辽宁省丹东市某中学2024-2025学年高三年级上册期初考试 数学模拟试题（含解析）

辽宁省丹东四中2024-2025学年度上学期期初考试模拟试题

局二数学

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.已知集合/=｛x|-l<x<3,xeN｝,则集合Z的真子集的个数为（）

A.3B.4C.7D.8

2.已知a,6为非零实数,则“0<q<1”是“同<冏”的（）

b

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.设S“是等比数列｛%｝的前〃项和，若邑=2,%+%=6,则盘=（）

§4

713

A.2B.—C.3D.—

44

4.已知函数/（x）=x2e'T-依的图象在点处的切线斜率为2,则a=（）

A.-1B.1C.-2D.2

5.已知连续型随机变量X,~N（%,b,2）«=1,2,3）,其正态曲线如图所示，则下列结论正确的是（）

A.尸（X]<〃2）<尸（丫2

B.P（X2>/z2）>P[X3>/z3）

C.尸（X]<〃2）〈尸（万2V〃3）

D.P（从-2a,.<X.<//,.+2cr（.）=P出+1-2（r（.+1<X+1<4刊+2%十1）々=1,2）

f2

6.已知等差数列｛4｝的前〃项和为S〃，q=9,%为整数，且S三色，则数列<-----的前9项和为

7.在概率论中，马尔可夫不等式给出了随机变量的函数不小于某正数的概率的上界，它以俄国数学家安德

雷•马尔可夫命名，由马尔可夫不等式知，若J是只取非负值的随机变量，则对Va〉O,都有

尸某市去年的人均年收入为10万元，记“从该市任意选取3名市民，则恰有1名市民去

年的年收入超过100万元”为事件Z,其概率为尸(Z).则尸(/)的最大值为()

2724344

A.----B.C.D.

10001000279

3a—1

8.若关于x的不等式lnx+a-3一＜0有且只有一个整数解，则正实数。的取值范围是(

X

A.f,2In2+1B.f,3In3+1

C.[21n2+I,31n3+1)D.In2+g,31n3+1J

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知正实数a,b满足=i,贝|j()

A.6的最大值为2B.ab的最小值为1

C./+〃的最大值为2D.6+〃的最小值为1

10.已知红箱内有6个红球、3个白球，白箱内有3个红球、6个白球，所有小球大小、形状完全相同.第

一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回

去，依此类推，第左+1次从与第4次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去.记第〃次取出

的球是红球的概率为月，则下列说法正确的是()

A.=—■B.3小匕=1

29

122139

C.第5次取出的球是红球的概率为——D.前3次取球恰有2次取到红球的概率是——

243243

11.已知函数/(x)=x(lnxY+x,贝ij()

A./(x)在区间(0,+oo)上单调递增

B.当x=:时，/(x)取最小值

C.对Vxem>0,g(x)=/(x+加为增函数

D.对VX],/e]：,+co|,1[/(^)+/(%2)]

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.双空题第一个空2分，第二个空3分.

12.曲线y=21nx-x在x=l处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为.

13.已知实数a,b满足，b=l+a,6e(O,l),则3空—幺上的最小值为

,'b2023a

14.数列｛%｝满足4+2a2+22%+…+2"一％“=；(〃+1)〃(〃—1),若对任意2>0,所有的正整数〃都

有丸2—左彳+2〉卷成立，则实数后的取值范围是.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(本小题满分15分)

已知｛%｝是公差不为0的等差数列，其前4项和为16,且%,成等比数列•

(1)求数列｛4｝的通项公式;

2%,〃为奇数

⑵设6"=<J，〃为偶数，求数列也｝的前2〃项和J.

aa,

„n+2

16.(本小题满分15分)

已知函数f(x)=x2+\nx-ax+a.

(1)讨论/(x)的单调性;

(2)若/(x)2x(lnx+l)对任意的恒成立，求实数a的取值范围.

17.(本小题满分15分)

已知数列｛%｝前〃项和为S“，且2S"=M〃+1),记以=(-1)"孕土L

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)设数列也｝的前〃项和为7；,求与吻.

18.(本小题满分17分)

当前，人工智能技术以前所未有的速度迅猛发展，并逐步影响我们的方方面面，人工智能被认为是推动未

来社会发展和解决人类面临的全球性问题的重要手段.某公司在这个领域逐年加大投入，以下是近年来该

公司对产品研发年投入额x(单位：百万元)与其年销售量y(单位：千件)的数据统计表.

X123456

y0.511.53612

z=Iny-0.700.41.11.82.5

(1)公司拟分别用①y=bx+a和②y=eOT+m两种方案作为年销售量y关于年投入额x的回归分析模型,

请根据已知数据，确定方案①和②的经验回归方程；(风“加,〃计算过程保留到小数点后两位，最后结果保

留到小数点后一位)

(2)根据下表数据，用决定系数A?(只需比较出大小)比较两种模型的拟合效果哪种更好，并选择拟合

精度更高的模型，预测年投入额为7百万元时，产品的销售量是多少？

经验回归方程y=bx+ay=enx+m

6

残差平方和WX匕一立)218.290.65

i=l

E(z-z)266

参考公式及数据：5=上---------------,a=y-bx,R2=1-^----------,=121,=91,

Z(x,-x)2ZU-y)2T汩

i=\i=l

6

ExjZj=28.9,e28«16.5,e3«20.1.

Z=1

19.(本小题满分17分)

已知函数/(x)=alnx-x+—(aGR).

x

(1)若Q=2,求证：当时，/(%)<0.

(2)若/(X)有两个不同的极值点下,、2(王<工2)且+%2-4-

(i)求。的取值范围；

(ii)求证：/(%)<2百.

局二数学

参考答案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.【答案】C

【分析】简化A即可得到集合A共有7个真子集.

【详解】解：由题意得：

/={x|-l<x<3,x£N}=(0,1,2),

其真子集有：0,{o},{1}，{2},{0,1},{0,2},{1,2},共7个.

故选：C.

2.【答案】A

【分析】根据充分、必要条件的知识求得正确答案.

【详解】当0＜色＜1时，a,6同号且非零，则0＜.Cl,所以问〈网.

b

当同＜问时，如。=—1,b=2,则2＜0,无法得到

ab

所以是“同＜同”的充分不必要条件.

b

故选：A.

3.【答案】D

【分析】根据邑，邑-$2,5-S,成等比数列，得到方程，求出$6=26,得到答案.

【详解】由题意得邑=2，S4-52=6,64=62+6=8,

因为S2,S4_S2,$6_S4成等比数列，故(S4_$2)2=S236_S,)，

即62=2(5—8),解得丛=26,

故选：D.

4.【答案】B

【分析】求得/=a,根据题意得出方程/'(1)=3—a=2,即可求解.

【详解】由函数/(另=/尸1—ax,可得/'(力=(/+2%卜1一。，

因为函数/(x)的图象在点处的切线斜率为2,

可得/(1)=3-«=2,解得a=l.

故选：B.

5.【答案】D

【分析】根据正态分布密度曲线的性质与概率的关系判断.

【详解】解：对于A：尸(X/W〃2)是第一条正态分布密度函数图象在第二条虚线左侧与刀轴围成的部分，

P(X2＜是第二条正态分布密度函数图象在第一条虚线左侧与x轴围成的部分，

故由图象可知尸(X]V〃2)〉尸(丫2〈4)，故A错误；

对于B:P（X2>//2）=1,P（X3>//3）=|,则尸（万22〃2）=尸（万32〃3）,故B错误；

对于C：与A分析同理，尸（X]V〃2）〉尸（占），故C错误；

对于D：由于概率表示曲线和x轴围成的部分，与是，还是i+1无关，

故尸（伍-2oiWXZV/zz+2ai）=P（/zz+1-2<rz+1<Xi+<（j,i++2cri+=1,2）成立，故D正确.

故选：D.

6.【答案】A

【解析】设等差数列｛4｝的公差为d，由5”项得%20，。640，

‘9+4420,99

解得——-一，％=9,2为整数，

9+5d<0,45

2211

d=-2,a=11-2/7,-------

aa(11-2")(9-2〃)9-2〃11-2«

nn+X

皿向21h….111111112

数歹!]<----->的刖9项和为Ta=--------1-------1------1-—I---------=---.

"+J795735-9-79

故选：A.

7.【答案】D

【解析】记该市去年人均收入为X万元，从该市任意选取3名市民，年收入超过100万元的人数为设

从该市任选1名市民，年收入超过100万元的概率为夕，

,、E（x\101

则根据马尔可夫不等式可得P=P（XN100）"=1Go=S

10

因为y~8（3,夕），

所以尸(/)=尸(y=l)=C；p(l_p/=3p(l-p)2=3p3-6p-+3p,

令/(，)=3P3—6p2+3,,则/'(0=9夕2—12夕+3=3(3夕一l)(p—1),

•.•0<2，.•.3p—1<0,0一1<0,即/'(夕)〉0,

.•./(,)在0,—上单调递增.

243243

,即P(/)

W001000

故选：D.

8.【答案】A

【分析】原不等式可化简为xlnx+1<3a-ax,设/(x)=xlnx+l,g(x)=3a-axf作出函数/(x)的

图象，由图象可知函数g(x)的图象应介于直线ZC与直线5C之间(可以为直线BC),进而求得答案.

【详解】原不等式可化简为xlnx+l<3a-ax,设/(x)=xlnx+l,g(x)=3a-ax,

由/(x)=xlnx+l得'/'(x)=lnx+l,令/'(x)=0可得x=,,

「.x40,3时,/〈X)<0,X€,+cO

时,f'(x)>0,

易知函数/(X)在单调递减，在1g,+oo］单调递增，且=1—g,

作出/(X)的图象如下图所示，

—1

而函数g(x)=3a-"恒过点C(3,0),要使关于x的不等式lnx+a--------<0有且只有一个整数解，则

X

函数g(x)的图象应介于直线ZC与直线BC之间(可以为直线BC),

又3(2,212+1),

0-10-(21n2+l)

3,后BC=—----------=-21n2-l

3^13-2

/,-2In2-1<-6/<-—,

2

二.一<aV2In2+1.

2

故选：A.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.【答案】AC

【分析】由题可得［a—21+—=1,可令a—2=cos。，叵=sine,即a=cos6+且sin。，

［24223

b=——sin。，代入选项依次化简即可结果.

3

【详解】由/—仍+/=1,可得。+—=1,令a—2=cos。，^-=smO,

I422

由z_A乖＞・A,_273.f2兀、

所以a=cos0-\---sin9,b—----sin0?8£[0,—,

33I3J

对于A,则a+Z?=cos8+J^sin8=2sin|—当。=一时，a+6取最大值为2,故A正确;

对于B,

2A/3,(Z36.a)26,ZJ2.2q

ab----sin"cos〃H----sin"=----sin"cos"H——sin〃

3(3)33

二-^-sin2^--cos2^+—=—sin\20—+1

3333I6

71

当。='时，ab的最大值为1,故B错误；

3

对于C、D,由B可得0<aZ?Vl,由/+人2=1+/，贝!]1</+人242,故C正确，D错误.

故选：AC.

10.【答案】AC

【分析】依题意求出《，设第〃次取出球是红球的概率为心，则白球概率为（1-勺），即可求出第,+1次

取出红球的概率，即可得到+；,从而可判断各个选项.

【详解】依题意々,

93

设第n次取出球是红球的概率为P,则白球概率为（1-匕），

对于第〃+1次，取出红球有两种情况.

21

①从红箱取出的概率为pn~,②从白箱取出的概率为

2111

对应勺+1=§勺+3（1_勺）=]勺+）,IP3P+1=P+1,故B错误;

1(1Y-115122

故月=一一+—，所以巴=—，己=——，故选项A，C正确;

"6(3j2295243

2S

第1次取出球是红球的概率为＜=—,第2次取出球是红球的概率为8=-

1329

14

第3次取出球是红球的概率为巴=一,

327

oil2211128

前3次取球恰有2次取到红球的概率是一x—x—+—x-x-+-x-x-=—

33333333327

故D错误;

故选：AC.

11.【答案】ACD

【分析】直接求导确定函数单调递增，即可判断A、B选项；求导由g'(x)〉O即可确定C选项；由导函数

和原函数在上均为增函数，结合函数图像即可判断D选项.

【详解】易知定义域为(0,+8)，/'(X)=(lnx)-+x-21nx--+1=(inx)2+21nx+l=(lnx+1J＞0,

JC

故/(x)在区间(0,+oo)上单调递增，A正确；

/(x)无最小值，B错误;

当,+8加＞0时,

g'(x)-/'(%+加)—/'(1)=[ln(x+m)+1]2_(inx+1)2=[in(x+m)+lnx+2][in(v+m)-Inx],

易得111(1+冽)>111]〉111，二一1,则ln(x+加)+lnx+2〉0,ln(x+m)-lnx>0,即g'(x)>0,故

e

g(x)为增函数，C正确；

当时，lnx〉-l,令/二lnx,«+t>-l,易得〃为增函数，即

/'(x)=(lnx+l)2在\,+00)为增函数,

又/(x)在］』,+oo］为增函数，故函数/(x)为“上凹”函数,

y

D正确.

故选：ACD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.双空题第一个空2分，第二个空3分.

12.【答案】2

【分析】利用导数求的几何意义求出切线方程，求出切线与两坐标轴的交点，结合三角形的面积公式可求

得结果.

22

【详解】对函数y=21nx—x求导得了=——1,所求切线斜率为左=——1=1,

x1

当X=1时，J=21nl-1=-1,切点坐标为(1,—1),

所以，曲线y=21nx—x在x=l处的切线方程为y+l=x—l,即y=x-2,

直线y=x-2交x轴于点(2,0),交j轴于点(0,-2),

所以，曲线y=21nx-x在x=l处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S=]x22=2.

故答案为：2.

13.【答案】2025

【分析】先对式子变形得到迎1--上L=2023-1空出由基本不等式求出

b2023a(b2023a)

2023ab/、从而求出竺”-卫L的最小值.

b2023ab2023a

2023a+12023(6-a)b[2023ab)

b2023ab2023a(b2023a)

因为l+ae(0,l),所以ae(-1,0),—e(-oo,-l),

bl+o.1,,b普<。,

—=-----=1+—e(z-℃,0),故<0,

aaa2023ab

2023。h.12023a(hA

由基本不等式得：---------十<9.—9

b2023aVbI2023a)

।.2023ab12023,日「.、

当且仅当------=-,目口C〃l一—，b-时，等节成立,

b2023a20242024

,,2023a+1b

=2023-1'2023a|>2023+2=2025,

b2023a1<b2023aJ

2023a+1,.„,

即Hri-------------的最小值为2025.

b2023a

故答案为：2025.

14.【答案】(-oo,V2)

【分析】先由题设求得％,然后利用数列的单调性求得其最大值，把对任意;1〉0,所有的正整数〃都有

11

%0—板+2>%成立转化为k<A+——对任意4〉0恒成立，再利用基本不等式求得2+——的最小值，

〃2222

即可得到答案.

【详解】由q+2出+2?%H----F2〃T*=+篦(〃一1),

当〃22时，/+2a2+Z??+…+2"2a葭7=—(〃一1)仅一2),

两式相减可得：2"-1%=+-2)]=〃(〃_]),

n(n-\\

a〃=二J，由q二0，显然成乂，

n2+n-2n2+2n-n2+3〃

设Q—a=---------------

以Un+\Un2«2"T2"

.,.当0<〃W3时，an+1-an>Q,当〃24时，an+l-an<0,

因此，0<〃V3,数列｛4｝单调递增，当“24时，数列｛4｝单调递减,

由生=；,«4=|,故当〃=3或〃=4时，数列｛%｝取最大值，且最大值为

对任意2〉0,所有的正整数〃都有分—女2+2〉4“成立，可得万―左2+2〉二,

“2

,11

因止匕，U<22+-,即左<2+——对任意;1〉0恒成立，

222

由2+」一22/九义工=收，当且仅当丸=',即;1=收时取最小值，则上<(；[+,]=41,

22V222222Jmm

实数左的取值范围是卜oo,亚卜

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

,4〃+111

15.【答案】(1)a=2z?—1(2)T2=-------------------------

"2n152016/2+12

【分析】(1)设出公差，借助等差数列性质与等比数列性质计算即可得；

(2)分奇数项及偶数项分组求和，结合等比数列的性质与裂项相消法计算即可得.

【详解】(1)设｛4｝的公差为d(dwO),由题意知｛；234,

Cl?—

阿q+6d=16[2a+3tZ=8

即/、2/、，即有,c-

(q+d)=<7；+4d)[d=2aA

因为dwO,可得4=1,d=2,

所以%=2〃-1；

(2)设数列｛〃｝的前2〃项中的奇数项之和为Z,偶数项之和为8,

21-16"

则A=2a,+2%+…+2%T=21+25+---+24H-3=—--------

1-16

24«+124"+1

1-16-15

八111

B-------1--------F•••H-----------

a2a4a4a6a2na2n+2

1"1___1_+J___1_+।]]、

2da2n02n+2J

1(11、

2d\a202n+2J

11111

4134〃+31216〃+12

24H+1-21124n+111

所以乙“=2+8=+-----

151216〃+12152016〃+12

16.【答案】(1)答案见详解;(2)(-oo,l]

【分析】(1)求导，分类讨论a,A的符号，结合二次不等式求/(x)的单调性;

⑵构建g(x)=/(x)-x(lnx+l),原题意等价于g(x)20对任意的x21恒成立，求导，结合g⑴=0,

可得g'(l)20naVI,并代入检验即可.

1r\2.1

【详解】(1)由题意可知：/(X)的定义域为(0,+8),且r(x)=2x+"=9+1,

XJC

对于2x~-ctx+1,则有：

若a<0时，则2--ax+l〉0,可得/'(x)〉0,

所以/(x)在(0,+8)内单调递增；

若。>0时，则有：

当△=4—8<0,即0<。<2行时，贝！12/—ax+120,可得/'(x)N0,

所以/(x)在(0,+8)内单调递增；

当△=1—8>0,即a〉2c时，令2》2一办+1=0,

a~—8a+Na~—8_

解得x；=---------,x2=----------,且0<%</，

令/'(x)〉0,解得x〉》2或0<x<X］；令/'(x)<0,解得王<》<》2；

所以/(x)在(%,々)内单调递减，在(0,西)，(々,+8)内单调递增；

综上所述：

当aV2亚时，/(x)在(0,+8)内单调递增；

、,，*/T-.1a-y/a2-8a+Ja2-81上％―「八a-d『-8〕(a+3。-8

当a〉2j2时，/(x)在----------,——------内单倜递减，在0,---------,——-----,+s

4444

\?\?\7

内单调递增.

(2)构建g(x)=/(x)-x(lnx+l)=x2+(l-x)lnx-(o+l)x+«，

原题意等价于g(x)20对任意的x21恒成立，

］一1］

则g’(x)—2x—InxH------(a+1)=2x—InxH----(a+2),

XX

且g(l)=。,则g'(l)=1—a20,解得a41,

下证充分性，

若aVl,令〃(x)=g'(x),x>l,则1(x)=(2x+l|(x1)>Q,

可知M%)在［l,+8)内单调递增，则/z(x)2%⑴=1一a20,

即g'(X)20对任意的X21恒成立，可知g(X)在[1,+8)内单调递增，

可得g(x)?g(l)=O,符合题意；

综上所述：实数。的取值范围为(-00,1].

17.【答案】(1)%="(〃eN*)；(2)T2021=-

【分析】(1)2S“=〃(〃+1),令〃=1,求出E，再结合“22时，利用%=S"—Si结合求出％,然后

结合〃=1和“22时，验证%是否满足;

(2)把%的通项公式带入包中，化简，然后分离成两项之间的和的关系，借助前面的(-1)”进行抵消求和.

+当〃=1时，E=；xlx2=l；

【详解】(1)S=-n

n2

当〃22,时，S“_]=5〃(〃一1),an=Sn-Sn—i,=-1n(〃+1)—-72(〃_].)=n.

当〃=1时也符合，，册=N*

⑵“(可型篙=(力(77+1)+721

〃(〃+1)72+1

』=_1+?+■+》[+j+…-焉+&

1111111112023

―2233420212022—2022—2022,

18.【答案】(1)j=2.1x-3.4,y=e“xT4；(2)②的拟合效果好，预测销售量是16.5千件

【分析】(1)根据经验回归方程的求法求得正确答案.

(2)通过计算决定系数确定拟合效果较好的方案，并由此进行预测.

1+2+3+4+5+6_0.5+1+1.5+3+6+12,

【解析】(1)x==3.5，v=---------------------------=4,

6-6

37

所以121—6义3.5：4=三合zu,a=4---x3.5=-3.40,所以y=2.1x—3.4.

91-6x3.5*217.517.5.

由丁二砂＞",两边取以e为底的对数得Iny=+加，即z=〃x+加，

28.9-6x3.5x0.850.63,/n=0.85-^^-x