高中数学 第一章 常用逻辑用语章末检测（B）北师大版选修2-1

第一章常用逻辑用语(B)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．函数f(x)＝x|x＋a|＋b是奇函数的充要条件是()A．ab＝0B．a＋b＝0C．a＝bD．a2＋b2＝02．若“a≥b⇒c>d”和“a<b⇒e≤f”都是真命题，其逆命题都是假命题，则“c≤d”是“e≤f”的()A．必要非充分条件B．充分非必要条件C．充分必要条件D．既非充分也非必要条件3．在下列结论中，正确的是()①“p且q”为真是“p或q”为真的充分不必要条件；②“p且q”为假是“p或q”为真的充分不必要条件；③“p或q”为真是“綈p”为假的必要不充分条件；④“綈p”为真是“p且q”为假的必要不充分条件．A．①②B．①③C．②④D．③④4．“a≠1或b≠2”是“a＋b≠3”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要5．若命题“p或q”为真，“非p”为真，则()A．p真q真B．p假q真C．p真q假D．p假q假6．2x2－5x－3<0的一个必要不充分条件是()A．－eq\f(1,2)<x<3B．－eq\f(1,2)<x<0C．－3<x<eq\f(1,2)D．－1<x<67．“x＝2kπ＋eq\f(π,4)(k∈Z)”是“tanx＝1”成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分条件D．既不充分也不必要条件8．设原命题：若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是()A．原命题真，逆命题假B．原命题假，逆命题真C．原命题与逆命题均为真命题D．原命题与逆命题均为假命题9．下列命题中为全称命题的是()A．圆内接三角形中有等腰三角形B．存在一个实数与它的相反数的和不为0C．矩形都有外接圆D．过直线外一点有一条直线和已知直线平行10．以下判断正确的是()A．命题“负数的平方是正数”不是全称命题B．命题“任意x∈N，x3>x”的否定是“存在x∈N，x3>x”C．“a＝1”是“函数f(x)＝sin2ax的最小正周期为π”的必要不充分条件D．“b＝0”是“函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数”的充要条件题号12345678910答案二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．下列命题中________为真命题．(填序号)①“A∩B＝A”成立的必要条件是“AB”；②“若x2＋y2＝0，则x，y全为0”的否命题；③“全等三角形是相似三角形”的逆命题；④“圆内接四边形对角互补”的逆否命题．12．命题“正数的绝对值等于它本身”的逆命题是_______________________，这是__________命题．13．若“任意x∈R，x2－2x－m>0”是真命题，则实数m的取值范围是____________．14．条件p：x>1，y>1，条件q：x＋y>2，xy>1，则条件p是条件q的____________条件．15．给出下列四个命题：①任意x∈R，x2＋2>0；②任意x∈N，x4≥1；③存在x∈Z，x3<1；④存在x∈Q，x2＝3.其中正确命题的序号为____________．三、解答题(本大题共6小题，共75分)16．(12分)分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断其真假．(1)矩形的对角线相等且互相平分；(2)正偶数不是质数．17．(12分)写出由下述各命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的命题，并指出所构成的这些命题的真假．(1)p：连续的三个整数的乘积能被2整除，q：连续的三个整数的乘积能被3整除；(2)p：对角线互相垂直的四边形是菱形，q：对角线互相平分的四边形是菱形．18.(12分)已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.19．(12分)已知二次函数f(x)＝ax2＋x.对于任意x∈[0，1]，|f(x)|≤1成立，试求实数a的取值范围．20.(13分)下列三个不等式：①>1；②(a－3)x2＋(a－2)x－1>0；③a>x2＋eq\f(1,x2).若其中至多有两个不等式的解集为空集，求实数a的取值范围．21．(14分)已知命题p：x1和x2是方程x2－mx－2＝0的两个实根，不等式a2－5a－3≥|x1－x2|对任意实数m∈[－1,1]恒成立；命题q：不等式ax2＋2x－1>0有解；若命题p是真命题，命题q是假命题，求a第一章常用逻辑用语(B)1．D[若a2＋b2＝0，即a＝b＝0时，f(－x)＝(－x)|－x＋0|＋0＝－x|x|＝－f(x)，∴a2＋b2＝0是f(x)为奇函数的充分条件．又若f(x)为奇函数即f(－x)＝－x|(－x)＋a|＋b＝－(x|x＋a|＋b)，则必有a＝b＝0，即a2＋b2＝0，∴a2＋b2＝0是f(x)为奇函数的必要条件．]2．B[由a≥b⇒c>d可得c≤d⇒a<b，又a<b⇒e≤f，所以c≤d⇒e≤f；而e≤f⇒c≤d显然不成立，故“c≤d”是“e≤f”的充分非必要条件．]3．B4．B[∵a＝1且b＝2⇒a＋b＝3，∴a＋b≠3⇒a≠1或b≠2.]5．B[由“非p”为真可得p为假，若同时“p或q”为真，则可得q必须为真．]6．D7．A[taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,4)))＝taneq\f(π,4)＝1，所以充分；但反之不成立，如taneq\f(5π,4)＝1.]8．A[举例：a＝1.2，b＝0.3，则a＋b＝1.5<2，∴逆命题为假．]9．C10．D[∵“负数的平方是正数”即为任意x<0，则x2>0，是全称命题，∴A不正确；又∵对全称命题“任意x∈N，x3>x”的否定为“存在x∈N，x3≤x”，∴B不正确；又∵f(x)＝sin2ax，当最小正周期T＝π时，有eq\f(2π,|2a|)＝π，∴|a|＝1a＝1.故“a＝1”是“函数f(x)＝sin2ax的最小正周期为π”的充分不必要条件．]11．②④解析①A∩B＝A⇒A⊆B但不能得出AB，∴①不正确；②否命题为：“若x2＋y2≠0，则x，y不全为0”，是真命题；③逆命题为：“若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形全等”，是假命题；④原命题为真，而逆否命题与原命题是两个等价命题，∴逆否命题也为真命题．12．如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数一定是正数假13．(－∞，－1)解析由Δ＝(－2)2－4×(－m)<0，得m<－1.14．充分不必要15．①③16．解(1)逆命题：若一个四边形的对角线相等且互相平分，则它是矩形(真命题)．否命题：若一个四边形不是矩形，则它的对角线不相等或不互相平分(真命题)．逆否命题：若一个四边形的对角线不相等或不互相平分，则它不是矩形(真命题)．(2)逆命题：如果一个正数不是质数，那么这个正数是正偶数(假命题)．否命题：如果一个正数不是偶数，那么这个数是质数(假命题)．逆否命题：如果一个正数是质数，那么这个数不是偶数(假命题)．17．解(1)p或q：连续的三个整数的乘积能被2或能被3整除．p且q：连续的三个整数的乘积能被2且能被3整除．非p：存在连续的三个整数的乘积不能被2整除．∵连续的三整数中有一个(或两个)是偶数，而另一个是3的倍数，∴p真，q真，∴p或q与p且q均为真，而非p为假．(2)p或q：对角线互相垂直的四边形是菱形或对角线互相平分的四边形是菱形．p且q：对角线互相垂直的四边形是菱形且对角线互相平分的四边形是菱形．非p：存在对角线互相垂直的四边形不是菱形．∵p假q假，∴p或q与p且q均为假，而非p为真．18．证明充分性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝(a＋b－1)(a2－ab＋b2)∴(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.又ab≠0，即a≠0且b≠0，∴a2－ab＋b2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(b,2)))2＋eq\f(3,4)b2>0.∴a＋b－1＝0，∴a＋b＝1.必要性：∵a＋b＝1，即a＋b－1＝0，∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.19．解|f(x)|≤1⇔－1≤f(x)≤1⇔－1≤ax2＋x≤1，x∈[0,1]．①当x＝0时，a≠0，①式显然成立；当x∈(0,1]时，①式化为－eq\f(1,x2)－eq\f(1,x)≤a≤eq\f(1,x2)－eq\f(1,x)在x∈(0,1]上恒成立．设t＝eq\f(1,x)，则t∈[1，＋∞)，则有－t2－t≤a≤t2－t，所以只需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥－t2－tmax＝－2,a≤t2－tmin＝0))⇒－2≤a≤0，又a≠0，故－2≤a<0.综上，所求实数a的取值范围是[－2,0)．20．解对于①，>1，即－x2＋ax－eq\f(25,4)>0，故x2－ax＋eq\f(25,4)<0，Δ＝a2－25，所以不等式的解集为空集，实数a的取值范围是－5≤a≤5.对于②，当a＝3时，不等式的解集为{x|x>1}，不是空集；当a≠3时，要使不等式(a－3)x2＋(a－2)x－1>0的解集为空集．则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－3<0，,a－22＋4a－3≤0，))解得－2eq\r(2)≤a≤2eq\r(2).对于③，因为x2＋eq\f(1,x2)≥2eq\r(x2·\f(1,x2))＝2，当且仅当x2＝1，即x＝±1时取等号．所以，不等式a>x2＋eq\f(1,x2)的解集为空集时，a≤2.因此，当三个不等式的解集都为空集时，－2eq\r(2)≤a≤2.所以要使三个不等式至多有两个不等式的解集为空集，则实数a的取值范围是{a|a<－2eq\r(2)或a>2}．21．解∵x1，x2是方程x2－mx－2＝0的两个实根，则x1＋x2＝m且x1x2＝－2，∴|x1－x2|＝eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(m2＋8)，当