高中数学 第2章 推理与证明章末检测（B）苏教版选修1-2

第2章推理与证明(B)(时间：120分钟满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”；②“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；③“(m·n)t＝m(n·t)”类比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”；④“t≠0，mt＝xt⇒m＝x”类比得到“p≠0，a·p＝x·p⇒a＝x”；⑤“|m·n|＝|m|·|n|”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；⑥“eq\f(ac,bc)＝eq\f(a,b)”类比得到“eq\f(a·c,b·c)＝eq\f(a,b)”．以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是________．2．数列1,1,2,3，x,8,13,21，…中的x值为________．3．若数列{an}中，a1＝1，a2＝3＋5，a3＝7＋9＋11，a4＝13＋15＋17＋19，…，则a8＝________.4．p＝eq\r(ab)＋eq\r(cd)，q＝eq\r(ma＋nc)·eq\r(\f(b,m)＋\f(d,n))(m、n、a、b、c、d均为正数)，则p、q的大小关系为________．5．凡自然数是整数，4是自然数，所以4是整数．对以上三段论推理下列说法正确的是__________(请填写相应的序号)．①正确；②推理形式不正确；③两个“自然数”概念不一致；④“两个整数”概念不一致．6．观察下列等式：Ceq\o\al(1,5)＋Ceq\o\al(5,5)＝23－2，Ceq\o\al(1,9)＋Ceq\o\al(5,9)＋Ceq\o\al(9,9)＝27＋23，Ceq\o\al(1,13)＋Ceq\o\al(5,13)＋Ceq\o\al(9,13)＋Ceq\o\al(13,13)＝211－25，Ceq\o\al(1,17)＋Ceq\o\al(5,17)＋Ceq\o\al(9,17)＋Ceq\o\al(13,17)＋Ceq\o\al(17,17)＝215＋27，…由以上等式推测到一个一般的结论：对于n∈N*，Ceq\o\al(1,4n＋1)＋Ceq\o\al(5,4n＋1)＋Ceq\o\al(9,4n＋1)＋…＋Ceq\o\al(4n＋1,4n＋1)＝______________.7．对于等差数列{an}有如下命题：“若{an}是等差数列，a1＝0，s、t是互不相等的正整数，则有(s－1)at＝(t－1)as”．类比此命题，给出等比数列{bn}相应的一个正确命题是：“__________________________________________”．8．设f(x)是定义在实数集R上的函数，且满足f(x＋2)＝f(x＋1)－f(x)，如果f(1)＝lgeq\f(3,2)，f(2)＝lg15，则f(2010)＝__________.9．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0～1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n次全行的数都为1的是第________行；第61行中1的个数是________．第1行11第2行101第3行1111第4行10001第5行110011…………10．某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f(x)在[0,1]上有意义，且f(0)＝f(1)，如果对于不同的x1，x2∈[0,1]，都有|f(x1)－f(x2)|<|x1－x2|，求证：|f(x1)－f(x2)|<eq\f(1,2).那么它的反设应该是______________________________．11．凸函数的性质定理为：如果函数f(x)在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，有eq\f(fx1＋fx2＋…＋fxn,n)≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋…＋xn,n)))，已知函数y＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值为_________________________．12．若不等式(－1)na<2＋eq\f(－1n＋1,n)对任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是________．13．由“等腰三角形的两底角相等，两腰相等”可以类比推出正棱锥的类似属性是__________________________________________________．14．船在流水中在甲地和乙地间来回行驶一次的平均速度v1和在静水中的速度v2的大小关系为_____________________________________________________________________．二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)已知a、b、c是互不相等的正数，且abc＝1，求证：eq\r(a)＋eq\r(b)＋eq\r(c)<eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c).16．(14分)把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，并判断类比的结论是否成立．(1)如果一条直线和两条平行线中的一条相交，则必和另一条相交；(2)如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行．17．(14分)已知a>0，求证：eq\r(a2＋\f(1,a2))－eq\r(2)≥a＋eq\f(1,a)－2.18．(16分)在不等边△ABC中，A是最小角，求证：A<60°.19．(16分)先解答(1)，再通过类比解答(2)．(1)求证：taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＝eq\f(1＋tanx,1－tanx)；(2)设x∈R且f(x＋1)＝eq\f(1＋fx,1－fx)，试问f(x)是周期函数吗？证明你的结论．20．(16分)等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋eq\r(2)，S3＝9＋3eq\r(2).(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；(2)设bn＝eq\f(Sn,n)(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．第2章推理与证明(B)答案1．2解析只有①②对，其余错误．2．5解析每相邻两数相加等于后面的数．3．512解析由a1，a2，a3，a4的形式可归纳，∵1＋2＋3＋4＋…＋7＝eq\f(7×1＋7,2)＝28，∴a8的首项应为第29个正奇数，即2×29－1＝57.∴a8＝57＋59＋61＋63＋65＋67＋69＋71＝eq\f(8×57＋71,2)＝512.4．p≤q解析q＝eq\r(ab＋\f(mad,n)＋\f(nbc,m)＋cd)≥eq\r(ab＋2\r(abcd)＋cd)＝eq\r(ab)＋eq\r(cd)＝p.5．①解析三段论中的大前提、小前提及推理形式都是正确的．6．24n－1＋(－1)n22n－17．若{bn}是等比数列，b1＝1，s，t是互不相等的正整数，则有beq\o\al(s－1,t)＝beq\o\al(t－1,s)解析由类比推理可得．8．－1解析由f(1)＝lgeq\f(3,2)＝lg15－1，f(2)＝lg15，f(3)＝f(2)－f(1)＝1，f(4)＝f(3)－f(2)＝1－lg15，f(5)＝f(4)－f(3)＝－lg15，f(6)＝f(5)－f(4)＝－1，f(7)＝f(6)－f(5)＝lg15－1，f(8)＝f(7)－f(6)＝lg15，…，可以猜想到，从f(7)开始，又重复了上述数值，即f(x＋6)＝f(x)，∴f(2010)＝f(335×6)＝f(6)＝－1.9．2n－132解析(1)第一次全行的数都是1的是第1行，第二次全行的数都是1的是第3行，第三次全行的数都是1的是第7行，第n次全行的数都是1的是第2n－1行．(2)1100…0011……第61行1010…0101……第62行1111…1111……第63行由图可知第61行的数的特点是两个1两个0交替出现，最后两个数为1，所以在第61行的62个数中有32个1.10．“∃x1，x2∈[0,1]，使得|f(x1)－f(x2)|<|x1－x2|且|f(x1)－f(x2)|≥eq\f(1,2)”11．eq\f(3\r(3),2)解析∵f(x)＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，且A、B、C∈(0，π)，∴eq\f(fA＋fB＋fC,3)≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A＋B＋C,3)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))，即sinA＋sinB＋sinC≤3sineq\f(π,3)＝eq\f(3\r(3),2)，所以sinA＋sinB＋sinC的最大值为eq\f(3\r(3),2).12．－2≤a<eq\f(3,2)解析当n为偶数时，a<2－eq\f(1,n)，而2－eq\f(1,n)≥2－eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)，∴a<eq\f(3,2).当n为奇数时，a>－2－eq\f(1,n)，而－2－eq\f(1,n)<－2，∴a≥－2.综上可得－2≤a<eq\f(3,2).13．正棱锥各侧面与底面所成二面角相等，各侧面都是全等的三角形或各侧棱相等解析等腰三角形的底与腰可分别与正棱锥的底面与侧面类比．14．v1<v2解析设甲地到乙地的距离为S，船在静水中的速度为v2，水流速度为v(v2>v>0)，则船在流水中在甲、乙间来回行驶一次的时间t＝eq\f(S,v2＋v)＋eq\f(S,v2－v)＝eq\f(2v2S,v\o\al(2,2)－v2)，平均速度v1＝eq\f(2S,t)＝eq\f(v\o\al(2,2)－v2,v2).∵v1－v2＝eq\f(v\o\al(2,2)－v2,v2)－v2＝－eq\f(v2,v2)<0，∴v1<v2.15．证明∵a、b、c是不等正数，且abc＝1，∴eq\r(a)＋eq\r(b)＋eq\r(c)＝eq\r(\f(1,bc))＋eq\r(\f(1,ca))＋eq\r(\f(1,ab))<eq\f(\f(1,b)＋\f(1,c),2)＋eq\f(\f(1,c)＋\f(1,a),2)＋eq\f(\f(1,a)＋\f(1,b),2)＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c).故eq\r(a)＋eq\r(b)＋eq\r(c)<eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c).16．解(1)类比为：如果一个平面和两个平行平面中的一个相交，则必和另一个相交．结论是正确的：证明如下：设α∥β，且γ∩α＝a，则必有γ∩β＝b，若γ与β不相交，则必有γ∥β，又α∥β，∴α∥γ，与γ∩α＝a矛盾，∴必有γ∩β＝b.(2)类比为：如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行，结论是错误的，这两个平面也可能相交．17．证明要证eq\r(a2＋\f(1,a2))－eq\r(2)≥a＋eq\f(1,a)－2，只要证eq\r(a2＋\f(1,a2))＋2≥a＋eq\f(1,a)＋eq\r(2).∵a>0，故只要证eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(a2＋\f(1,a2))＋2))2≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)＋\r(2)))2，即a2＋eq\f(1,a2)＋4eq\r(a2＋\f(1,a2))＋4≥a2＋2＋eq\f(1,a2)＋2eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))＋2，从而只要证2eq\r(a2＋\f(1,a2))≥eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))，只要证4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2＋\f(1,a2)))≥2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2＋2＋\f(1,a2)))，即a2＋eq\f(1,a2)≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．18．证明假设A≥60°，∵A是不等边三角形ABC的最小角，∵B>A≥60°，C>A≥60°，∴A＋B＋C>180°，与三角形内角和等于180°矛盾，∴假设错误，原结论成立，即A<60°.19．(1)证明taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＝eq\f(tanx＋tan\f(π,4),1－tanxtan\f(π,4))＝eq\f(1＋tanx,1－tanx)；(2