高中数学 模块综合检测（B）北师大版选修2-1

模块综合检测(B)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．若命题p：任意x∈R,2x2＋1>0，则綈p是()A．任意x∈R,2x2＋1≤0B．存在x0∈R,2x0＋1>0C．存在x0∈R,2x0＋1<0D．存在x0∈R,2x0＋1≤02．“a>0”是“|a|>0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．若双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个，则双曲线离心率的取值范围是()A．e>eq\r(2)B．1<e<eq\r(2)C．e>2D．1<e<24．已知△ABC的顶点B、C在椭圆eq\f(x2,3)＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是()A．2eq\r(3)B．6C．4eq\r(3)D．125．过点(2，－2)与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线的双曲线方程为()A.eq\f(x2,2)－eq\f(y2,4)＝1B.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1C.eq\f(y2,4)－eq\f(x2,2)＝1D.eq\f(y2,2)－eq\f(x2,4)＝16．已知a＝(cosα，1，sinα)，b＝(sinα，1，cosα)，则向量a＋b与a－b的夹角是()A．90°B．60°C．30°D．0°7．已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1A.eq\f(\r(10),10)B.eq\f(1,5)C.eq\f(3\r(10),10)D.eq\f(3,5)8．已知椭圆x2＋2y2＝4，则以(1,1)为中点的弦的长度为()A．3eq\r(2)B．2eq\r(3)C.eq\f(\r(30),3)D.eq\f(3,2)eq\r(6)9．命题p：关于x的不等式(x－2)eq\r(x2－3x＋2)≥0的解集为{x|x≥2}，命题q：若函数y＝kx2－kx－1的值恒小于0，则－4<k≤0，那么不正确的是()A．“綈p”为假命题B．“綈q”为假命题C．“p或q”为真命题D．“p且q”为假命题10.如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1DA.eq\f(\r(6),3)B.eq\f(2\r(5),5)C.eq\f(\r(15),5)D.eq\f(\r(10),5)题号12345678910答案二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝|b|＝4，那么b·(2a＋b12．已知双曲线x2－eq\f(y2,3)＝1，那么它的焦点到渐近线的距离为________．13．设双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线y＝x2＋1相切，则该双曲线的离心率＝__________________________________________________________________.14．给出如下三种说法：①四个实数a，b，c，d依次成等比数列的必要而不充分条件是ad＝bc；②命题“若x≥3且y≥2，则x－y≥1”为假命题；③若p且q为假命题，则p，q均为假命题．其中正确说法的序号为________．15．双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两个焦点为F1、F2，若P为双曲线上一点，且|PF1|＝2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为________．三、解答题(本大题共6小题，共75分)16．(12分)已知命题p：方程2x2－2eq\r(6)x＋3＝0的两根都是实数，q：方程2x2－2eq\r(6)x＋3＝0的两根不相等，试写出由这组命题构成的“p或q”、“p且q”、“非p”形式的命题，并指出其真假．17．(12分)F1，F2是椭圆的两个焦点，Q是椭圆上任意一点，从任一焦点向△F1QF2中的∠F1QF2的外角平分线引垂线，垂足为P，求点P的轨迹．18.(12分)若r(x)：sinx＋cosx>m，s(x)：x2＋mx＋1>0.已知任意x∈R，r(x)为假命题且s(x)为真命题，求实数m的取值范围．19．(12分)已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一个顶点为A(0，1)，离心率为eq\f(\r(2),2)，过点B(0，－2)及左焦点F1的直线交椭圆于C，D两点，右焦点设为F2.(1)求椭圆的方程；(2)求△CDF2的面积．20.(13分)已知PA垂直于正方形ABCD所在平面，M，N分别为AB，PC的三等分点，且PN＝2NC，AM＝2MB，PA＝AB＝1，求eq\o(MN,\s\up6(→))的坐标．21．(14分)如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝1，AC＝AA1＝eq\r(3)，∠ABC＝60°.(1)证明：AB⊥A1C(2)求二面角A—A1C—B模块综合检测(B)1．D[綈p：存在x∈R,2x2＋1≤0.]2．A[因为|a|>0⇔a>0或a<0，所以a>0⇒|a|>0，但|a|>0a>0，所以a>0是|a|>0的充分不必要条件．]3．C[由题意，以原点及右焦点为端点的线段的垂直平分线必与右支交于两个点，故eq\f(c,2)>a，∴eq\f(c,a)>2.]4．C[设椭圆的另一焦点为F，由椭圆的定义知|BA|＋|BF|＝2eq\r(3)，且|CF|＋|AC|＝2eq\r(3)，所以△ABC的周长＝|BA|＋|BC|＋|AC|＝|BA|＋|BF|＋|CF|＋|AC|＝4eq\r(3).]5．D[与双曲线eq\f(x2,2)－y2＝1有公共渐近线方程的双曲线方程可设为eq\f(x2,2)－y2＝λ，由过点(2，－2)，可解得λ＝－2.所以所求的双曲线方程为eq\f(y2,2)－eq\f(x2,4)＝1.]6．A[(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2＝(cos2α＋1＋sin2α)－(sin2α＋1＋cos2α)＝0，∴a＋b与a－b的夹角为90°.]7．C[以DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝1，则AA1＝2，依题设有B(1,1,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,2)，E(1,0,1)，∴eq\o(BE,\s\up6(→))＝(0，－1,1)，eq\o(CD1,\s\up6(→))＝(0，－1,2)．∴cos〈eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(CD1,\s\up6(→))〉＝eq\f(0＋1＋2,\r(2)·\r(5))＝eq\f(3\r(10),10).]8．C[令直线l与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\o\al(2,1)＋2y\o\al(2,1)＝4①,x\o\al(2,2)＋2y\o\al(2,2)＝4②))①－②得：(x1＋x2)(x1－x2)＋2(y1＋y2)(y1－y2)＝0，即2(x1－x2)＋4(y1－y2)＝0，∴kl＝－eq\f(1,2)，∴l的方程：x＋2y－3＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－3＝0,x2＋2y2－4＝0))，得6y2－12y＋5＝0.∴y1＋y2＝2，y1y2＝eq\f(5,6).∴|AB|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,k2)))y1－y22)＝eq\f(\r(30),3).]9．D10．D[以D点为坐标原点，以DA、DC、DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,1)．∴eq\o(BC1,\s\up6(→))＝(－2,0,1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2,2,0)，且eq\o(AC,\s\up6(→))为平面BB1D1D的一个法向量．∴cos〈eq\o(BC1,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(BC1,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→)),|BC1\o(|,\s\up6(→))·|\o(AC,\s\up6(→))|)＝eq\f(4,\r(5)·\r(8))＝eq\f(\r(10),5).∴BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为eq\f(\r(10),5).]11．012.eq\r(3)解析焦点(±2,0)，渐近线：y＝±eq\r(3)x，焦点到渐近线的距离为eq\f(2\r(3),\r(\r(3)2＋1))＝eq\r(3).13.eq\r(5)解析双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，因为y＝x2＋1与渐近线相切，故x2＋1±eq\f(b,a)x＝0只有一个实根，∴eq\f(b2,a2)－4＝0，∴eq\f(c2－a2,a2)＝4，∴eq\f(c2,a2)＝5，∴e＝eq\r(5).14．①②解析对①a，b，c，d成等比数列，则ad＝bc，反之不一定．故①正确；对②，令x＝5，y＝6，则x－y＝－1，所以该命题为假命题，故②正确；对③，p且q假时，p，q至少有一个为假命题，故③错误．15．(1,3]解析设|PF2|＝m，则2a＝||PF1|－|PF2||＝m2c＝|F1F2|≤|PF1|＋|PF2|＝∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2c,2a)≤3，又e>1，∴离心率的取值范围为(1,3]．16．解“p或q”的形式：方程2x2－2eq\r(6)x＋3＝0的两根都是实数或不相等．“p且q”的形式：方程2x2－2eq\r(6)x＋3＝0的两根都是实数且不相等．“非p”的形式：方程2x2－2eq\r(6)x＋3＝0的两根不都是实数．∵Δ＝24－24＝0，∴方程有两相等的实根．∴p真，q假．∴“p或q”真，“p且q”假，“非p”假．17．解设椭圆的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，F1，F2是它的两个焦点，Q为椭圆上任意一点，QP是△F1QF2中的∠F1QF2的外角平分线(如图)，过F2作F2P⊥QP于P并延长交F1Q的延长线于H，则P是F2H的中点，且|F2Q|＝|QH|，因此|PO|＝eq\f(1,2)|F1H|＝eq\f(1,2)(|F1Q|＋|QH|)＝eq\f(1,2)(|F1Q|＋|F2Q|)＝a，∴点P的轨迹是以原点为圆心，以椭圆长半轴长为半径的圆(除掉两点即椭圆与x轴的交点)．18．解由于sinx＋cosx＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))∈[－eq\r(2)，eq\r(2)]，任意x∈R，r(x)为假命题即sinx＋cosx>m恒不成立．∴m≥eq\r(2).①又对任意x∈R，s(x)为真命题．∴x2＋mx＋1>0对x∈R恒成立．则Δ＝m2－4<0，即－2<m<2.②故任意x∈R，r(x)为假命题，且s(x)为真命题，应有eq\r(2)≤m<2.19．解(1)易得椭圆方程为eq\f(x2,2)＋y2＝1.(2)∵F1(－1,0)，∴直线BF1的方程为y＝－2x－2，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－2x－2,\f(x2,2)＋y2＝1))得9x2＋16x＋6＝0.∵Δ＝162－4×9×6＝40>0，所以直线与椭圆有两个公共点，设为C(x1，y1)，D(x2，y2)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝－\f(16,9),x1·x2＝\f(2,3)))，∴|CD|＝eq\r(1＋－22)|x1－x2|＝eq\r(5)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(5)·eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(16,9)))2－4×\f(2,3))＝eq\f(10,9)eq\r(2)，又点F2到直线BF1的距离d＝eq\f(4\r(5),5)，故S△CDF2＝eq\f(1,2)|CD|·d＝eq\f(4,9)eq\r(10).20．解方法一∵PA＝AB＝AD＝1，且PA⊥面ABCD，AD⊥AB，∴可设eq\o(DA,\s\up6(→))＝i，eq\o(AB,\s\up6(→))＝j，eq\o(AP,\s\up6(→))＝k，以{i，j，k}为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系．∵eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(PN,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(PC,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(－eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)k＋eq\f(2,3)(－eq\o(DA,\s\up6(→)))＝－eq\f(2,3)i＋eq\f(1,3)k.∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，0，\f(1,3))).方法二设eq\o(DA,\s\up6(→))＝i，eq\o(AB,\s\up6(→))＝j，eq\o(AP,\s\up6(→))＝k，以{i，j，k}为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，过M作AD的平行线交CD于点E.可知NE∥PD.∵eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(ME,\s\up6(→))＋eq\o(EN,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(DP,\s\up6(→))＝－eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→)))＝－i＋eq\f(1,3)(i＋k)＝－eq\f(2,3)i＋eq\f(1,3)k，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，0，\f(1,3))).21．(1)证明∵三棱柱ABC—A1B1C1，∴AB⊥AA1.在△ABC中，AB＝1，AC＝eq\