浙江省数海漫游2025届高三第一次模拟考试数学试题（附答案解析）

浙江省数海漫游2025届高三第一次模拟考试数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.20lnln24-（ln24）'n20=（）

A.0B.1C.2024D.2025

2.已知夕tan°=2,则6=（）

I2Jsinl

一一71—2

A.1B.2C.-------D.7i—2

2

3.已知长方体ABCD-A'3'CZ>'中，AB=BC=23E=4,则四面体的体积是（）

A.—B.16C.—D.32

33

4.设Q,人是单位向量，贝“。+匕•。的最小值是（）

A.-1B.0C.-D.1

4

5.天上有三颗星星，地上有四个孩子.每个孩子向一颗星星许愿，如果一颗星星只收到一

个孩子的愿望，那么该愿望成真，若一颗星星收到至少两个孩子的愿望，那么向这颗星星许

愿的所有孩子的愿望都无法成真，则至少有两个孩子愿望成真的概率是（）

1242

A.—B.—C.—D.一

9993

6.若数列｛%｝也｝满足：对于任意正整数〃,如）40,则称。“，6互为交

错数列.记正项数列｛玉｝的前〃项和为S“，己知1,#7口，x“成等差数列，则与数列｛七｝

互为交错数列的是（）

A.an=n+sinrmB.bn=n+cosrmC.cn=2n+sinnnD.dn=2n+cosrm

22

7.已知片，尸2分别为椭圆C：]+方=ig>b>0）的左右焦点，过F2的一条直线与C交

于A,B两点,且|明1=1,则椭圆长轴长的最小值是（）

A.4A/2B.3+20C.6D.4+20

8.已知贝IJ（）

y

A.x>0B.y>0

C.x<2D.y<2

二、多选题

9.已知正方形A8C。在平面直角坐标系xOy中，且AC2x-y+l=0,则直线AB的方程

可能为（）

A.x+3y+l=0B.x-3y+l=0

C.3x+y+l=0D.3x-y+l=0

10.已知模长均为1的复数Z1,Z2满足Z1+Z2=Z]Z2，则（）

A.[Z]+Z2|=1B.zl+z2=l

C"z；+z"=2D.z：+z；2

11.如图，小黄家的墙上固定了一盏圆锥（截面，.加为等腰直角三角形）形状的灯，灯光

可以照亮的部分是个无限大的圆台，其截面的边界分别垂直于PA,PB.已知墙与地板垂直，

灯向上或向下转动的极限均为45。（即A8可以绕。点顺时针或逆时针旋转45。）.若地板和

墙都充分大，则灯光照在地板上的边界的可能形状有（）

墙

A.椭圆B.双曲线的一支

C.抛物线D.一条直线

三、填空题

12.已知数列｛%｝为等差数列，为，与构成等比数列，则十的值是.（任写出一

个即可）

13.己知a,b,c>0,二次函数〃力=加+法+。有零点，则f+%9的最小值是.

14.若两个体积相等的圆锥底面半径之比为2,则它们表面积之比的取值范围是.

四、解答题

试卷第2页，共4页

15.在正四面体ABC。中,P是VABC内部或边界上一点，满足AP=/IAB+〃AC,2+〃=；.

⑴证明：当|。耳取最小值时，DP1BC；

(2)设£)尸=；1"+、£>8+2£)(7,求d+V+z?的取值范围.

16.设a>0,函数/(x)="+x2+ln(a-x2).

⑴若aWl,讨论〃尤)的单调性；

(2)求〃x)的最大值.

17.随着疫情防控政策的优化，国内演唱会市场迅速升温，一众热门歌手的演唱会现场更是

“一座难求”.小林是林俊杰的粉丝，他很想参与林俊杰“JJ20”世界巡回演唱会-杭州站.主办

方被小林的真诚打动，特为小林开辟了一个抢票通道，共100人从该通道参与抢票，每个人

能抢到票的概率均去，且抢票结果相互独立

(1)为保证该抢票通道不会出现故障(不存在抢到票却没有座位的人)，主办方至少要为该通

道预留多少张票；

(2)由于主办方非常喜欢小林创立的数海漫游微信公众号，于是允许多个人帮小林一同抢票,

但如果存在两个人都帮小林抢到了票(包括小林自己)，则小林因为“一人多票”，无法观看

演出.那么，你建议小林额外找几个人帮他一起抢票呢?请说明理由.

2

18.已知产为双曲线C：V一与=i上一点，。为坐标原点，线段OP的垂直平分线与双曲

a

线C相切.

⑴若点尸是直线x=与圆/+丁=2的交点，求a；

(2)求。尸|的取值范围.

19.设数列｛%｝单调递增且各项均为正整数，数列｛%｝满足％=工，记数列｛%｝的前，项

Z+1

和为s"，数列｛-%log?%｝的前w项和为7；.若存在正整数％22,使得s*=l,则称,为数

列｛”｝的信息牖.

(1)已知存在正整数左，满足log2%=；w(〃T),n=l,2,k,Sk=l,

①求尤川(用含人的表达式表示);

②证明：数列｛%｝的信息燧小于2；

⑵请写出Inx用，〃-5“，1ln2四个表达式的大小关系，并说明理由.

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案ACADCDBDBCABC

题号11

答案BC

1.A

【分析】令％=ln24,y=ln20,可得20=e3结合指、对数运算求解.

【详解】令元=ln24,y=ln20,则20=e>

所以20sM24_24)瓜2°=3)r」=(e吁

故选：A.

2.C

【分析】利用诱导公式可得tanO=tan[j_lJ,即可得结果.

sinf^-1

C0C1

【详解】因为tan6=—

sinl

cos--1

(2

且。e%，尸71e%71,所以7171—2

2222

故选：C.

3.A

【分析】可知四面体AB'CD'即为长方体ABC。-AB'C'D中去掉4个全等的三棱锥，结合

棱柱、棱锥的体积公式运算求解.

【详解】如图所示:

可知四面体AB'CD'即为长方体ABCD-AB'C'D'中去掉4个全等的三棱锥,

1132

所以四面体AB'CD的体积为4x4x2-4x-x2x—x4x4=—.

323

故选：A.

4.D

【分析】设a,。的夹角为。e[0,兀],则]]=cos6e[-l,l],结合数量积的运算律分析求解.

答案第1页，共15页

【详解】设〃，方的夹角为兀],

因为|「|=|可=1，则。。=1•|z?|COS0=COSG[-1,1],

/rr、2rrr2r2「r,

可得(a+可-a-b=a+b+a-b=2+cos6)>l,当且仅当cos6=-l时，等号成立，

所以+的最小值是1.

故选：D.

5.C

【分析】利用古典概型的概率公式，结合排列组合知识求解.

【详解】四个孩子向三颗星星许愿，一共有3、=81种可能的许愿方式.

由于四个人选三颗星星，那么至少有一颗星星被两个人选，这两个人愿望无法实现，至多只

能实现两个人的愿望，

所以至少有两个孩子愿望成真，只能是有两颗星星各有一个人选，一颗星星有两个人选，

可以先从四个孩子中选出两个孩子，让他们共同选一颗星星，其余两个人再选另外两颗星,

有C；C；A；=36种情况，

364

所以所求概率为「=77=八.

ol9

故选：C.

6.D

【分析】由等差数列的性质和乙与S”的关系，推得招=2〃+1,再由互为交错数列的定义,

对各个选项分析，可得结论.

【详解】由1,斤斤，%成等差数列，可得2£7?=1+为，%>。，

当〃=1时，27^71=27^T1=1+不，解得再=3,

当心2时，由4(S“+l)=(l+xJ,可得4(S,T+1)=(1+X“T)2,

上面两式相减可得4x”=(2+x.+X,T)(X“-X“T),

化为2(%+%T)=(X“+X“_])(X“-X,T),

由％>0,即有无“一％_i=2,

代｝是3为首项，2为公差的等差数列，可得％=3+2(,-1)=2”+1,

对A,an=n+sinnjt=n,

答案第2页，共15页

—％+1)=5—2几一1)(〃+1—2〃-3)=〃2+3〃+2>0,

与数列｛%｝不互为交错数列，故A选项错误；

对B,由［=〃+cos〃冗,可得（A-七）（4一九2）=（。一3"（3—5）=6>0,

与数列｛当｝不互为交错数列，故B选项错误;

对C,由%=2〃+sinmt=2n,

（cn_%〃）（c〃+i—七+i）=（2〃-2〃一1）（2〃+2—2几-3）=1>0,

与数列｛五｝不互为交错数列，故C选项错误;

对D,由4=2九+cos〃兀可得

（%-%）（4用—x”+i）=（2〃+cosmt—2〃—1）[2"+2+cos（〃7r+兀）-2w—3]=1—cos2ZZTI=0,

与数列｛%｝互为交错数列，故D正确.

故选：D.

7.B

【分析】利用椭圆的定义，结合勾股定理，利用基本不等式转化求解即可.

【详解】设=M|AB|=?+1,\BF\=2a-\,\AF\=2a

由A小血可得…+3—则2〃=*>0,有/>1,

=«-1）+告+323+2小。-1）・音=3+2后,

所以2a=

当且仅当(-1)=二7,即r=l+0时取等号.

t—1

则椭圆长轴长的最小值是3+2&.

故选：B.

8.D

丫222k2

【分析】整理可得1--=〉o,可得2、〉炉，利用图象解不等式可得X£(%,2)"4,+8),

/y

答案第3页，共15页

进而可得0<1-|7M1,则2y<2|y|,利用图象解不等式可得y口[1,2],对比选项

即可得结果.

2-2

^x+2y-22Q^

【详解】因为2-—整理可得1—>o,则丁〉一，

y2、V

如图所示：

可知：y=2"与y=d有3个交点，依次为不€[1,-],2,4,

可知2”>尤2的解集为(5,2)u(4,+oo),即XW(5,2)U(4,+8),

此时2工>炉20,可得0V二<1,则0<1-土W1,

2X2'

即0<勺41,整理可得2>422|,

y

_11

注意到2°>2x0,22<2--,

可知，=2>与7=2卜|有3个交点，依次为%

则不等式2”2M的解集为(一力,%]31,2],即ye(―%,%]u[l,2]；

对比选项可知：一定成立的只有选项D.

故选：D.

【点睛】方法点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做

到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维.使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确

答案第4页，共15页

的几何意义，解题时要准确把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的

相关结论求解.

9.BC

【分析】由正方形的特征可知，直线科与直线AC夹角为｝由直线AC斜率利用两角差

的正切公式求出直线A3的斜率，对照选项即可判断.

【详解】设直线AB的倾斜角为a,直线AC的倾斜角为P,

直线AC斜率为2,有tan"2,则六/磴

依题意有”":或八a三，

JTz\tana-tan,兀tana—21

当，-尸」时,tan(6T-p)=------------=tan—,即---------=1,

1+tanatan分4l+2tan。

解得tana=-3,即直线A3的斜率为-3,C选项中的直线斜率符合;

/、tan万一tana兀2—tana

当即”:时,tan(万一。)=-----------=tan—,即---------=],4

1+tantana4l+2tancr

解得tana=；,即直线A3的斜率为:，B选项中的直线斜率符合.

故选：BC

10.ABC

【分析】设马="+Z?i(a,b£R),z2=c+6fi(c,<7eR),由已知复数z-z2的模长均为1,通

过变形可得负土至=“+c-(6+")i=l，即a+c=l且6+d=0,即可判断选项AB,根据

Z1Z2

32

zf+zf=(Z1+Z2)-3(4+Z2)可判断选项CD.

【详解】设马=a+Z?i(〃,Z?£R),z?=c+4(c,d£R),

因为Z]+Z2=Z]Z2，所以幺士三=1,

Z1Z2

z.+z1111c-dia-bi

-------9=----1—=-------1--------=--------------------1-------------------

ZKz2z1c+dia+bi(c+di)(c-di)(〃+历)(〃一/?i)

-..c.-.d.i..1--a---b-i-

~c2+d2cr+b2'

因为复数4，Z2的模长均为1,

所以〃2+〃=],C1+d2=19

Z[+Z2c-dia-bi1

所以-----=——五+—~万=c-di+a-bi=a+c-(b+dji=19

Z]z2c+ua+b

即a+c=l且Z?+d=0,

答案第5页，共15页

所以Z1+Z2=〃+历+c+di=〃+c+(b+d)i=l,故选项B正确；

所以t+Z2|=l,故选项A正确；

因为(4+Z2丫=Z；+Z；+3Z^Z2+3Z]Z；=zf+z1+3平2(4+z2)

=z；+z；+3(Z]+z2)，

32

所以z：+z：=(zl+z2)-3(^+z2)=1-3x1=-2,故选项D错误;

又|z；+z；|=2,故选项C正确.

故选：ABC.

11.BC

【分析】根据题意建立用平面截圆台的数学模型进行解答.

【详解】根据题意，灯光可以照亮的部分是个无限大的圆台，

该问题可以转化为用平面截圆台，所得的截面问题，

若固定灯不动，则只考虑地板从ME旋转到“邑，设NSMS]=e,

则根据圆锥曲线的定义，有：

截面与圆台的轴平行时，截得双曲线的一支；

截面与圆台的母线平行时，截得抛物线；

截面不可能只与圆台侧面相交，不能截得椭圆；

截面不可能与圆台侧面相切，不能截得直线.

故选：BC.

【点睛】方法点睛：灯向上或向下转动，判断灯光照在地板上的边界的可能形状，问题可以

转化为用平面截圆台，所得的截面问题.

3

12.1或万(任写一个即正确)

【分析】设｛为｝公差为d,依题意有一=%%6,求得4=。或%=心可求:的值.

答案第6页，共15页

【详解】设等差数列｛%｝公差为“，由q,“4，%构成等比数列，则有靖=。臼6,

即(4+3d)〜=4(4+15d),解得&=0或4=d,

a3_q+2d_3d_3

d=0时，—=1；ax=d时,

a2a2q+d2d2

3

故答案为：1或不（任写一个即正确）

2

13

-4

【分析】设6="奴，。=也,加,〃>。，则:+2+£=,+'+〃，根据二次函数零点可得77122册，

bcamn

设〃根）=,+"+〃，根N2«,利用对勾函数可得了㈣力（26），再结合基本不等式运算

mn\7

求解.

nhc1m

【详解】因为〃，b,c>Q,设b=ma,c=na,m,几>0,贝"一+—+—=—+—+〃，

bcamn

二次函数f(%)=ax2+/?%+c有零点,

则A=Z?2-4ac=^2Q2一4也2NO,可得mN2石i,

f(in\=—+—+n=—\m+—\+n,m>2G,

mnn\mJ

显然2«>«,可知/㈣在[2而+8)内单调递增,

555、°I55-3^/100

—n-\----7=—TI~\----H-------7=之3?]〃x—产x—■；=-----------

2sz44n4jn\Zn44n4

m=2y/n

当且仅当5加=10；时，等号成立,

n=一7=

[4〃

日n〃bc、3%00=匚］。。c.曰［/古曰3%00

BP-+-+->———，所以7+一+一的最小值是二——.

bca4bca4

故答案为：独叵.

4

14.（对

【分析】设两个圆锥的底面半径分别为2,了,高分别为〃,根据体积关系可得%=4〃,

，利用换元法令'一1］6⑷?+「°”，整理可

答案第7页，共15页

得2"+产+4_8/+,64』-2/+1

，分析可知关于的方程尤有正根，更

寸J1+16产+12x42-32a+21—1=0

换主元法结合一次函数零点分析求解.

【详解】设两个圆锥的底面半径分别为2r,r,高分别为

由题意可知：/=!%5产，可得期=4/7,

71x2rd4r之+02+兀x4r2

则它们表面积之比为

7ixr^r1+16/?2+兀x厂2

士K■工r>rIsi214+t?4-48%+464/-21+1

表面积之比为/--~

+16/+12

设x=切+&4产-2'+」>0,可知关于X的方程4/—32"+2,—1=0有正根,

2

即关于f的方程（2—32x）.+4Y—1=0在有根，

设/⑺=（2-32x）f+4x2-1,/

若2—32x=。，即工=上时，/(?)=--,不合题意;

［时，则〃。)/

若2—32xr0,即xx4x2-1）（4工2-16x）<0,

16

因为（4必—1乂4%2—16x）=4x（2x+l）（2x—l）（x—4）<0,

且%>0,贝!!2x+l〉0,可得(2x—D(x—4)<0,解得5Vx<4；

综上所述：X的取值范围为g,4；

所以表面积之比的取值范围是g,41

故答案为：g』.

【点睛】关键点点睛:对于表面积之比利用换元法分析可知关于x的方程4/一32女+2/-1=0

有正根，更换主元可知关于/的方程(2-32x)"4f-1=0在10,£|有根，结合一次函数零点

答案第8页，共15页

分析求解.

15.(1)证明见解析

3£

⑵852

【分析】(1)先根据条件确定尸点的位置，再证明线线垂直.

(2)先探究％y，z与4〃的关系，再利用二次函数的性质求范围.

【详解】(1)如图：取A8中点AC中点N,连接MV,AP=AAB+juAC

则AB=2AM，AC=2AN.

因为AP=XAB+〃AC=2；IAM+2〃AN,彳+〃=)=2彳+2〃=1,

所以三点P,M,N共线.

又四面体ABCD为正四面体，所以DM=DN,当尸为肱V中点时，DP1MN,此时⑷尸|取

得最小值.

又MNI/BC,所以止_L3c.

(2)易知0,—,

DP=DA+AP=DA+AAB+/JAC=DA+A^DB-DAj+^u^DC-DAj=^DA+ADB+JJDC

=xDA+yDB+zDC.

所以/=y=^,z=〃，

故f+/+22，+%+〃2」+彳2+?_3=2A2-2+-(0<2<-).

44uJ22

ia

根据二次函数的性质，当彳=；时，/+V+22有最小值，为弓；

4o

当;i=o或!时，v+v+z?有最大值，为2.

22

答案第9页，共15页

31

故Y+J+zZ的取值范围为：

o2_

16.(1)答案见详解

(2)答案见详解

【分析】(1)求导，利用导数判断的单调性；

(2)求导，分0<。41和。>1两种情况，利用导数判断的单调性和最值.

【详解】(1)令a-%2>0,且a>0,解得<x<八,

可知〃元)的定义域为卜五，&)，且〃尤)=2A-^=2X"：+1),

a-x2a-x2

因为Ova<l，且<x<->则a-%?〉0,f—a+1〉0,

当-五<兄<0时，/r(x)>0；当0<%<6时，/r(x)<0；

可知/(x)在卜夜,0)内单调递增，在(0,后)内单调递减.

(2)由(1)可知：〃尤)的定义域为卜&,6),且广⑴「Xi丁1),

若0<a<l,可知/(X)在卜夜,。)内单调递增，在(。,&)内单调递减，

所以“X)的最大值为“0)=a+lna；

若a>l,令解得一&<%v—Ja—1或

令f(%)V。，解得-y/a-1<%<0或y/a-1<x<y[a;

可知了(%)在a-1),(。,Ja-1)内单调递增，在卜Ja-1,0),(Ja-1,)内单调递减,

且f(-Ja-l)=/(Ja-1)=2a—1,

所以/(%)的最大值为为-1；

综上所述：若0va<l,/(%)的最大值为〃0)=a+lna；

若a>l,/(%)的最大值为2〃-1.

17.(1)100

答案第10页，共15页

⑵18或19

【分析】（1）因为这100人均有可能抢到票，根据极大化原则分析判断;

（2）设小林额外找上-l,eN*）个人帮他一起抢票，可得抢到票的概率为4=

进而求其最大值即可判断.

【详解】（1）因为这100人均有可能抢到票，若要保证该抢票通道不会出现故障,

所以主办方至少要为该通道预留100张票.

（2）若小林额外找左-l,eN*）个人帮他一起抢票，

令驾＜1,解得左＞19；令冬=1,解得左=19；令誓＞1,解得14左＜19；

444

即々=2o＞21＞…，

所以小林额外找18或19个人帮他一起抢票.

18.（l）a=±l

⑵0,2）

【分析】（1）联立方程求出交点坐标，代入双曲线方程运算求解即可；

（2）设尸（根川，厂=|。尸］,根据中垂线方程以及双曲线的切线方程解得

川=2"+2，1「＜,换元令」=",可得产=2卜+&一1+1）,令X+厂771，

可知关于无的方程尤2-2江+（/-1）=。有正根，更换主元法求范围即可.

X=

【详解】（1）联立方程:

答案第11页，共15页

即点尸为代，用或]-乎,-日

2工

将点尸代入双曲线C：/_鼻=1可得解得°2=1,

彳1

a2a2~

所以Q=±l.

22

（2）先证：在双曲线彳一当=1上一点优,为）处的切线方程为笠-翌=1.

abdb

2222

因为点（%,%）在双曲线3-2=1上，则号-普=1,

dbab

显然直线里-臀=1过点（%,%）,

ab

即火=牛一〃，d2yl-b24=-d2b2,

R_£=1

联立方程/°2,消去y可得（"F一尤_片；=0,

420

vyoy;]c/d

db2

即一竽+〃=o,则X2_2X°X+X：=0,解得X=X。，

22

所以在双曲线%=1上一点（%,为）处的切线方程为竽-苦=1.

设尸（根,〃），r=\OP\=Vm2+n2,则疗-勺=1,

22

—r/D/AE/乙乙工士十八”、、rTm\nmm+«2m2n4

可得线段。尸的垂直平分线为/：y=x-—+-=-一x+—；——，gapn—x+—y=1,

n\272n2nrr

设直线/与双曲线C切于点（久1，%）,则直线/：犬/-邛=1,

a

2mf2m

^=-r

则…，即2-,

卜/下上一户

24Q~2

整理可得4（疝一〃2叫=/4=（加2+叫2

且=1,即4疗4

。_/r-I

答案第12页，共15页

2

又因为尸(办〃)在双曲线C上，则布一%=1,即“2=4(疗—1),

可得4"-/(疗-1)]="+仪疗_川2,解得川=2〃+；"2+/(舍负)，

则r2=m2+M2=m2+a2"-1)=2(1-a2+71-a2+a4,

令t=1—a~e(-8,1),则a?=l-f,可得产=2,+J厂-r+1),

令工=/+犷二71，则关于x的方程/一2a+”-1)=0有正根，

即关于f的方程(1-2力/+*-1=0在(-应1)内有根，

设/⑺=(1一2])/+12-1,

若1—2x=0,即x=5,则/“)=—：wO,不合题意；

若1一2%>0,即贝！J/(1)=%2-2%>。，解得xvO,不合题意；

若1一2了<0,即x>；,贝1]/(1)=_?-2彳<0,解得:<X<2；

综上所述：1<%<2,

2

贝lj/=2xe(l,4),即|3=厂«1,2).

【点睛】方法点睛：解决圆锥曲线中范围问题的方法

一般题目中没有给出明确的不等关系，首先需要根据已知条件进行转化，利用圆锥曲线的几

何性质及曲线上点的坐标确定不等关系；然后构造目标函数，把原问题转化为求函数的值

域或引入参数根据参数范围求解，解题时应注意挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量之间的

转化.

仅一1)(左+2)

19.⑴①x-2^^②证明见解析

(2)5„(1-S„)<7；ln2<n-S„<lnxn+l

【分析】(1)①由bg2%=g"("-1),log?尤向=；"("+1)，两式相减可得；②利用错位相

减求和即可证明.

(2)先令”=1猜测它们的大小顺序，再证明.

【详解】(1)①由Iog2%=m("-l)=>log2x“+i=g"("+l)，

答案第1