河北省部分地区2025届高三年级上册9月摸底考试数学试卷（含答案）

河北省部分地区2025届高三上学期9月摸底考试数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知集合A={x|/og2(x—1)<2},B={x\m<x<2m+1},若B力0且8£71,则zn6()

A.[1,2]B.[1,3]C.[1,+oo)D.(-00,3]

TT

2.在平面直角坐标系中，若4a的终边经过点尸(1,2),贝|cos(2a+.)的值为()

A■一亚B"+mC―7"DF-F

.4,4。10•4

3.在平行四边形力BCD中，AB=a^D=b,点E为CD中点，点尸满足而=2而，则丽=()

1->->1-*1-»2-*1―

A.~z(i—bB.—CL+C一铲一甜D.——a+

o

4.已知双曲线新餐=1的右焦点为F,过点F作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为4若|。力|=5。?|(0为

坐标原点)，则双曲线的离心率为()

C.2

5.设复数Zi，Z2在复平面内对应的点关于实轴对称，Zi=2+i,则言=()

3444

A.1+iBq+gC.l+字D.l+-i

6.已知偶函数/(%)对于Vx£R都有/(x+2)=/(%),且当久e[0,1]时，/(%)=筋若9(久)=f(x)-loga\x\

(a>1)有6个零点，贝b的取值范围是()

A.(1,2)B.(1,3)C.(3,5)D.(4,5)

7.边长为2的正方形力BCD的中心为0,将其沿对角线AC折成直二面角.设E为4。的中点，尸为BC的中点，将

△EOF绕直线EF旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的表面积为()

A.yB.邛C.nD.努

8.在空间直角坐标系Oxyz中，平面。久y、平面Oxz、平面0z久把空间分成了八个部分.在空间直角坐标系

。孙z中，确定若干个点，点的横坐标、纵坐标、竖坐标均取自集合{-3,4,7},这样的点共有m个，从这m

个点中任选2个，则这2个点不在同一个部分的概率为()

AR302在D型

351351117117

二、多选题：本题共2小题，共10分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.对于函数/(无)=sin久+#,下列说法正确的是()

第1页，共7页

A.函数/（久）在［0,初单调递增.

B,函数f（X）在（-8,0）单调递减.

C.对任意6都有也立/西>/（包尹）成立.

D.存在无（）6（0^）,使得f（%0）=会0.

10.已知数列｛斯｝满足斯+1=2斯+nT,且由=2,记｛4｝的前项和为T”｛Tn｝的前项和为%,则下列说

法中正确的是（）

nr

A.｛a“｝的通项公式为an=3x2--nB.Tn=3x2n-3-包尹

C.S2n<0D.数列｛即+1祟+1｝是等差数列

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

11.已知集合4=（x\x2-2x-3<0｝,B=｛x\m-2<x<m+2｝,若力CiB=0,则m的取值范围是.

12.已知轴截面为正三角形的圆锥的高与球的半径之比为3：1,设圆锥的底面半径为r,则圆锥的表面积与

球的表面积之比为.

13.某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲产品x件，乙产品件丫时，总成本为。=%2+2X丫+33/2+5（单

位：万元）.若甲产品的产量不超过5件，且甲、乙两种产品的产量之和不超过10件.则总成本C的最小值为

万元.

四、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

14.（本小题12分）

n

已知数列｛即｝满足a„+i=2an+3x2,a1=2.

（1）证明：数列｛骂｝是等差数列，并求数列｛即｝的通项公式.

（2）设bn=医兽，求数列｛0｝的前n项和S»

15.（本小题12分）

已知函数/'（X）=Inx+p

（1）若该函数在［1,+8）单调递增，求a的取值范围.

（2）当a=1时，若方程〃X）=?n有两个实数根无1,尤2，且乂1<久2，证明：%i+%2>2.

16.（本小题12分）

将一个骰子在桌面上连续独立地抛n次（n为正整数）：设丫为与桌面接触的数字为奇数的次数，q为掷骰子一

次与桌面接触的数字为奇数的概率.

第2页，共7页

(1)当n=6时，若骰子的质地是均匀的，求丫的数学期望和方差.

(2)若骰子有瑕疵，即q*三,设心是掷骰子n次中与桌面接触的数字为奇数出现偶数次的概率，求证：Qn

=+(l-2q)Qn-i(n>2).

17.(本小题12分)

如图L直角梯形力BED中，AB=AD=1,DE=2,AD1DE,BC1DE,以BC为轴将梯形ABED旋转

180。后得到几何体勿，如图2,其中GF,HE分别为上下底面直径，点P,Q分别在圆弧GF,HE上，直线

PF〃平面BHQ.

F

E

(1)证明：平面BHQ，平面PGH；

(2)若直线GQ与平面PGH所成角的正切值等于混，求P到平面BHQ的距离;

(3)若平面BHQ与平面8EQ夹角的余弦值!，求HQ.

第3页，共7页

参考答案

l.A

10.ABD

1<-3或m>5｝

12.9:4

13.11

14.解：⑴

n

根据题意由an+i=2an+3X2易知景!=也奈在二=居+

即可得景|-金=|为定值，

由此可得数列｛黜是以,=1为首项，公差d=|的等差数列,

所以黑=1+怖(八一1)=当吴，可得斯=(3n-l)-2n-1；

乙乙乙

即数列｛斯｝的通项公式为即=(3n-l)-2皿-1；

(2)

为+3_(3n-l)-2"T+3_3n-l

由(1)可得勾=

EH夹4Mr?i/i/i丁古工rtc3X1—13X2-13X3—13n—1333

则数列｛，J的刖?1项和Sn=----+--一-+―-一+…+-工一+元+9+…+而

3x(l+2+3H—+n)—n(9〜式1一G))

3x(1+2+3+•••+n)—n_3n2+n

roX---------

即可得％=吗"+3(10)

15解：(1)

第4页，共7页

由题意r(%)=£一芯=，(%>°)，

当。工0时，//(x)>0,/(%)在(0,+8)上单调递增,满足题意；

当。>0时，当0V%Va时,//(x)<0,/(%)在(0,a)上单调递减，

当%时，//(%)>0,/(%)在(a,+8)上单调递增，

又该函数在口+8)单调递增，故0<a<1,

综上可知，。的取值范围为(-8,1]

1

(2)当a=1时，/(%)=Inx+*

由(1)可知f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

所以0<%1<1(无2，令g(x)=/W-/(2-x)(0<x<1),

则g'(x)=f(2-%))=妥焉3=一塞片<。，

所以g(%)在(0,1)上单调递减,g(x)>g(l)=0,即/(x)>f(2-久),

令x=%i，则/'Qi)>/(2-Xi),故/'(久2)=/(*i)>>(2-久1),

又/■(>)在(1,+8)上单调递增，所以久2>2-q，

故+x2>2

16懈：⑴

若骰子的质地是均匀的，则q=|=1,

依题意可知丫〜8(6,乡，

所以E(y)=6x»3,D(y)=6x，x(l-5=|.

(2)

若骰子有瑕疵，即q4

而〃是掷骰子几次中与桌面接触的数字为奇数出现偶数次的概率,

根据全概率公式可知Qn=Qn-i(l-q)+(l-Qn-i)q(n>2),

整理得Qn=q+(l-2q)<2n_1(n>2).

17.解：(1)证明：设平面BHQ交上底面于BW,勿在GP上，

因为上下底面平行，故HQ〃BW,

第5页，共7页

又因为PF〃平面BHQ,PFu平面PGF,平面B”Qn平面PGF=BW,

所以PF〃BW,所以HQ〃PF,

由题意可知PF1PG,PF1GH,又因为GHnPG=G,GH、PGu平面PGH,

所以PF1平面PG",所以HQ_L平面PG”,

又因为HQu平面BHQ,

所以平面BHQ1平面PG".

(2)由(1)知HQ1平面PGH,连接GQ,

所以NHGQ是直线GQ与平面PGH所成角，

所以由题意tanzHGQ=瞿=也今HQ=也HG-y/2,

nu

又由题意HQ1QE,HE=2,

所以QE=NHE2—HQ2=加―(W=在，

所以△”EQ为等腰直角三角形，

所以CQ1HE,

即Q在圆弧HE的中点上，

所以由HQ〃PF知点P在圆弧GF中点上，故PG=PF=*,

所以勿口=^HG2+GW^=J12+停J=*，

因为PF〃平面BHQ,所以点P到平面B”Q的距离即为尸到平面BHQ的距离，

又因为圆柱结构性质可知FC〃8H,FCC平面8HQ,BHu平面BHQ,

所以FC〃平面BHQ,所以尸到平面8HQ的距离即为C到平面BHQ的距离，

设该距离为d,

因为相_BHQ=,S,BHQdXHQxd=N乎X/xd=£d,

111111

VB-HCQ=4HCQxCB=—x—xHCxCQxCB=^x—xlxlxl=—,

又因为UC_BHQ=O-HCQ，所以£d=*nd=*，即点p到平面BHQ距离为*.

(3)过Q作QK垂直于底面，则由上知HQ1QE,

所以可建立如图所示的分别以QE、QH、QK为x、y、z轴的空间直角坐标系Qryz,

第6页，共7页

贝UQ(0,0,0),设//(0力,0),以/0,0),昭4,1),

所以丽=(0,瓦0),亚=(a,0,0),砺=

,-*--»

设平面BHQ的法向量为何=Qi,yi,z。，贝U";怨

(TH.(/£)

r而rbo

m-o-y1-

所以

<l艮nab

丽-

r十o

—m-o-X1-1+=

k