高中数学 第二章 解析几何初步章末总结 北师大版必修2

【步步高学案导学设计】-学年高中数学第二章解析几何初步章末总结北师大版必修2一、数形结合思想数形结合思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，即把代数中的“数”与几何上的“形”结合起来认识问题、理解问题并解决问题的思维方法．数形结合一般包括两个方面，即以“形”助“数”，以“数”解“形”．本章直线的方程和直线与圆的位置关系中有些问题，如距离、倾斜角、斜率、直线与圆相切等都很容易转化成“形”，因此这些问题若利用直观的几何图形处理会收到很好的效果．例1设点P(x，y)在圆x2＋(y－1)2＝1上．求eq\f(y＋2,x＋1)的最小值．例2讨论直线y＝x＋b与曲线y＝eq\r(4－x2)的交点的个数．二、分类讨论思想的应用分类讨论的思想是中学数学的基本方法之一，是历年高考的重点，其实质就是整体问题化为部分问题来解决，化成部分问题后，从而增加了题设的条件．(在用二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时要分类讨论)；直线方程除了一般式之外，都有一定的局限性，故在应用直线的截距式方程时，要注意到截距等于零的情形；在用到与斜率有关的直线方程时，要注意到斜率不存在的情形．例3过点P(－1,0)、Q(0,2)分别作两条互相平行的直线，使它们在x轴上截距之差的绝对值为1，求这两条直线方程．例4求过点A(3,1)和圆(x－2)2＋y2＝1相切的直线方程．三、对称问题在解析几何中，经常遇到对称问题，对称问题主要有两大类，一类是中心对称，一类是轴对称．1．中心对称(1)两点关于点对称：设P1(x1，y1)，P(a，b)，则P1(x1，y1)关于P(a，b)对称的点P2(2a－x1,2b－y1)，也即P为线段P1P2的中点，特别地，P(x，y)关于原点对称的点为P′(－x，－y(2)两直线关于点对称：设直线l1，l2关于点P对称，这时其中一条直线上任一点关于P对称的点都在另外一条直线上，并且l1∥l2，P到l1、l2的距离相等．2．轴对称(1)两点关于直线对称：设P1，P2关于直线l对称，则直线P1P2与l垂直，且P1P2的中点在l上，这类问题的关键是由“垂直”和“平分”列方程．(2)两直线关于直线对称：设l1，l2关于直线l对称．①当三条直线l1、l2、l共点时，l上任意点到l1、l2的距离相等，并且l1、l2中一条直线上任意一点关于l对称的点在另外一条直线上；②当l1∥l2∥l时，l1到l的距离等于l2到l的距离．例5已知直线l：y＝3x＋3，求：(1)点P(4,5)关于l的对称点坐标；(2)直线y＝x－2关于l的对称直线的方程；(3)直线l关于点A(3,2)的对称直线的方程．例6自点P(－6,7)发出的光线l射到x轴上点A处，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2＋y2－8x－6y＋21＝0相切于点Q．求光线l所在的直线方程．第二章章末总结答案例1解式子eq\f(y＋2,x＋1)的几何意义是点P(x，y)与定点(－1，－2)连线的斜率．如图，当为切线l1时，斜率最小．设eq\f(y＋2,x＋1)＝k，即kx－y＋k－2＝0，由直线与圆相切，得eq\f(|－1＋k－2|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝eq\f(4,3)．故eq\f(y＋2,x＋1)的最小值是eq\f(4,3)．例2解如图所示，在坐标系内作出曲线y＝eq\r(4－x2)的图像(半圆)．直线l1：y＝x－2，直线l2：y＝x＋2eq\r(2)．当直线l：y＝x＋b夹在l1与l2之间(包括l1、l2)时，l与曲线y＝eq\r(4－x2)有公共点；进一步观察交点的个数可有如下结论：①当b<－2或b>2eq\r(2)时，直线y＝x＋b与曲线y＝eq\r(4－x2)无公共点；②当－2≤b<2或b＝2eq\r(2)时，直线y＝x＋b与曲线y＝eq\r(4－x2)仅有一个公共点．③当2≤b<2eq\r(2)时，直线y＝x＋b与曲线y＝eq\r(4－x2)有两个公共点．例3解(1)当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分别为x＝－1，x＝0，它们在x轴上截距之差的绝对值为1，符合题意；(2)当直线的斜率存在时，设其斜率为k，则两条直线的方程分别为y＝k(x＋1)，y－2＝kx．令y＝0，得x＝－1与x＝－eq\f(2,k)．由题意得|－1＋eq\f(2,k)|＝1，即k＝1．∴直线的方程为y＝x＋1，y＝x＋2，即为x－y＋1＝0，x－y＋2＝0．综上可知，所求的直线方程为x＝－1，x＝0或x－y＋1＝0，x－y＋2＝0．例4解当所求直线斜率存在时，设其为k，则直线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0．∵直线与圆相切，∴d＝eq\f(|2k－0＋1－3k|,\r(1＋k2))＝1，解得k＝0．当所求直线斜率不存在时，x＝3也符合条件．综上所述，所求直线的方程是y＝1和x＝3．例5解(1)设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，则点P，P′的中点M在直线l上，且直线PP′垂直于直线l，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y′＋5,2)＝3·\f(x′＋4,2)＋3,\f(y′－5,x′－4)×3＝－1))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝－2,y′＝7))，∴P′坐标为(－2,7)．(2)设直线l1：y＝x－2关于直线l对称的直线为l2，则l1上任一点P1(x1，y1)关于l的对称点P2(x2，y2)一定在l2上，反之也成立．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y1＋y2,2)＝3×\f(x1＋x2,2)＋3,\f(y1－y2,x1－x2)×3＝－1))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝－\f(4,5)x2＋\f(3,5)y2－\f(9,5),y1＝\f(3,5)x2＋\f(4,5)y2＋\f(3,5)))，把(x1，y1)代入y＝x－2，整理得7x2＋y2＋22＝0，∴l2方程为7x＋y＋22＝0．(3)设直线l关于点A(3,2)的对称直线为l′，由于l∥l′，可设l′为y′＝3x′＋b(b≠3)．由点到直线的距离公式得eq\f(|3×3－2＋b|,\r(32＋1))＝eq\f(|3×3－2＋3|,\r(32＋1))，即|b＋7|＝10，解得b＝－17或b＝3(舍去)，∴直线l′的方程为y′＝3x′－17，即对称直线的方程为3x－y－17＝0．例6解如图，作圆x2＋y2－8x－6y＋21＝0关于x轴的对称圆x2＋y2－8x＋6y＋21＝0，由几何光学原理知，直线l与圆x2＋y2－8x＋6y＋21＝0相切，又∵l的斜率必存在，故可