北师大版数学八年级上册 探索勾股定理 同步练习（提升卷）

北师大版八年级数学上册1.1探索勾股定理同步练习（提升卷）

班级：姓名：

夯实基础联3黑/不肌勤学早.白育方悔父韦迟.

一、选择题

1.如图，在aABC中，AB=AC=10,BC=12,AD平分NBAC,则AD等于（）

B.7C.8D.9

2.如图，在直线I上有正方形a,b,c,若a,c的面积分别为4和16,则b的面积为（）

A.24B.20C.12D.22

3.在等腰△ZBC中，AB=AC=5,BC=2V13,则底边上的高为（）

A.12B.2V3C.3V2D.18

4.如图，在AZBC中，^ABC=900,BO1ZC于点D,E是4c上一点，JLDE=DA,若ZB=15,

BC=20,则EC的长为（）

A.6B.7C.8D.9

5.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长是9czn,

则图中所有正方形的面积的和是（）

A.64cm2B.81cm2C.162cm2D.243cm2

6.如图，四个全等的直角三角形和中间的小正方形可以拼成一个大正方形，若直角三角形的较长直角边

长为a,较短直角边长为b,大正方形面积为小正方形面积为S2,则（a+b）2可表示为（）

C.S1+S2

B.2sLs2D.SI+2S2

7.如图，在四边形ABCD中，NDAB=NBCD=90°,分别以四边形ABCD的四条边为边向外作四个正方

形，面积分别为S2,S3,S4.若8=48,S2+S3=135,则S4=（）

8.如果将长为6cm,宽为5cm的长方形纸片折叠一次，那么这条折痕的长不可能是（）

A.7cmB.5cmC.5.5cmD.8cm

9.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点4,B都是格点，则线段的长为

（）

C.6D.7

10.如图，已知钓鱼竿AC的长为10m,露在水面上的鱼线BC长为6m,某钓鱼者想看看鱼钩上

的情况，把鱼竿AC转动到力c'的位置，此时露在水面上的鱼线B'C为8m,则BB'的长为

()

A.1mB.2mC.3mD.4m

士刿母从磨隔出，梅花&自若人象.

二、填空题

11.如图是一个滑梯示意图，左边是楼梯，右边是滑道，已知滑道AC与力E的长度相等，滑梯的高度

BC=6m,BE=2m.则滑道AC的长度为m.

12.如图，有一张直角三角形的纸片，^ACB=90°,AB=5,ZC=3.现将三角形折叠，使得边AC与

AB重合，折痕为AE.则CE长为.

13.如图所示的正方形网格中，每一个小正方形的面积均为1,正方形4BCM,CDEN,MNPQ的顶点都

在格点上，则正方形MNPQ的面积为.

14.如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=4cm,BC=8cm,将AABC折叠，使点B与点A重合,

折痕为DE,则CD的长是.

15.清代数学家梅文鼎在《勾股举隅》一书中，用四个全等的直角三角形拼出正方形ABCD的方法证明了

勾股定理（如图）.连结CE,若CE=5,BE=4,则正方形ABCD的边长为.

优尖拨书山与由勤为役.竽*£征音作#.

三、解答题

16.如图，△243c是张大爷的'一^小菜地，已知CD是aABC中AB边上的肉，AC=5,CD=4,BC=

3AD,求BD的长.（结果保留根号）

CB

17.如图，已知在RtaABC中，ZACB=90°,AC=9,BC=12,AB的垂直平分线交AB于点D,交BC于

点E,连结AE,求BE的长.

18.如图，在四边形4BCD中，NB=NT=90°,AB=AD=24cm,BC=16cm,CD=8cm,E为

BC上一点.将四边形沿ZE折叠，使点B,。重合，求折痕ZE的长.

19.如图，在aABC中，AD平分NBAC.AB=AC=3,AD=2,求BC的长.

20.如图，在RtZiABC中，ZB=90°,AB=4,BC=3,阴影部分是一个长方形，AE=1,求阴影部分的面

积.

答案与解析7

1.【答案】c

【解析】【解答】解：•；AB=AC,AD平分NBAC,

.\AD_LBC,BD=DC=|BC=6,

在RtZSABD中，AD=7/1B2-BD2=7102-62=8，

故答案为：C.

【分析】根据等腰三角形的性质可得ADJ_BC,BD=DC=1BC=6,然后利用勾股定理进行计算.

2.【答案】B

【解析】【解答】解：：a、b、c都是正方形，

：.AC=CD,ZACD=90°,

^ACB+NDCE=NACB+NBAC=90°,

即NBAC=NDCE,NABC=NCED=90°,ACCD,

△ACB=△CDE,

：.AB=CE,BC=DE,

在RtAABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=AB2+DE2,

即S/,=S。+S’=4+16=20,故B正确.

故答案为：B.

【分析】根据正方形的性质得AC=CD,ZACD=90°,根据同角的余角相等得NBAC=NDCE,从而用AAS判

断出4ACB之ACDE,根据全等三角形对应边相等得AB=CE,BC=DE,在RtZkABC中，由勾股定理得

AC-AB2+BC-AB2+DE2最后结合正方形的面积计算方法即可得出答案.

3.【答案】B

【解析】【解答】解：如图，过点A作AD1BC于点D,

•・•△4BC是等腰三角形，AB=AC,

•••BD=CD=3BC=V13,

在RtAABD中，由勾股定理得，

AD=7AB2-BD2=卜-(V13)2=2百，

即底边上的高为2百，

故答案为：B.

【分析】过点A作人。1BC于点。，先求出BD=CD==6与，再利用勾股定理求出AD的长即可。

4.【答案】B

【解析】【解答】解：在RtAABC中，ZABC=90°,

AB2+BC2=AC2.

•••BC=20,AB=15,

・•・AC—25,

BD1AC,

・・・NADB=900.

S—BC=S^ABC，

11

-BC=^AC-BD,

・・・BD=12,

在Rt△ABD中，4。=7AB2一BD2=V152-122=9,

•・•DE=DA,

・•・AE=2AD=18.

・・・EC=AC-AE=25-18=7.

故答案为：B.

【分析】根据S&4BC=S“BC,求出BD的长，再利用勾股定理求出AD的长，可得AE=2AD=18,再利

用线段的和差求出EC的长即可。

5.【答案】D

【解析】【解答】解：如图所示，根据勾股定理可知,

S下金耳+S下方=S下方戒

正万班L正万形a3&正万形\1=9—81

S正方形A+,正方形E-S正方形2,

S正方形C+$正方形D=S正方形3,

则S正方多c+S正方形口+S正方形人+S正方形E=S正方形i,

则S/方多•],+立方杉"2+,正方形3+S正方形c+S正方形口+$正方膨A+,正方形E-3s正方形'=：92=3x81=

243(cm2).故答案为：D.

【分析】利用勾股定理可得S立方步1+正方形2+S正方形3+S正方形c+S正方形D+S正方形A正方形E

22

3S下方点1=3X9=3X81=243(cm)o

6.【答案】B

【解析】【解答】解：如图所示：设直角三角形的斜边为c,

则Si=c2=a2+b2,

S2=(a-b)2=a2+b2-2ab,

2ab=Si-S2,

222

(a+b)=a+2ab+b=S1+S1-S2=2SI-S2,

故答案为：B.

222

【分析】设直角三角形的斜边为c,则&=c2=a?+b2,S2=(a-b)=a+b-2ab,再由完全平方公式即可

求解.

7.【答案】B

【解析】【解答】解：连接BD,

VZDAB=ZBCD=90°,

.\BD2=DC2+BC2=AD2+AB2,

S3+S2=S4+SN35；

AS4=135-48=87.

故答案为：B

【分析】利用BD,利用勾股定理可证得BD2=DC2+BCJAD4AB2,利用正方形的面积公式，可得

S3+S2=S4+SI=135,代入计算求出S”的值.

8.【答案】D

【解析】【解答】解：根据勾股定理对角线长为：V52+62=V61（cm）>

V5<5.5<7<V61<8,

二折痕的长不可能为8cm.

故答案为：D.

【分析】先利用勾股定理求出对角线的长，再判断即可。

9.【答案】B

【解析】【解答】解：AB=V32+42=5,

故答案为：B.

【分析】由题意把AB放在直角三角形中，根据网格图的特征用勾股定理可求解.

10.【答案】B

【解析】【解答】M：VAC=10m,BC=6m,ZABC=90°,

-'-AB=VTIC2-BC2=V102-62=8m,

VAC7=10m,B'C'=8m,NAB'C'=90°,

•••AB，=JAC，2_B/C，2=V102_82=6m，

ABB7=AB-ABZ=2m；

故答案为：B.

【分析】利用勾股定理求出AB的长，再利用勾股定理求出AB'的长；然后根据BB'二AB-AB',代入计

算可求解.

11.【答案】10

【解析】【解答】解：设ZC=AE=xm,

,:BE=2m,

.'.AB=AE-BE=(%—2)m,

,:BC=6m,

.•.在RtMBC中，AC2=AB2+BC2,

即/=(%-2)2+62,解得久-10m,

故答案为：10.

【分析】设AC=AE=xm,则AB=(x-2)m,接下来在RtZ\ABC中，利用勾股定理计算即可.

12.【答案】|

【解析】【解答】解：在RMABC中，4cB=90°,AB=5,AC=3

:・BC—yjAB2—AC2—V52—32=4,

设。£*=x,

依题意，DE=CE,AD=AC=3,^ADE=^ACB=90°,DB=AB-AD=AB-AC=5—3=2,

JNEDB=90",EB=BC-CE=4-x

在R“DEB中，DE2+DB2=EB2

即%2+22=(4-%)2,

解得：%=p即CE='|,

故答案为：|.

【分析】首先根据勾股定理算出BC的长，由折叠得DE=CE,AD=AC=3,ZADE=ZACB=90°,设CE=x,则

EB=4-x,在Rt^DEB中，利用勾股定理建立方程，求解即可.

13.【答案】45

【解析】【解答】解：：CM=3,CN=6,ZMCN=90°,

.\MN2=CM2+CN2=32+6-45,

，正方形MNPQ的面积=MV=45,

故答案为：45.

【分析】根据勾股定理可得MNJCM2+CN2=32+62=45,再利用正方形的面积公式求解即可。

14.【答案】3cm

【解析】【解答】解：1•将4ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE,

/.BD=AD,

设CD=x,则BD=AD=8-x,

在RtAADC中

DC2+AC2=AD2,

X2+42=(8-x)2

解之:x=3,

CD=3cm.

故答案为：3cm

【分析】利用折叠的性质可证得BD=AD,设CD=x,可表示出AD的长，再利用勾股定理可得到关于x的

方程，解方程求出x的值，可得到CD的长.

15.【答案】V17

【解析】【解答】解：如图所示：

由四个全等的直角三角形可得，BE=CF=4,AE=BF,

由勾股定理得，EF=7C£2-CF2=V52-42=3»

.\BF=BE-EF=4-3=1,

由勾股定理得，+BF2=712+42=V17,

故答案为：V17.

【分析】由四个全等的直角三角形可得，BE=CF=4,AE=BF,利用勾股定理求出EF=3,从而求出BF=BE-

EF=1,再利用勾股定理求出AB即可.

16.【答案】解：是A/BC中AB边上的高，

Z.AACD和4BCD都是直角三角形.

在RtaACD中力C=5,CD=4,

•'-AD=V52-42=3,

■：BC=3AD,

：.BC=9,

在RtABCD中，

BD=V92-42=V65-

【解析】【分析】先求出AACD和ABCD都是直角三角形，再利用勾股定理求出AD=3,最后利用勾股定理

计算求解即可。

17.【答案】解：在RtaABC中，由勾股定理得，

AB=VXC2+BC2=V92+122=15,

VDE垂直平分线AB,

；.AE=BE,

设BE=AE=x,则CE=12-x,

在Rt^ACE中，由勾股定理得，

AE2=AC2+CE2