山初二下期末·第题）在平面直角坐标系中，对于任意三点的“矩积”，给出如下定义：“横底”：任意两点横坐标差的最大值；“纵高”：任意两点纵坐标差的最大值；则“矩积”．例如：三点坐标分别为，则“横底”，“纵高”，“矩积”．已知点．（1）若点在轴上．①当三点的“矩积”为，则点的坐标为；②直接写出三点的“矩积”的最小值为；（2）若点在直线上，使得三点的“矩积”取到最小值，直接写出的取值范围是．（年门头沟初二下期末·第题）我们给出如下定义：在平面直角坐标系中，对于任意一点如果满足，我们就把点称作“特征点”．（1）在直线上的“特征点”为；（2）一次函数的图象上的“特征点”为；（3）有线段，点的坐标分别为，如果线段上始终存在“特征点”，求的取值范围．（年密云初二下期末·第题）在平面直角坐标系中，把图形上的点到直线距离的最大值定义为图形到直线的最大距离．如图，直线经过点且垂直于轴，，，，则到直线的最大距离为．（1）如图，正方形的中心在原点，顶点都在坐标轴上，．①求正方形到直线的最大距离．②当正方形到直线的最大距离小于时，直接写出的取值范围．（2）若正方形边长为，中心在轴上，且有一条边垂直于轴，该正方形到直线的最大距离大于，求点横坐标的取值范围．（年延庆初二下期末·第题）规定：若直线与图形有公共点，则称直线是图形的关联直线．已知：矩形的其中三个顶点的坐标为.（1）当时，如图以下三个一次函数，，中，是矩形的关联直线；（2）已知直线，若直线是矩形的关联直线，求的取值范围；（3）如果直线（）是矩形的关联直线，请直接写出的取值范围．（年昌平初二下期末·第题）对于平面直角坐标系中的任意两点给出如下定义：点与点的“绝对距离”为：．例如：若点，点，则点与点的“绝对距离”为：．已知点，根据以上定义，解决下列问题：（1）；（2）已知点，且，求的值；（3）已知点，且，写出的取值范围是．（4）在平面直角坐标系中画出满足时，点组成的图形．（年中学初二下期末·第题）定义：若关于的一元二次方程的两个实数根为，分别以为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点．（1）若方程为，写出该方程的衍生点的坐标．（2）若关于的一元二次方程的衍生点为，过点向轴和轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求的值．（3）是否存在，使得不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线的图象上，若有请直接写出的值，若没有说明理由．（年北大附中初二下期末·第题）对于点，规定，那么就把叫点的“和合数”．例如：若，则，那么叫的“和合数”．（1）在平面直角坐标系中，已知，点.①，与点的“和合数”相等的点；②若点在直线上，且与点的“和合数”相同，则点的坐标是；（2）点是矩形边上的任意点，点，点是直线上的任意点，若存在两点的“和合数”相同，求的取值范围．（年北京二中初二下期末·第题）在平面直角坐标系中，若为某个矩形不相邻的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点的“相关矩形”．图为点的“相关矩形”的示意图．已知点的坐标为．（1）如图，点的坐标为．①若，则点的“相关矩形”的面积是；②若点的“相关矩形”的面积是，则的值为．（2）如图，等边的边在轴上，顶点在轴的正半轴上，点的坐标为．点的坐标为．若在的边上存在一点，使得点的“相关矩形”为正方形，请直接写出的取值范围．（年北师大附中初二下期末·第25题）对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，且），则称点为点的“属派生点”．例如：的“属派生点”为，即（1）①点的“属派生点”的坐标为；②若点的“属派生点”的坐标为，请写出一个符合条件的点的坐标；（2）若点在轴的正半轴上，点的“k属派生点”为点，且，则的值；（3）如图，点的坐标为，点在函数的图象上，且点是点的“属派生点”，当线段最短时，求点坐标．（年昌平区第一教育集团初二下期末·第题）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，且，，若为某正方形的两个顶点，且该正方形的边均与某条坐标轴平行（含重合），则称互为“正方形点”（即点是点的“正方形点”，点也是点的“正方形点”）．下图是点互为“正方形点”的示意图.（1）已知点的坐标是，下列坐标中，与点互为“正方形点”的坐标是____________.（填序号）①；②；③.（2）若点的“正方形点”在轴上，求直线的表达式；（3）点的坐标为，点的坐标为，点是线段上一动点（含端点），若点互为“正方形点”，求的取值范围.（年北京市第五十七中学初二下期末·第题）已知：如图，的半径为，在射线上任取一点（不与点重合），如果射线上的点，满足，则称点为点关于的反演点．在平面直角坐标系中，已知的半径为．（1）已知点，求点关于的反演点的坐标；（2）若点关于的反演点恰好为直线与直线的交点，求点的坐标；（3）若点为直线上一动点，且点关于的反演点在的内部，求点的横坐标的范围；（4）若点为直线上一动点，直接写出点关于的反演点的横坐标的范围．（年北京市人大附中初二下期末·第题）在平面直角坐标系中，对于与坐标轴不平行的直线和点，给出如下定义：过点作轴，轴的垂线，分别交直线于点若，则称为直线的平安点．已知点．（1）当直线的表达式为时，①在点中，直线的平安点是___________；②若以为边的矩形上存在直线的平安点，则点的横坐标的取值范围______________；③若直线被坐标轴所截得的线段上所有的点都是直线的平安点，则应满足的条件为_____________；（2）当直线的表达式为时，若点是直线的平安点，求的取值范围．（年北京市海淀外国语实验学校初二下期末·第题）在平面直角坐标系中，已知点及两个图形，若对于图形上任意一点，在图形上总存在点P'（x'，y'），使得点是线段的中点，则称点是点关于点的关联点，图形是图形关于点的关联图形，此时三个点的坐标满足．（1）点是点关于原点的关联点，则点的坐标是_________；（2）已知，点以及点①画出正方形关于点的关联图形；②在轴上是否存在点，使得正方形关于点的关联图形恰好被直线分成面积相等的两部分？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由．（年北京市海淀教师进修学校附属实验中学初二下期末·第题）在平面直角坐标系中，点，若射线上存在点，使得是以为腰的等腰三角形，就称点为线段关于射线的等腰点．（1）如图，，①若，则线段关于射线的等腰点的坐标是___________；②若，且线段关于射线的等腰点的纵坐标小于，求的取值范围；若，且射线上只存在一个线段关于射线的等腰点，则的取值范围是___________（年首师大附属育新学校初二下期末·第25题）对于平面直角坐标系中的点和正方形给出如下定义：若正方形的对角线交于点，四条边分别和坐标轴平行，我们称该正方形为原点正方形．当原点正方形上存在点，满足时，称点为原点正方形的友好点．（1）当原点正方形边长为时，①在点中，原点正方形的友好点是__________②点P在直线的图象上，若点为原点正方形的友好点，求点横坐标的取值范围；（2）一次函数的图象分别与轴，轴交于点，若线段上存在原点正方形的友好点，直接写出原点正方形边长的取值范围．（年北京十一学校初二下期末·第题）在平面直角坐标系中，对于直线及点给出如下定义：过点作轴的垂线交直线于点，若，则称点为直线的关联点，当时，称点为直线的最佳关联点，当点与点重合