高中数学 第二章 函数习题课 北师大版必修1

【步步高学案导学设计】-学年高中数学第二章函数习题课北师大版必修1课时目标1.巩固幂函数及函数奇、偶性的有关知识.2.培养学生知识的应用能力．1．设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是()A．f(π)>f(－3)>f(－2)B．f(π)>f(－2)>f(－3)C．f(π)<f(－3)<f(－2)D．f(π)<f(－2)<f(－3)2．已知函数f(x)在[－5,5]上是偶函数，f(x)在[0,5]上是单调函数，且f(－3)<f(1)，则下列不等式中一定成立的是()A．f(－1)<f(－3)B．f(2)<f(3)C．f(－3)<f(5)D．f(0)>f(1)3．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是()A．a>c>bB．a>b>cC．c>a>bD．b>c>a4．图中曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图像，已知n取±2，±eq\f(1,2)四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n依次为()A．－2，－eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，2B．2，eq\f(1,2)，－eq\f(1,2)，－2C．－eq\f(1,2)，－2,2，eq\f(1,2)D．2，eq\f(1,2)，－2，－eq\f(1,2)5．设f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，若x1<0且x1＋x2>0，则()A．f(－x1)>f(－x2)B．f(－x1)＝f(－x2)C．f(－x1)<f(－x2)D．f(－x1)与f(－x2)大小不确定6．已知f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，一、选择题1．设f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0)上是增函数，已知x1>0，x2<0，且f(x1)<f(x2)，那么一定有()A．x1＋x2<0B．x1＋x2>0C．f(－x1)>f(－x2)D．f(－x1)·f(－x2)<02．下列判断：①如果一个函数的定义域关于坐标原点对称，那么这个函数为偶函数；②对于定义域为实数集R的任何奇函数f(x)都有f(x)·f(－x)≤0；③解析式中含自变量的偶次幂而不含常数项的函数必是偶函数；④既是奇函数又是偶函数的函数存在且唯一．其中正确的序号为()A．②③④B．①③C．②D．④3．函数f(x)＝xα，x∈(－1,0)∪(0,1)，若不等式f(x)>|x|成立，则在α∈{－2，－1,0,1,2}的条件下，α可以取值的个数是()A．0B．2C4．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(1)＝0，则不等式eq\f(fx－f－x,x)<0的解集为()A．(－1,0)∪(1，＋∞)B．(－∞，－1)∪(0,1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．(－1,0)∪(0,1)5．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则f(7.5)等于()A．0.5B．－0.5C．1.5D．－1.56．若奇函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，又f(－3)＝0，则{x|x·f(x)<0}等于()A．{x|x>3，或－3<x<0}B．{x|0<x<3，或x<－3}C．{x|x>3，或x<－3}D．{x|0<x<3，或－3<x<0}题号123456答案二、填空题7．已知定义在R上的奇函数f(x)，当x>0时，f(x)＝x2＋|x|－1，那么x<0时，f(x)＝________.8．若函数f(x)＝(k－2)x2＋(k－1)x＋3是偶函数，则f(x)的递增区间是________．9．给出以下结论：①当α＝0时，函数y＝xα的图像是一条直线；②幂函数的图像都经过(0,0)，(1,1)两点；③若幂函数y＝xα的图像关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大；④幂函数的图像不可能在第四象限，但可能在第二象限．则正确结论的序号为________．三、解答题10．设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(m)＋f(m－1)>0，求实数m的取值范围．11．设函数f(x)在R上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，且f(2a2＋a＋1)<f(2a2－2a能力提升12．若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1，x2∈R有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋1，则下列说法一定正确的是()A．f(x)为奇函数B．f(x)为偶函数C．f(x)＋1为奇函数D．f(x)＋1为偶函数13．若函数y＝f(x)对任意x，y∈R，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．(1)指出y＝f(x)的奇偶性，并给予证明；(2)如果x>0时，f(x)<0，判断f(x)的单调性；(3)在(2)的条件下，若对任意实数x，恒有f(kx2)＋f(－x2＋x－2)>0成立，求k的取值范围．1．函数的奇偶性是其相应图像特殊对称性的反映，也体现了在关于原点对称的定义域的两个区间上函数值及其性质的相互转化，这是对称思想的应用．2．(1)根据奇函数的定义，如果一个奇函数在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数．(2)偶函数的一个重要性质：f(|x|)＝f(x)，它能使自变量化归到[0，＋∞)上，避免分类讨论．3．具有奇偶性的函数的单调性的特点：(1)奇函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性．(2)偶函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性．习题课双基演练1．A[∵f(x)是偶函数，∴f(－2)＝f(2)，f(－3)＝f(3)，又∵f(x)在[0，＋∞)上是增函数，∴f(2)<f(3)<f(π)，即f(π)>f(－3)>f(－2)．]2．D[∵f(－3)＝f(3)，∴f(3)<f(1)．∴函数f(x)在x∈[0,5]上是减函数．∴f(0)>f(1)，故选D.]3．A[根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来，y＝在x>0时是增函数，所以a>c，y＝(eq\f(2,5))x在x>0时是减函数，所以c>b.]4．B[作直线x＝t(t>1)与各个图像相交，则交点自上而下的排列顺序恰好是按幂指数的降幂排列的．]5．A[f(x)是R上的偶函数，∴f(－x1)＝f(x1)．又f(x)在(0，＋∞)上是减函数，x2>－x1>0，∴f(－x2)＝f(x2)<f(－x1)．]6.eq\f(1,3)0解析偶函数定义域关于原点对称，∴a－1＋2a＝0.∴a＝eq\f(1,3).∴f(x)＝eq\f(1,3)x2＋bx＋1＋b.又∵f(x)是偶函数，∴b＝0.作业设计1．B[由已知得f(x1)＝f(－x1)，且－x1<0，x2<0，而函数f(x)在(－∞，0)上是增函数，因此由f(x1)<f(x2)，则f(－x1)<f(x2)得－x1<x2，x1＋x2>0.]2．C[判断①，一个函数的定义域关于坐标原点对称，是这个函数具有奇偶性的前提条件，但并非充分条件，故①错误．判断②正确，由函数是奇函数，知f(－x)＝－f(x)，特别地当x＝0时，f(0)＝0，所以f(x)·f(－x)＝－[f(x)]2≤0.判断③，如f(x)＝x2，x∈[0,1]，定义域不关于坐标原点对称，即存在1∈[0,1]，而－1∉[0,1]；又如f(x)＝x2＋x，x∈[－1,1]，有f(x)≠f(－x)．故③错误．判断④，由于f(x)＝0，x∈[－a，a]，根据确定一个函数的两要素知，a取不同的实数时，得到不同的函数．故④错误．综上可知，选C.]3．B[因为x∈(－1,0)∪(0,1)，所以0<|x|<1.要使f(x)＝xα>|x|，xα在(－1,0)∪(0,1)上应大于0，所以α＝－1,1显然是不成立的．当α＝0时，f(x)＝1>|x|；当α＝2时，f(x)＝x2＝|x|2<|x|；当α＝－2时，f(x)＝x－2＝|x|－2>1>|x|.综上，α的可能取值为0或－2，共2个．]4．C[∵f(x)为奇函数，∴eq\f(fx－f－x,x)<0，即eq\f(fx,x)<0，当x∈(0，＋∞)，∵f(x)在(0，＋∞)上为减函数且f(1)＝0，∴当x>1时，f(x)<0.由奇函数图像关于原点对称，所以在(－∞，0)上f(x)为减函数且f(－1)＝0，即x<－1时，f(x)>0.综上使eq\f(fx,x)<0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．]5．B[由f(x＋2)＝－f(x)，则f(7.5)＝f(5.5＋2)＝－f(5.5)＝－f(3.5＋2)＝f(3.5)＝f(1.5＋2)＝－f(1.5)＝－f(－0.5＋2)＝f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5.]6．D[依题意，得x∈(－∞，－3)∪(0,3)时，f(x)<0；x∈(－3,0)∪(3，＋∞)时，f(x)>0.由x·f(x)<0，知x与f(x)异号，从而找到满足条件的不等式的解集．]7．－x2＋x＋1解析由题意，当x>0时，f(x)＝x2＋|x|－1＝x2＋x－1，当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝(－x)2＋(－x)－1＝x2－x－1，又∵f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝x2－x－1，即f(x)＝－x2＋x＋1.8．(－∞，0]解析因为f(x)是偶函数，所以k－1＝0，即k＝1.∴f(x)＝－x2＋3，即f(x)的图像是开口向下的抛物线．∴f(x)的递增区间为(－∞，0]．9．④解析当α＝0时，函数y＝xα的定义域为{x|x≠0，x∈R}，故①不正确；当α<0时，函数y＝xα的图像不过(0,0)点，故②不正确；幂函数y＝x－1的图像关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故③不正确；④正确．10．解由f(m)＋f(m－1)>0，得f(m)>－f(m－1)，即f(1－m)<f(m)．又∵f(x)在[0,2]上为减函数且f(x)在[－2,2]上为奇函数，∴f(x)在[－2,2]上为减函数．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2≤1－m≤2,－2≤m≤2,1－m>m))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1≤m≤3,－2≤m≤2,m<\f(1,2)))，解得－1≤m<eq\f(1,2).11．解由f(x)在R上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，可知f(x)在(0，＋∞)上递减．∵2a2＋a＋1＝2(a＋eq\f(1,4))2＋eq\f(7,8)>0，2a2－2a＋3＝2(a－eq\f(1,2))2＋eq\f(5,2)>0，且f(2a2＋a＋1)<f(2a2－∴2a2＋a＋1>2a2－2a＋3，即3a－2>0，解得a>eq\f(2,3)12．C[令x1＝x2＝0，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)＋1，解得f(0)＝－1.令x2＝－x1＝x，得f(0)＝f(－x)＋f(x)＋1，即f(－x)＋1＝－f(x)－1，令g(x)＝f(x)＋1，g(－x)＝f(－x)＋1，－g(x)＝－f(x)－1，即g(－x)＝－g(x)．所以函数f(x)＋1为奇函数．]13．解(1)令x＝y＝0，得f(0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0.令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)，∴f(x)＋f(－x)＝0，即f(x)＝－f(－x)，所以y＝f(x)是奇函数．(2)令x＋y＝x1，x＝x2，则y＝x1－x2，得f(x1)＝f(x2)＋f(x1－x2)