高中数学 模块综合检测（C）北师大版必修2

模块综合检测（C）(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．如图所示，桌面上放着一个圆锥和一个长方体，其左视图是()2．如图所示，一个空间几何体的主视图、左视图、左视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为()A．1B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,3)D．eq\f(1,6)3．直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1在xA．1B．2C．－eq\f(1,2)D．2或－eq\f(1,2)4．直线4x－3y－2＝0与圆x2＋y2－2ax＋4y＋a2－12＝0总有两个不同的交点，则a的取值范围是()A．－3<a<7B．－6<a<4C．－7<a<3D．－21<a<195．若P为平面α外一点，则下列说法正确的是()A．过P只能作一条直线与平面α相交B．过P可能作无数条直线与平面α垂直C．过P只能作一条直线与平面α平行D．过P可作无数条直线与平面α平行6．连接平面外一点P和平面α内不共线的三点A，B，C，A1，B1，C1分别在PA，PB，PC的延长线上，A1B1，B1C1，A1C1与平面α分别交于D，E，F，则D，E，A．成钝角三角形B．成锐角三角形C．成直角三角形D．共线7．在圆x2＋y2＝4上与直线l：4x＋3y－12＝0的距离最小的点的坐标是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)，\f(6,5)))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)，－\f(6,5)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,5)，\f(6,5)))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,5)，－\f(6,5)))8．过平行六面体ABCD－A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1A．4条B．6条C．8条D．12条9．若⊙C1：x2＋y2－2mx＋m2＝4和⊙C2：x2＋y2＋2x－4my＝8－4m2相交，则A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,5)，－\f(2,5)))B．(0,2)C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,5)，－\f(2,5)))∪(0,2)D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,5)，2))10．已知点P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA是圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的切线，A为切点，则|PA|的最小值为()A．1B．eq\r(2)C．2D．2eq\r(2)11．设x＋2y＝1，x≥0，y≥0，则x2＋y2的最小值和最大值分别为()A．eq\f(1,5)，1B．0,1C．0，eq\f(1,5)D．eq\f(1,5)，212．如果圆x2＋(y－1)2＝1上任意一点P(x，y)都能使x＋y＋c≥0成立，那么实数c的取值范围是()A．c≥－eq\r(2)－1B．c≤－eq\r(2)－1C．c≥eq\r(2)－1D．c≤eq\r(2)－1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，∠BAC＝30°，则此几何体的体积为________．14．P(0，－1)在直线ax＋y－b＝0上的射影为Q(1,0)，则ax－y＋b＝0关于x＋y－1＝0对称的直线方程为________．15．由动点P向圆x2＋y2＝1引两条切线PA、PB，切点分别为A，B，∠APB＝60°，则动点的轨迹方程为____________．16．如图所示的是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中完全一样的是________．(填序号)三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)求圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)的圆的方程．18．(12分)如图所示，在棱锥A－BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形．求证：(1)DM∥平面APC；(2)平面ABC⊥平面APC．19．(12分)已知一个几何体的三视图如图所示，试求它的表面积和体积．(单位：cm)20．(12分)已知圆过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4eq\r(3)，求圆的方程．21．(12分)已知△ABC的顶点A为(3，－1)，AB边上的中线所在直线方程为6x＋10y－59＝0，角B的平分线所在直线方程为x－4y＋10＝0，求BC边所在直线的方程．22．(12分)已知以点Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t，\f(2,t)))(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点．(1)求证：△OAB的面积为定值；(2)设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M、N，若OM＝ON，求圆C的方程．模块综合检测(C)答案1．D2．D3．D[令y＝0，则(2m2＋m－3)x＝4m－1，所以直线在x轴上的截距为eq\f(4m－1,2m2＋m－3)＝1，所以m＝2或m＝－eq\f(1,2)．]4．B[将圆的方程化为(x－a)2＋(y＋2)2＝16．圆心(a，－2)到直线的距离d＝eq\f(|4a＋4|,5)．∵直线与圆有两个不同交点，∴d<4，即eq\f(|4a＋4|,5)<4，得－6<a<4，故选B．]5．D6．D[因为D，E，F都在平面A1B1C17．A[经过圆心O且与直线l垂直的直线的方程是3x－4y＝0．解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－4y＝0，,x2＋y2＝4，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(8,5)，,y＝\f(6,5)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(8,5)，,y＝－\f(6,5).))画出图形，可以判断点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)，\f(6,5)))是圆x2＋y2＝4上到直线l距离最小的点，点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,5)，－\f(6,5)))是圆x2＋y2＝4上到直线l距离最大的点．]8．D[如图所示，与BD平行的有4条，与BB1平行的有4条，四边形GHFE的对角线与面BB1D1D平行，同等位置有4条，总共12条，故选D．]9．C[圆C1和C2的圆心坐标及半径分别为C1(m,0)，r1＝2，C2(－1,2m)，r2＝3．由两圆相交的条件得3－2<|C1C2即1<5m2＋2m＋1<25，解得－eq\f(12,5)<m<－eq\f(2,5)或0<m<2．]10．D[圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1的半径为1，要使|PA|最小，只需|PC|最小，|PC|min＝eq\f(|3＋4＋8|,\r(32＋42))＝3．故|PA|min＝eq\r(32－12)＝2eq\r(2)．]11．A[x2＋y2为线段AB上的点与原点的距离的平方，由数形结合知，O到线段AB的距离的平方为最小值，即d2＝eq\f(1,5)，|OB|2＝1为最大值．]12．C[对任意点P(x，y)能使x＋y＋c≥0成立，等价于c≥[－(x＋y)]max．设b＝－(x＋y)，则y＝－x－b．∴圆心(0,1)到直线y＝－x－b的距离d＝eq\f(|1＋b|,\r(2))≤1，解得，－eq\r(2)－1≤b≤eq\r(2)－1．∴c≥eq\r(2)－1．]13．eq\f(5,6)πR3解析半圆旋转一周形成一个球体，其体积为V球＝eq\f(4,3)πR3，内部两个圆锥的体积之和为V锥＝eq\f(1,3)πCD2·AB＝eq\f(1,3)π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)R))2·2R＝eq\f(π,2)R3，∴所求几何体的体积为eq\f(4,3)πR3－eq\f(π,2)R3＝eq\f(5,6)πR3．14．x－y＋1＝0解析∵kPQ·(－a)＝－1，∴a＝1，Q(1,0)代入x＋y－b＝0得b＝1，将其代入ax－y＋b＝0，得x－y＋1＝0，此直线与x＋y－1＝0垂直，∴其关于x＋y－1＝0的对称的直线是其本身．15．x2＋y2＝4解析在Rt△AOP中，∵∠APB＝60°，∴∠APO＝30°，∴|PO|＝2|OA|＝2，动点的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，方程为x2＋y2＝4．16．(2)(3)(4)解析由正方体的平面展开图可得：(2)(3)(4)是相同的．17．解由于过P(3，－2)垂直于切线的直线必定过圆心，故该直线的方程为x－y－5＝0．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y－5＝0，,y＝－4x，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－4，))故圆心为(1，－4)，r＝eq\r(1－32＋－4＋22)＝2eq\r(2)，∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8．18．证明(1)∵M为AB的中点，D为PB中点，∴DM∥AP．又∵DM平面APC，AP平面APC，∴DM∥平面APC．(2)∵△PMB为正三角形，D为PB中点，∴DM⊥PB．又∵DM∥AP，∴AP⊥PB．又∵AP⊥PC，PC∩PB＝P，∴AP⊥平面PBC．∵BC平面PBC，∴AP⊥BC．又∵AC⊥BC，且AC∩AP＝A，∴BC⊥平面APC．又∵BC平面ABC，∴平面ABC⊥平面APC．19．解由三视图可知，该几何体的直观图可以看成是一个圆台和圆柱的组合体，则圆台的高为h′＝1cm，上底半径为r＝eq\f(1,2)cm，下底半径为R＝1cm，母线l为eq\r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(5),2)(cm)，圆柱的底面半径为R＝1cm，高h为eq\f(1,2)cm，∴该几何体的体积为V＝V圆台＋V圆柱＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上·S下))h′＋S底面·h＝eq\f(1,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋π×12＋\r(π×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2×π)))×1＋π×12×eq\f(1,2)＝eq\f(13,12)π(cm3)．该几何体的表面积为S表面＝πr2＋πR2＋π(R＋r)·l＋2πRh＝π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋π×12＋π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)))×eq\f(\r(5),2)＋2π×1×eq\f(1,2)＝eq\f(9＋3\r(5),4)π(cm2)．∴该几何体的体积为eq\f(13,12)πcm3，表面积为eq\f(9＋3\r(5),4)πcm2．20．解方法一设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0①将P，Q坐标代入①得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4D－2E＋F＝－20②,D－3E－F＝10③))令x＝0，由①得y2＋Ey＋F＝0④据题设知|y1－y2|＝4eq\r(3)，其中y1，y2是④的两根．所以(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48⑤解由②③⑤组成的方程组得D＝－2，E＝0，F＝－12或D＝－10，E＝－8，F＝4．故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0．方法二易求PQ的中垂线方程为x－y－1＝0①因为所求圆的圆心C在直线①上，故可设其坐标为(a，a－1)．又圆C的半径r＝|CP|＝eq\r(a－42＋a＋12)②由已知圆C截y轴所得的线段长为4eq\r(3)，而点C到y轴的距离为|a|，∴r2＝a2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(3),2)))2，将②式代入得a2－6a＋5＝0．所以有a1＝1，r1＝eq\r(13)或a2＝5，r2＝eq\r(37)，即(x－1)2＋y2＝13或(x－5)2＋(y－4)2＝37．21．解设B(4y1－10，y1)，由AB中点在6x＋10y－59＝0上，可得：6·eq\f(4y1－7,2)＋10·eq\f(y1－1,2)－59＝0，y1＝5，所以B(10,5)．设A点关于x－4y＋10＝0的对称点为A′(x′，y′)，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x′＋3,2)－4·\f(y′－1,2)＋10＝0,\f(y′＋1,x′－3)·\f(1,4)＝－1))⇒A′(1,7