吉林省长春市某中学2023-2024学年高一年级下册7月期末考试数学试题（含答案解析）

吉林省长春市长春吉大附中实验学校2023-2024学年高一下学

期7月期末考试数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.样本数据5,7,4,6,12,10,11,9的第70百分位数为（）

A.7B.9C.9.5D.10

2.已知向量a7,其中|°|=夜，g|=2,且（a-》）_La,则向量。与b的夹角是（）

A.-B.-C.-D.-

6423

3.从一批产品（既有正品也有次品）中随机抽取三件产品，设事件A="三件产品全不是次

品”，事件8="三件产品全是次品"，事件C="三件产品有次品，但不全是次品”，则下列结

论中不正确的是（）

A.A与C互斥B.8与C互斥

C.A、B、C两两互斥D.A与B对立

4.己知b是两条不同的直线，d6是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）

A.若。〃贝!|6_La

B.若a_Lc,a_L6,则》Pa

C.若aua,bua,a〃/3,b〃。，则a〃,

D.若ac6=A,a〃a,6〃a,a〃/?,6〃/7,则a〃/?

5.已知正四棱台ABC。-ABC，的上、下底面边长分别为1和2,且班1。2,则该棱台

的体积为（）

A.2^1B.逑C.-D.-

2662

6.在VABC中，角A,民C的对边分别为a,6,c,已知三个向量根=1,cos。

"=1b,cosg：p=',cos?共线，则VABC的形状为（）

A.等边三角形B.钝角三角形

77

C.有一个角是二的直角三角形D.等腰直角三角形

0

7.一个电路如图所示，A,B,C,D,E,F为6个开关，其闭合的概率为：，且是相互独

2

8.庞殿（图1）是中国古代传统建筑中的一种屋顶形式，多用于宫殿、坛庙、重要门楼等

高级建筑上，尻殿的基本结构包括四个坡面，坡面相交处形成5根屋脊，故又称“四阿殿”

或“五脊殿”.图2是根据尻殿顶构造的多面体模型，底面ABCZ）是矩形，且四个侧面与底面

的夹角均相等，则（）,

D.AB=2BC-EF

二、多选题

9.设Z”Z2，Z3为复数，下列命题正确的是（）

A.归七|=|讣目B.|z『=z；

C.若z+ZzcR,则z「Z2为纯虚数D.若云=Z3，且4片0,则幺=幺

Z]Z]

10.某企业对目前销售的A,B,C,。四种产品进行改造升级，经过改造升级后，企业营

收实现翻番，现统计了该企业升级前后四种产品的营收占比，得到如下饼图：

试卷第2页，共6页

产品升级前营收占比产品升级后营收占比

下列说法正确的是（

A.产品升级后，产品A的营收是升级前的4倍

B.产品升级后，产品B的营收是升级前的2倍

C.产品升级后，产品C的营收减少

D.产品升级后，产品&。营收的总和占总营收的比例不变

11.如图，在社会实践活动中，李明同学设计了一款很"萌''的圆台形台灯，台灯内装有两个

相切且球心均在圆台的轴上的球形灯泡，上、下两灯泡的球面分别与圆台的上、下底面相切,

且都与圆台的侧面相切，若上、下两球形灯泡的半径分别为1和9,则（）

A.圆台形台灯的母线所在直线与下底面所成角的大小为g

B.圆台形台灯的母线长为詈

C.圆台形的上、下底面半径之积为9

D.圆台形台灯的侧面积大于2800

三、填空题

12.若一组数据4工1,4々，，4%2的中位数为16,方差为64,则另一组数据％1T，尤2-1，，&2T

的中位数为,方差为.

13.在矩形ABC。中，AB=1,AD=6,点/在对角线AC上，点N在边C£＞上，且

AM=^AC,DN=^DC,则MMAC=.

14.非直角VABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sir?A+sii?3=3$/c,则

tanAtanC+tanBtanC

tanAtanB

四、解答题

15.如图，边长为4的正方形ABCD中，点E,F分别为AB,8C的中点.将.AED,BEF„DCF

分别沿DE,EF,DF折起，使A,8,C三点重合于点P.

(2)求三棱锥尸-EED的体积;

⑶求二面角尸-的余弦值.

16.如图，在平面四边形A8CQ中，AB=AD=4,BC=6.

BC

(1)若4=与，C=g，求sin/BDC的值；

⑵若CD=2,cosA=3cosC,求四边形ABCD的面积.

17.第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，而亚运会志愿者的服务

工作是举办一届成功的亚运会的重要保障.为配合亚运会志愿者选拔，某高校举行了志愿者

选拔面试，面试成绩满分100分，现随机抽取了80名候选者的面试成绩，绘制成如下频率

分布直方图.

试卷第4页，共6页

频率

组距

(1)求。的值，并估计这80名候选者面试成绩平均值总众数，中位数；(同一组中的数据用

该组区间的中点值作代表，中位数精确到0.1)

(2)乒乓球项目场地志愿服务需要3名志愿者，有3名男生和2名女生通过该项志愿服务选

拔，需要通过抽签的方式决定最终的人选，现将3张写有“中签”和2张写有“未中签”字样的

字条随机分配给每一位候选人，求中签者中男生比女生多的概率.

18.如图，四棱锥C-ADPR与三棱锥。-ABC构成了一个组合体，其中。在线段RC上，且

P、。、8三点共线.四边形A3C。是边长为2的正方形，PR”AD旦PR=2,PB=2娓.0

为棱CO中点，且。平面尸3c.

⑴证明：平面加尸R；

(2)证明：Q。，平面ABCD；

(3)求平面ADPR与平面ADQ所成角的大小.

19.为了建设书香校园，营造良好的读书氛围，学校开展“送书券”活动.该活动由三个游戏

组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响.连胜两个游戏可以获得一张书券，连胜三个游戏

可以获得两张书券.游戏规则如下表：

游戏一游戏二游戏三

箱子中球的大小质地完全相同的红球3个，白球2个

颜色和数量(红球编号为“1,2,3”，白球编号为“4,5”)

取球规则取出一个球有放回地依次取出两个球不放回地依次取出两个球

获胜规则取到白球获胜取到两个白球获胜编号之和为机获胜

(1)分别求出游戏一，游戏二的获胜概率；

(2)一名同学先玩了游戏一，试问加为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的

概率更大.

试卷第6页，共6页

参考答案:

题号12345678910

答案DBDDBABAADABD

题号11

答案BCD

1.D

【分析】由百分位数的求解方法计算即可.

【详解】该组数据从小到大排列为：4,5,6,7,9,10,11,12,

因为8x70%=5.6,所以该组数据的第70百分位数为从小到大排列的第6个数，为10.

胡选：D

2.B

【分析】由垂直关系结合数量积公式计算即可.

【详解】因为所以=0,即2-2j^cos(a,6)=0,

cos(a,6)=*,因为向量。与。的夹角范围为[0,%],所以向量。与。的夹角是

故选：B

3.D

【分析】随机抽取三件产品，得出总事件，再分别得出事件4事件B,事件C包含的事件，

再由互斥事件及对立事件的定义即可判断出结果.

【详解】随机抽取三件产品，总事件中包含“0件次品，3件正品”，“1件次品，2件正品”,

“2件次品，1件正品”，“3件次品，0件正品”

事件&="三件产品全不是次品，，即“0件次品，3件正品”，

事件8="三件产品全是次品”即“3件次品，0件正品”，

事件C="三件产品有次品，但不全是次品”即“1件次品，2件正品”，“2件次品，1件正品”

由互斥事件的定义知：A、B、C两两互斥，故ABC正确；

由互斥事件的定义知：A与B互斥，但是A与8的和事件不是总事件，故A与8对立不是

对立事件，故D错误.

故选：D.

4.D

【分析】根据空间中线面、面面平行、垂直的判定定理和性质定理分析判断，即可得出结果.

【详解】由是两条不同的直线，d夕是两个不同的平面，

答案第1页，共12页

若。〃a,q_L6,则6与a可能相交、平行或6utz,A错；

若。_La,a_L6,则。尸。或6ue,B错；

若aua,bua、a〃B，b〃B,则a〃月或d#相交，C错；

若ab=A,贝!]a,6确定一个平面，设为7,

又a"a,bHa、a"B、b"B'>所以/〃//〃£,

则由面面平行的判定定理得a〃/，D正确.

故选：D

5.B

【分析】根据正棱台的几何特点，结合已知条件，求得棱台的高，再求棱台体积即可.

【详解】对正四棱台ABCO-ABIGA，连接。综。B,取，综DB中点分别为。H,连接

OH,DXH,如下所示:

因为ABCO-ABCR为正四棱台，则四边形ABCRABCiA均为正方形，且垂直于上

下底面，DDi=BB],

易知DE”BH,D}Bx=BH=s[2,故四边形。由2H为平行四边形，贝且

BB}=D、H,

因为r>，_LaBi，则。2,25,又DDI=BBI=RH,且DH=；DB=母,

由Q£>2+SH2=DH2,即2£）户2=2,解得2〃=1；

由0"_1_面43。12，£>[。（=面4耳6£）],则。"_1_2。；

则0H=⑺同一D。=卜=*

又正方形AAG2的面积为1，正方形ABCD的面积为4,

答案第2页，共12页

故正四棱台ABC。—A耳G2的体积丫=；（1+4+后卜*=平

故选：B.

6.A

【分析】由向量共线的坐标运算可得acosg=6cos3，利用正弦定理化边为角，再展开二倍

AR

角公式整理可得sin]=sin,,结合角的范围求得A=B,同理可得5=C,则答案可求.

ARB7A

【详解】向量加=（〃,COS5）,H=S，COS,）共线，:/.acos一=bcos一,

22

BA

由正弦定理得：sinAcos—=sinBcos—,

.・.2sin&"c"=2sinOc-c",则sin^二sin?,

222222

A71B71AB

0<—<—,0<—<—,即A=5.

222222

同理可得8=。.

ABC形状为等边三角形.

故选：A.

7.B

【详解】设A与8中至少有一个不闭合的事件为7,E与尸至少有一个不闭合的事件为R,则

11a

P（T）=P（7?）=l--x-=^,所以灯亮的概率为尸=1-尸（T）•尸（尺卜

【方法点睛】本题主要考查独立事件、对立事件的概率公式，属于难题.解答这类综合性的

概率问题一定要把事件的独立性、互斥性与对立性结合起来，要会对一个复杂的随机事件进

行分析，也就是说能把一个复杂的事件分成若干个互斥事件的和，再把其中的每个事件拆成

若干个相互独立的事件的积，这种把复杂事件转化为简单事件，综合事件转化为单一事件的

思想方法在概率计算中特别重要.

8.A

【分析】设点E在底面ABC。上的射影为G,作GNG/VLAB,垂足分别为Af,N,

设四个侧面与底面的夹角为。，即可得到N£MG=N£7VG=。，根据三角形全等得到方程,

整理即可.

【详解】如图所示，设点E在底面ABC。上的射影为G,作GMLBC,GN±AB,垂足分

别为M,N.

答案第3页，共12页

则NEMG为侧面EBC与底面ABC£＞的夹角,/EVG为侧面EBAF与底面的夹角,

设四个侧面与底面的夹角为6,则在RtEMG和RtAEVG中，ZEMG=ZENG=3,

4D_FF

又GE为公共边，所以GN=GN,即一=—=—,整理得AB=gC+£F.

22

故选：A

9.AD

【分析】根据复数模的性质判断A,取特殊值判断BC,根据复数模的性质、共轨复数模的

性质判断D.

【详解】由复数模的性质知日/2|=卜卜"|,故A正确；

Wz=i,贝中］「=1片z：=-l,故B错误；

取4=1&=0,则Zi+Zz^R,z「Z2=l为实数，故C错误；

-4=-—■=—,故D正确.

因为|z2Hz21Tz31，|z"0,所以

Z」Z|Z|

故选：AD

10.ABD

【分析】根据扇形统计图由产品升级前的营收为。，升级后的营收为2a,结合图中数据即

可结合选项逐一求解.

【详解】设产品升级前的营收为。，升级后的营收为2d

对于产品A,产品升级前的营收为0.1a,升级后的营收为2ax0.2=0.4°,故升级后的产品A

的营收是升级前的4倍，A正确.

对于产品8,产品升级前的营收为0.2a,升级后的营收为2ax0.2=0.4d,故升级后的产品

8的营收是升级前的2倍，B正确，

对于产品C,产品升级前的营收为0.5”，升级后的营收为2ax0.4=0.8a,故升级后的产品

C的营收增加，C错误.

产品升级后，产品8,0营收的总和占总营收的比例不变，D正确.

答案第4页，共12页

故选：ABD

11.BCD

【分析】对A,作辅助线，求出。2»,002,结合边角关系得出圆台形台灯的母线所在直

线与下底面所成角；对B,由$皿454/=加（万-402万）=5：111/002”结合边角关系得出母

线长；对C,求出tan/aA尸，进而由边角关系得出；对D,由侧面积计算得出圆

台形台灯的侧面积.

【详解】对于A：如下图所示，点尸为球面与圆台的切点,

过点0］作垂足为H,设小球半径为r，大球半径为R,

易知圆台形台灯的母线所在直线与下底面所成角为

NH=O.M=r=I,.-.O2H=R-NH=S,

)

cos/NAF=cos(%-ZN02F=cosZO,O2H=土^=—=-

105

IT

故A错误;

对于B：因为sinZ.NAF=sin(乃-NNQ产)=sinZO{O2H=

20100.「十点

所以D4=,故B正确;

sinZNAF

sin-ZNAF

1-cosZNAF±5_1

对于C：tanZO2AF=tan；NNAF=2

cos-ZNAF1+cosZNAF

25

A.F---------------=—=27801

tanZO2AF£,DE=AF-DA•cosZNAF=27——=—,

333

则圆台形的上、下底面半径之积为27X：=9,故C正确；

对于D：S=^-(AF+r>£)AZ)=^x^27+^x^=^^^>2800,故D正确；

故选：BCD

答案第5页，共12页

【点睛】关键点睛：解决本题关键在于将三维图形转化为二维平面图形，从而利用平面几何

知识处理问题.

12.34

【分析】根据中位数和方差的关系求值.

【详解】因为数据444々，，4%的中位数为16,方差为64,

所以数据石，尤2，，%的中位数为4,方差为?=4,

所以数据占T,/T，，/T的中位数为4一1=3,方差为4.

故答案为：3；4.

13.-

3

(\UUULUU1U

【分析】以为基底向量表示MN,AC,再根据垂直关系结合数量积的运算律运算

求解.

【详解】以卜氏4。｝为基底向量，

101uun

uumumuumuuiruurion3uum73/uumx91uun3uum

贝！JAC=A3+AO,M7V=MC+CN=—AC——=-AB+AD——AB=-AB+-AD,

434、/3124

Lt、tLL.ElULMUUW

因为A5=l,AO=A/3，且ABJ•加，贝UABAQ=0，

uuiruum(1uim3uumAuuauum1uun3uum7

所以MN.AC=位5+—0.(zA5+AO)x=;A522=；.

【分析】由正弦定理角化边得/+〃=3/,再由三角恒等变换结合边角互化得出答案.

答案第6页，共12页

【详解】因为sin2A+sin2g=3sin2C,所以片+从=3/,

tanAtanC+tanBtanC,(cosBcosA

---------------------------==tanC-------+------

tanAtanB(sin5sinA

_sinCTcosBsinA+sinBcosA\

cosC<sin5sinAJ

sinCsin(A+8)_sinCsinC

cosCsinAsinBcosCsinAsinB

______________=__________==i

市寸曲MY2c2

故答案为：1

15.（1）证明见解析

⑵日

3

(3)-

3

【分析】（1）先证明平面PEF,根据线面垂直的性质定理即可证明结论;

（2）根据棱锥的体积公式即可求得答案；

（3）作出二面角尸-£F-O的平面角，解直角三角形即可求得答案.

【详解】（1）证明：因为在正方形ABCZ）中AD，AE,CD，CF,

折叠后即有尸。，PE,PDLPF,

又PEPF=P,PE,PFu平面PEF,

所以PD_L平面PEF,而£Fu平面PEF,

故PDJLEF；

（2）由题意知==故SPEF=；XPEXPF=2,

I18

^VP-EFD^^XSPEFXPD=-X2X4=-^

（3）取线段所的中点G,连接PG,OG,

P

因为PE=PF,DE=DF,

答案第7页，共12页

所以有PGLERDGLEF,26匚平面座,。6匚平面。跖,

所以NPGO即为二面角P-£F-D的平面角，

又由(1)得PD_L平面PEF,PGu平面PEF,

故PD_LPG,而EF=20,PG=：EF=&DG=y/PD2+PG2=小#+e)。=30,

故c°"PGD喂一展与1，

即二面角P-EF-D的余弦值为g.

3

16.(1)-

16V2+8V5

(/J

【分析】(1)中求出3。，在△8CD中，由正弦定理求出sinNa)C的值;

(2)△和△5CD中，由余弦定理求出cosA和cosC,得sinA和sin。，进而可求四边

形ABCD的面积.

【详解】(1)在中，AB=AD=4,A=-^~，则=

36

BD=2ADcosZADB=2x4xcos方=4A/3,

在△38中'由正弦定理得，而BD

sinC

6sin—

BCsinC3

sinZB£)C=____3

BD4A/34

(2)在△岫)和△BCD中，由余弦定理得

BD1=AB2+AD1-2ABAT>COSA=42+42-2x4x4xcosA=32-32cosA,

BD2=CB2+CD2-2CBCZ)COSC=62+22-2X6X2XCOSC=40-24COSC,

得4cosA_3cosc=-1,又cosA=3cosC,得cosA=—],cosC=—§,

[jlil.人2A/2.4-

贝1sinA=------，sinC=-------，

39

=

四边形ABCD的面积S=SABD+SBCD万A3,AD,sinA+—CB,CD,sinC

1//2jlA,475160+8君

=—x4x4x------F—x6x2x------=----------------.

23293

17.⑴a=0.005,1=69.5,众数为70,中位数为69.4.

答案第8页，共12页

【分析】(1)由频率和为1列方程可求出。的值，根据平均数的定义可求出最，由众数的定

义可求得众数，先判断中位数的位置，再列方程求解即可；

(2)利用列举法结合古典概型的概率计算公式求解即可.

【详解】(1)由频率分布直方图可矢口10(2。+0.025+。.045+0.020)=1,解得。=0.005,

x=50xl0x0.005+60xl0x0.025+70xl0x0.045+80xl0x0.020+90xl0x0.005=69.5>

众数为70,

因为前2组的频率和为10x0.005+10x0.025=0.3<0.5,前3组的频率和为

10x0.005+10x0.025+10x0.045=0.75>0.5,

所以中位数在第3组，设中位数为加，则

0.3+0.045(机一65)=0.5,解得m»69.4,

所以中位数为69.4.

(2)记3名男生分别为AB,C,记2名女生分别为。力，则所有抽签的情况有：

未中签中签C"；未中签AC,中签&6；未中签Aa,中签BC6；

未中签抽，中签3Ca；未中签BC,中签A"；未中签&,中签AC6；

未中签86,中签ACa；未中签Ca,中签A5。；未中签C6,中签A&；

未中签必，中签ABC,共有10种情况，

其中中签者中男生比女生多的有：未中签Aa,中签BC6；未中签A6,中签BCa；

未中签中签AC6；未中签出,中签ACh；未中签Ca,中签AB6；

未中签C6,中签ABa；未中签必，中签ABC,共7种，

所以中签者中男生比女生多的概率为木.

18.(1)证明见解析

(2)证明见解析

(3)45°

【分析】(1)由平行传递性证明四边形尸助C为平行四边形，得出点。为RC的中点，再由

中位线定理证明。。〃9，进而由线面平行判定证明。。〃平面的R；

(2)由平面结合BCLDC证明2C，平面RCZ),进而得出BC，。。，再证明

答案第9页，共12页

△DQC为等腰三角形，从而得出。DC,最后由判定证明即可；

(3)由DRJ_AD,结合定义确定平面ADPR与平面A。。所成角为NRDQ,再由

边角关系求解即可.

【详解】(1)连接也，PR//AD,PR=AD=2,

AD//BC,AD=BC=2,

:.PR//BC,PR=BC,

即四边形列法C为平行四边形，则点。为RC的中点,

又。为DC中点，：.QO//RD,

00</平面4>尸尺，7?Du平面

・•・OQ〃平面ACPR.

(2)OQ_L平面尸BC,。。,8(7<=平面尸3<：,

:.DQ±BC,DQLQC

又BCLDC,。。,。。<=平面氏8,DCDQ=D,

」.BC，平面RCD,0Ou平面RCD,

BC1QO.

又RCu平面RC。，:.BC±RC.

在Rt^QBC中，QC=j6-4=0,

...DQ=74-2=72,ADQ=QC,:.QOLDC

DCcBC=C,DC,8Cu平面ABCD,

QO_L平面ABCZ).

(3)由。Q,3c,8C//AD,可得£>Q，AD,

又BC_L平面RC。，DHu平面RCD,

:.DR±BC,DR±AD,

答案第10页，共12页

则平面ADPR与平面ADQ所成角为/RD。,

又点。为RC中点，DQ1RC,

.-.RD=DC=2,

在Rt/XQRZ）中，RQ=QC=^=DQ,

则tanZRDQ=嗡=1,ZRDQ=45°,

则平面ADPR与平面ADQ所成角为45°.

19.（1