2024年中考数学试题分类汇编：等腰三角形与直角三角形（28题）解析版

专题19等腰三角形与直角三角形（28题）

一、单选题

1.（2024•广东广州•中考真题）如图，在ABC中，ZA=9O°,AB=AC=6,。为边3C的中点，点E,F

分别在边A3,AC上，AE=CF,则四边形AED尸的面积为（）

A.18B.9点C.9D.642

【答案】C

【分析】本题考查等腰直角三角形的性质以及三角形全等的性质与判定，掌握相关的线段与角度的转化是

解题关键.连接AD,根据等腰直角三角形的性质以及AE=CF得出VAC史ACDb,将四边形AEZ邛的

面积转化为三角形ADC的面积再进行求解.

【详解】解：连接AO,如图:

VABAC=90°,AB=AC=6,点。是BC中点，AE=CF

：.NBAD=N3=NC=45°,AD=BD=DC

：.7ADEKCDF,

,,S四边形/JEDF=+S^ADF=S4CFD+^^ADF=*^AADC='^AABC

又

/、SAoRC=6x6x—2=18

,,S西边形AEDF=2SABC=9

故选：c

2.(2024・青海・中考真题)如图，在Rt^ABC中，。是AC的中点，/BDC=60°,AC=6,则8C的长是

()

第1页共40页

4

A.3B.6C.73D.373

【答案】A

【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边三角形的判定和性质.根据直

角三角形斜边上的中线等于斜边的一半结合等边三角形的判定得到等边三角形，据此求解即可.

【详解】解：,••在Rt^ABC中，NAfiC=90。，。是AC的中点，

BD=-AC=CD,

2

•••ZBZ）C=60°,

.BDC等边三角形，

BC=CD=-AC=-x6=3.

22

故选：A.

3.（2024.四川广元・中考真题）如图，将ABC绕点A顺时针旋转90。得到VADE,点8,C的对应点分别

为点。，E,连接CE,点。恰好落在线段CE上，若CD=3,BC=1,则AD的长为（）

A.75B.V10C.2D.2A/2

【答案】A

【分析】此题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，由旋转得AC=M,

ZC4E=90°,OE=8C=1,推出AACE是等腰直角三角形，CE=4,过点A作于点”，得到HD=1,

利用勾股定理求出AO的长.

【详解】解：由旋转得△MC/NC4E=90。，

AAC=AE,ZCAE=9Q°,DE=BC=1,

"CE是等腰直角三角形，CE=CD+OE=3+1=4,

过点A作AH_LCE于点乂

第2页共40页

E

a

BA

：.AH=-CE=CH=HE=2,

2

HD=HE-DE=2-1=1,

・•・AD=1AH2+HD2=,22+'=5

故选：A.

4.（2024•内蒙古包头•中考真题）如图，在扇形A03中，ZAOB=80°,半径Q4=3,C是相上一点，连

接OC,。是OC上一点，且OD=OC,连接30.若3DL0C,则AC的长为（）

,兀c兀C兀…

A.-B.-C.-D.兀

632

【答案】B

【分析】本题考查了弧长公式，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质；连接BC,根据DC,

BD1OC,易证△03C是等腰三角形，再根据OB=OC,推出△C®C是等边三角形，得到N3OC=60。，

即可求出ZAOC=20。，再根据弧长公式计算即可.

OB=BC,

「•△O3C是等腰三角形,

OB=OC,

OB=OC=BC,

△O5C是等边三角形,

ZBOC=6Q°,

第3页共40页

ZAOB=8Q0,

，ZAOC=ZAOB-ZBOC=20°,

OA=3,

.20x3兀7i

•,AC=----------=——,

1803

故选：B.

5.(2024•黑龙江牡丹江•中考真题)小明同学手中有一张矩形纸片ABC。，AD=12cm,CZ)=10cm,他进

行了如下操作：

第一步，如图①，将矩形纸片对折，使4。与BC重合，得到折痕MN,将纸片展平.

第二步，如图②，再一次折叠纸片，把△5V沿AN折叠得到△AON,A"交折痕于点E,则线段EN

24248

【答案】B

【分析】本题考查了矩形与折叠问题，熟练掌握矩形的性质，折叠的性质，勾股定理是解题的关键.

根据矩形的性质和折叠的性质推出="'AN,进而得出E4=4V,^EA=AN=xcm,贝U

EM=(12-x)cm,根据勾股定理可得：AM2+ME2=AE2,列出方程求解即可.

【详解】解：•••四边形A3CD是矩形，

/.AB=CD=10cm,

由折叠可得：AM=-AB=5cmAD=AD'=12cm,MN1AB,NDAN=ND'AN,

2f

J四边形4VWD是矩形，

MNAD,MN=AD=12cmf

：.NDAN=ZANM,

:.ZANM=/D'AN,

：.EA=EN,

设E4=E/V=xcm,则EM=(12-x)cm,

第4页共40页

在RtZVIAZE中，根据勾股定理可得：AM2+ME2=AE2>

即52+(12-X)2=X2,

169

解得:x=-----

24

169

即EN二----cm,

24

故选：B.

6.（2024•福建・中考真题）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案.如图，其中OAB

与；ODC都是等腰三角形，且它们关于直线/对称，点、E,尸分别是底边AB,的中点，OELOF.下

列推断错误的是（）

A.OBVODB.ZBOC=ZAOB

C.OE=OFD.ZBOC+ZAOD=180°

【答案】B

【分析】本题考查了对称的性质，等腰三角形的性质等；

A.由对称的性质得NAOB=NDOC,由等腰三角形的性质得NBOE=g/AOB,ZDOF=^ZDOC,即可

判断；

B./30C不一定等于NAQB,即可判断；

C.由对称的性质得OAB^ODC,由全等三角形的性质即可判断；

D.过。作可得NGOD=NBOH,由对称性质得=同理可证NAOM=/3。"，

即可判断；

掌握轴对称的性质是解题的关键.

【详解】解：A.OELOF,

:.ZBOE+ABOF=9CP,

由对称得ZAOB=NDOC,

点E,尸分别是底边48,C。的中点，与。ODC都是等腰三角形,

NBOE=-ZAOB,NDOF=-NDOC,

22

.-.ZBOF+ZDOF^90°,

第5页共40页

s.OBLOD,结论正确，故不符合题意；

B.-30C不一定等于/AC®,结论错误，故符合题意;

C.由对称得OAB^,ODC,

:点E,尸分别是底边AB,CD的中点，

:.OE=OF,结论正确，故不符合题意；

过。作

NGOD+NDOH=90。,

ZBOH+NDOH=90°,

Z.GOD=NBOH,由对称得/BOH=ZCOH,

:./GOD=NCOH,

同理可证ZAOM=ZBOH,

ZAOD+ZBOC=ZAOD+ZAOM+ZDOG=180°,结论正确，故不符合题意；

故选：B.

7.（2024.内蒙古赤峰.中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程V-10x+21=0的两个根，则这个三角形

的周长为（）

A.17或13B.13或21C.17D.13

【答案】C

【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得为=3,

%=7,根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为3,腰长为7,进而即可求出三角形的周长，掌

握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键.

【详解】解：由方程炉—10X+21=0得，%=3,x2=7,

V3+3<7,

・••等腰三角形的底边长为3,腰长为7,

・・・这个三角形的周长为3+7+7=17,

故选：C.

第6页共40页

8.（2024.内蒙古呼伦贝尔.中考真题）如图，在ABC中，ZC=90°,ZB=30°,以点A为圆心，适当长为

半径画弧分别交AB，AC于点M和点N,再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于

点、P,连接AP并延长交于点。.若ACD的面积为8,则△ABD的面积是（）

A.8B.16C.12D.24

【答案】B

【分析】本题考查了尺规作图，含30。的直角三角形的性质，等腰三角形的判定等知识，由作图知平

分NBAD,则可求NC4D=/ZMB=30°,利用含30。的直角三角形的性质得出Cr>=：Ar>,利用等角对

等边得出A£>=8£>,进而得出CD=g5D,然后利用面积公式即可求解.

【详解】解：；"=90°,NB=30°,

ZCAB=60°,

由作图知：平分NEW,

?.ZCAD=ZDAB=30°,

：.CD=^AD,ZB=ZBAD,

/.AD=BD,

：.CD=-BD,

2

Q—CD•ACi

...SACJ2=CDJ

bd2

SABD-BDAC

2

又，ACD的面积为8,

△ABD的面积是2x8=16,

故选B.

9.（2024•安徽•中考真题）如图，在Rt^ABC中，AC=3C=2,点。在A3的延长线上，S.CD=AB,则

的长是（）

AHD

第7页共40页

A.V10-V2B.A/6-V2C.2V2-2D.2V2-V6

【答案】B

【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，对顶角的性质，勾股定理，过点。作。ELCB的延长

线于点E,则/阻）=90。，由/ACB=90。，AC=BC=2,可得A3=2近，ZA=ZABC=45°,进而得

到CD=20,ZDBE=45°,即得△"）£1为等腰直角三角形，得到D£=BE,设DE=BE=x,由勾股定理

得（2+无y+/=（2应了，求出x即可求解，正确作出辅助线是解题的关键.

【详解】解：过点。作DE，CB的延长线于点E,则/8即=90。，

VZACB=90°,AC=BC=2,

*"•AB=V22+22=272,ZA=ZABC=45°,

:.CD=2~Ji,ZDBE=45°,

为等腰直角三角形，

/.DE=BE,

设£>E=BE=x,贝！］CE=2+x,

在Rt^CDE1中，CE2+DE2=CD2,

（2+尤）。彳2=（2匈1

解得占=G-1,x2=-73-1（舍去），

10.（2024.四川自贡.中考真题）如图，等边ABC钢架的立柱CDLAB于点。，AB长12m.现将钢架立

柱缩短成DE,NBED=60。.则新钢架减少用钢（）

第8页共40页

A.（24-12石）mB.（24-8否）mC.（24-6石）mD.（24-4石）m

【答案】D

【分析】本题考查了等边三角形的性质，解直角三角形的应用.利用三角函数的定义分别求得。E=2g,

BE=4y/3=AE,CD=6^,利用新钢架减少用钢=AC+BC+CD-AE—3E—OE,代入数据计算即可求

解.

【详解】解：：等边,ABC,CDLAB于点，48长12m,

AD=BD=—AB=6m,

2

'：ABED=6Q°,

：.tan60°=—=V3,

DE

/.DE=2A/3,

BE=^DE2+BD2=4A/3=AE，

/a。=60。，

/.CD=BDtanZCBD=y[3BD=6底i,3C=AC=AB=12m,

•••新钢架减少用钢=人。+3。+8-71£-3£'-。£

=24+673-8A/3-273=（24-4^）m,

故选：D.

11.（2024•天津•中考真题）如图，ASC中，48=30,将ABC绕点C顺时针旋转60得到DEC,点、A,B

的对应点分别为RE,延长54交DE于点尸，下列结论一定正确的是（）

A.ZACB=ZACDB.AC//DE

第9页共40页

C.AB=EFD.BF±CE

【答案】D

【分析】本题考查了旋转性质以及两个锐角互余的三角形是直角三角形，平行线的判定，正确掌握相关性

质内容是解题的关键.先根据旋转性质得N3CE=NACD=60。，结合N8=30,即可得证B产，CE,再根

据同旁内角互补证明两直线平行，来分析AC〃小不一定成立；根据图形性质以及角的运算或线段的运算

得出A和C选项是错误的.

【详解】解：记母■与CE相交于一点X,如图所示：

,/ABC中，将.ABC绕点C顺时针旋转60得到DEC,

ZBCE=ZACD=6O°

"：ZB=30°

...在BHC中,ZBHC=180°-ZBCE-ZB=90°

BF±CE

故D选项是正确的，符合题意；

设/ACW=x。

•*.ZACB=60°-x°,

,/ZB=30°

/.NEDC=ABAC=180°-30°-（60。-x。）=90°+x。

ZEDC+ZACD=90°+尤。+60°=150°+x°

x。不一定等于30。

NEDC+NACD不一定等于180。

AC〃上不一定成立，

故B选项不正确，不符合题意；

VZACS=60°ZACD=60°,x。不一定等于0。

NACB=NAC£>不一定成立，

故A选项不正确，不符合题意；

,/将ABC绕点C顺时针旋转60得至U.DEC,

/.AB=ED=EF+FD

第10页共40页

/.BA>EF

故C选项不正确，不符合题意;

故选：D

二、填空题

12.（2024•浙江・中考真题）如图，D,E分别是一ABC边AB,AC的中点，连接BE,DE.若

ZAED=ZBEC,DE=2,则BE的长为

【答案】4

【分析】本题主要考查三角形中位线定理和等腰三角形的判定，由三角形中位线定理得

DE〃BC,BC=2DE=4,得出NC=ZAED=NBEC,得出BE=3C=4

【详解】解：：。，E分别是二A5C边AB,AC的中点，

/.DE1是wABC的中位线，

/.DE//BC,BC=IDE=4,

NAED=NC,

•：ZAED=ZBEC,

：.NC=NBEC,

：.BE=BC=4,

故答案为：4

13.（2024.四川成都.中考真题）如图,在平面直角坐标系xOy中，已知4（3,0）,B（0,2）,过点B作4轴的

垂线/,P为直线/上一动点，连接尸。，PA,则PO+B4的最小值为.

【答案】5

第11页共40页

【分析】本题考查轴对称一最短问题以及勾股定理和轴对称图形的性质.先取点A关于直线/的对称点A,

连4。交直线/于点C,连AC,得到AC=4C,A'Arl,再由轴对称图形的性质和两点之间线段最短,

得到当O,P,A三点共线时，PO+B4的最小值为40,再利用勾股定理求A。即可.

【详解】解：取点A关于直线/的对称点A,连A0交直线,于点C,连AC,

则可知AC=A'C,A'A_L/,

Z.PO+PA^PO+PA>AO,

即当O,P,A'三点共线时，PO+PA的最小值为AO,

,直线/垂直于y轴，

AA_Lx轴，

•••4(3,0),3(0,2),

AO=3,A4'=4,

...在RtAAO中,

A'O=7tM2+A4,2=V32+42=5，

故答案为：5

14.(2024.天津.中考真题)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A,F,G均在格点上.

(2)点E在水平网格线上，过点A,E,尸作圆，经过圆与水平网格线的交点作切线，分别与AE,■的

延长线相交于点3，C,ABC中，点M在边8C上，点N在边A5上，点尸在边AC上.请用不刻序的直

第12页共40页

尺，在如图所示的网格中，画出点M,N,P,使反!"/?的周长最短，并简要说明点M,N,尸的位置

是如何找到的(不要求证明).

【答案】V2图见解析，说明见解析

【分析】此题考查了勾股定理、切线的性质等知识，根据题意正确作图是解题的关键.

(1)利用勾股定理即可求解；

作点/关于、的对称点、M,连接、分别与、相交于点、P,

(2)ABACM2MMMYM2,48ACE

△肱VP的周长等于的长，等腰三角形的腰长为AM,当AM的值最小时，加1加2的值最小，

此时M是切点，由此作图即可.

【详解】(1)由勾股定理可知，46=炉不=应，

故答案为：72

(2)如图，根据题意，切点为M；连接ME并延长，与网格线相交于点M］；取圆与网格线的交点。和格

点H,连接。”并延长，与网格线相交于点对2；连接知1知2,分别与AB,AC相交于点N,P,则点

15.(2024.甘肃临夏.中考真题)如图，等腰45C中，AB=AC=2,ZBAC=120°,将ABC沿其底边中

线AD向下平移，使A的对应点A满足44'=；A£>,则平移前后两三角形重叠部分的面积是.

【分析】本题考查平移的性质，相似三角形的判定和性质，三线合一,根据平移的性质，推出AEF^AB'C,

根据对应边上的中线比等于相似比，求出所的长，三线合一求出的长，利用面积公式进行求解即可.

【详解】解：,•,等腰工ABC中，AB=AC=2,ZBAC=120°,

第13页共40页

ZABC=30°,

,/AD为中线，

•*.ADIBC,BD=CD,

：.AD=^AB=1,BD=y/3AD=73,

BC=2/，

•..将ABC沿其底边中线AO向下平移，

/.B'C//BC,B'C=BC=2^/3,A'G=AD=1,

：.AEF^tAB'C,

.EFA'D

"/AA'=-AD,

3

222

DA'=-AD=-A'G=-,

333

.EFA'D_2

EF=-B'C'=^~

33

•c_14,n_l4732_473

,•S阴影二万七产，4。=5*-y-*耳=~9~

故答案为学

16.（2024.黑龙江牡丹江.中考真题）矩形ABCD的面积是90,对角线AC,3D交于点。，点E是BC边的

三等分点，连接DE,点尸是£>E的中点，OP=3,连接CP,则PC+PE的值为

【答案】13或皿

【分析】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理.当时，利用三角形中位线定理

求得CE=12,再求得矩形的边长,利用勾股定理求得OE的长,再根据斜边中线的性质即可求解；当CE<BE

时，同理求解即可.

【详解】解：当时，如图,

第14页共40页

:矩形ABC。，

点。是80的中点，

:点P是OE的中点，

BE=2OP=6,CP=PE=PD,

:点E是BC边的三等分点，

CE=2BE=12,BC=3BE=18,

•••矩形ABCD的面积是90,

BCxCD=90,

：.CD=5,

*'-DE=A/52+122=13>

PC+PE=DE=13；

当CE<BE时,如图，

;矩形ABCD,

点。是8£>的中点，

;点尸是DE的中点，

ABE=2.OP=6,CP=PE=PD,

:点E是2C边的三等分点，

CE=—BE=3,BC=3+6=9,

2

•••矩形ABCD的面积是90,

BCxCD=90,

：.CD=10,

；•DE=732+102=7109，

•*.PC+PE=DE=J109;

第15页共40页

故答案为：13或VI丽.

17.（2024・山东•中考真题）如图，已知NM4N,以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别与40、AN

相交于点B,C；分别以8,C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在/MAN内部相交于点P,

2

作射线AP.分别以A,8为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点O,E,作直线DE分别

与48,互相交于点/，Q.若AB=4,ZW=67.5°,则尸到AN的距离为.

E\Q

【答案】V2

【分析】如图，过下作9_LAC于证明N54P=NC4P,DEJ.AB,AF=BF=^AB=2,再证明

NE4H=45。，再结合勾股定理可得答案.

【详解】解：如图，过下作M_LAC于H,

冰2

由作图可得：ZBAP=ZCAP,DE.LAB,AF=BF=-AB=2,

'：ZPQE=61.5°,

：.ZAQF=67.5°,

ZBAP=ZCAP=90°-67.5°=22.5°,

NE4a=45°,

下到⑷V的距离为拒；

故答案为：0

【点睛】本题考查了作图-复杂作图：基本作图，三角形的内角和定理的应用，勾股定理的应用，等腰三

第16页共40页

角形的判定，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质，逐步操作.

18.（2024.黑龙江齐齐哈尔•中考真题）已知矩形纸片ABCD,AB=5,BC=4,点尸在边上，连接AP,

将..沿AP所在的直线折叠，点8的对应点为夕，把纸片展平，连接88',CB',当V3CB'为直角三角

形时，线段CP的长为.

【答案】|■或2

【分析】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，分两种情况进

行讨论：当/3CB'=90。时，当/3?C=90。，分别画出图形，求出结果即可.

【详解】解：：四边形A3CD为矩形，

；./BCD=NADC=NABC=NBAD=90。,AB=CD=5,AD=BC=A,

当/3CB'=90。时，如图所示：

NBCD=90。,

.,.点3'在8上，

根据折叠可知：AB'=AB=5,BP=B'P,

设CP=x,则3P=8尸=4一x,

,,DB'=VAB'2—AD2=A/52—42=3,

CB'=DC—DB'=5-3=2,

在RtCB'尸中，根据勾股定理得：B'P2=B'C2+CP2,

即（4—x）2=22+f,

3

解得：x=j

3

即CP=±；

2

当/M'C=90。，如图所示：

第17页共40页

根据折叠可知：BP=B'P,

：.ZPBB=/PB'B,

"?ZPBB'+NBCB'=90°,NPB'B+NPB'C=90°,

NBCB'=ZCB'P,

PC=PB',

：.PC=PB,

,?BC=BP+PC=4,

：.CP=2；

3

综上分析可知：CP=3或2.

故答案为：|■或2,

19.（2024.四川内江.中考真题）如图，在二ABC中，ZABC=60°,BC=8,E是8c边上一点，且3E=2,

点/是ABC的内心，应的延长线交AC于点。，P是BD上一动点,连接尸E、PC,则尸E+PC的最小

值为.

【答案】2厉

【分析】在A3取点F，使BF=BE=2,连接PP,CF,过点B作3c于X,利用三角形内心的定

义可得出/ABD=NC8D,利用SAS证明BFF2BEP,得出尸F=则尸E+PC=尸产+PCNC尸，当C、

P、/三点共线时，PE+PC最小,最小值为CF,利用含30。的直角三角形的性质求出3”,利用勾股定

理求出EH,b即可.

【详解】解：在AB取点R使BF=BE=2,连接PF,CF,过点P作切，3c于H,

第18页共40页

是，ABC的内心，

/.3/平分/ABC,

ZABD=ZCBD,

又BP=BP,

：.BFP^BEP(SAS),

/.PF=PE,

：.PE+PC=PF+PC>CF,

当C、P、尸三点共线时，PE+PC最小,最小值为C/,

FHIBC,ZABC=60°,

：.ZBFH=30°,

BH=LBF=I,

2

•"­FH=yjBF2-BH2=y/3-CH=BC-BH=7,

'•CF=VCW2+FH2=2®，

/.PE+PC的最小值为2A/13.

故答案为：25.

【点睛】本题考查了三角形的内心，全等三角形的判定与性质，含30。的直角三角形的性质，勾股定理等

知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形和含30。的直角三角形是解题的关键.

20.（2024・四川广元・中考真题）如图，在，ASC中，AB=5,tan/C=2,则AC+好的最大值为.

【答案】5应

【分析】过点8作BDLAC,垂足为O,如图所示，利用三角函数定义得到AC+@BC=AC+OC,延

5

长QC到E,使EC=CD=x,连接BE,如图所示，从而确定AC+@8C=AC+DC=AC+CE=AE,

5

ZE=45°,再由辅助圆-定弦定角模型得到点E在，。上运动，AE是，。的弦，求AC+且BC的最大值就

5

是求弦AE的最大值，即AE是直径时，取到最大值，由圆周角定理及勾股定理求解即可得到答案.

【详解】解：过点3作BDLAC,垂足为。，如图所示：

第19页共40页

a

tanZC=2,

.,.在RtBCD中，设OC=;(:,则瓦)=2%,由勾股定理可得3C=氐,

・雀■咚即争

3C=DC,

AC+—BC=AC+DC,

5

延长。。到E,使EC=CD=x,连接班，如图所示：

E

c/\

AC+—BC^AC+DC=AC+CE=AE,

5

BD1DE,DE=2x=BD,

是等腰直角三角形，则NE=45。，

在AABE中，AB=5,ZE=45°,由辅助圆-定弦定角模型，作A5石的外接圆，如图所示:

/M

:二;

由圆周角定理可知，点E在一。上运动，AE是。的弦，求AC+好5。的

5

最大值就是求弦A£的最大值,根据圆的性质可知，当弦AE1过圆心。，即A石是直径时，弦最大，如图所

示：

二'V

//T\

!o/：!..

AE是。的直径，

「/i/

才、,________

第20页共40页

ZABE=90°,

ZE=45°,

，钻石是等腰直角三角形，

AB=5,

；.BE=AB=5,则由勾股定理可得AE=4AB。+BE?=5后，即AC+半BC的最大值为50，

故答案为：5VL

【点睛】本题考查动点最值问题，涉及解三角形、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、圆的性质、

圆周角定理、动点最值问题-定弦定角模型等知识，熟练掌握动点最值问题-定弦定角模型的解法是解决问

题的关键.

三、解答题

21.（2024•陕西・中考真题）如图，已知直线/和/外一点A,请用尺规作图法，求作一个等腰直角ABC,

使得顶点B和顶点C都在直线/上.（作出符合题意的一个等腰直角三角形即可，保留作图痕迹，不写作

法）

A

【答案】见解析

【分析】本题考查了等腰直角三角形的定义，尺规作图.过点A作垂足为B,再在直线/上截取

点C,使3C=AB,连接AC,则是所求作的等腰直角三角形.

【详解】解：等腰直角ABC如图所示：

22.（2024•黑龙江牡丹江.中考真题）数学老师在课堂上给出了一个问题，让同学们探究.在RtAABC中,

ZACB=90°,ZBAC=30°,点。在直线BC上，将线段AD绕点A顺时针旋转60。得到线段AE,过点E作

EF//BC,交直线AB于点?

第21页共40页

(1)当点。在线段BC上时，如图①，求证：BD+EF=AB；

分析问题：某同学在思考这道题时，想利用=构造全等三角形，便尝试着在上截取A〃=EF,

连接ZMf,通过证明两个三角形全等，最终证出结论：

推理证明：写出图①的证明过程：

探究问题：

(2)当点。在线段8c的延长线上时，如图②：当点。在线段CB的延长线上时，如图③，请判断并直接

写出线段50,EF,之间的数量关系；

拓展思考：

(3)在(1)(2)的条件下，若AC=6g,CD=2BD,贝UEF=.

【答案】(1)见解析；⑵图②：AB=BD-EF,图③：AB=EF-BD；(3)10或18

【分析】(1)在A3边上截取=EF,连接DM,根据题意证明出.D4M均收(SAS)，得至UAF=Z)暇，

然后证明出比如是等边三角形，得到==进而求解即可；

(2)图②:在2。上取点X,使9=连接并延长到点G使4G=AF,连接。G,首先证明出一AB"

是等边三角形，得到/54"=60。，然后求出=然后证明出一E4E3G4D(SAS),得到

EF=DG,ZAFE=ZG,然后证明出△DHG是等边三角形，得到O"=OG=EF,进而求解即可；

图③：在E尸上取点H使AH=A尸，同理证明出EAH^ADB(AAS),得到=AB=EH,进而

求解即可；

(3)根据勾股定理和含30。角直角三角形的性质求出3C=6,AB=12,然后结合CD=2BD,分别(1)

(2)的条件下求出8D的长度，进而求解即可.

【详解】(1)证明：在A8边上截取=连接DM.

在RtaABC中，ZB=90°-ABAC=90°-30°=60°.

EFBC,

ZEFB=ZB=60°.

又•.ZEAD=60°,

：.ZEFB=ZEAD.

第22页共40页

又.ZBAD=ZEAD-ZEAF,ZAEF=ZEFB-ZEAF,

,\ZBAD=ZAEF.

又AD=AE,AM=EF,

DAM^AAEF(SAS).

:.AF=DM.

ZAMD=ZEFA=180。—ZEFB=180。—60°=120°.

/.NBMD=180O-ZAMD=180°-120°=60°.

Zfi=60°,

:.ZBMD=ZB=ZBDM.

浏仍是等边三角形.

:.BD=BM=DM,

AB=AM+BM,

AB—EF+BD；

(2)图②：当点。在线段3C的延长线上时，AB=BD—EF,证明如下：

如图所示，在3。上取点H,使BH=AB,连接A"并延长到点G使AG=AF,连接。G,

,?ZABC=60°,

二_ABH是等边三角形，

ABAH=60°,

;线段绕点A顺时针旋转60。得到线段AE,

AZDAE=60°,AE=AD,

ZBAH=ZDAE,

：.ZBAH-ZEAH=ZDAE-ZEAH,即ZBAE=ZHAD,

又：AG=AF,

.•一FAE^GAD(SAS),

:.EF=DG,ZAFE=NG,

,/BD//EF,

第23页共40页

・•・ZABC=ZF=ZG=6Q°,

*：ZDHG=ZAHB=60°,

：./kW/G是等边三角形，

：.DH=DG=EF,

AB=BH=BD-DH=BD-EF；

图③：当点。在线段CB的延长线上时，AB=EF-BD,证明如下：

如图所示，在斯上取点〃使AH=AF,

,:EF〃BC,

：.ZF=ZABC=60°,

9：AH=AF,

•••△AHF是等边三角形,

：.ZAHF=ZHAF=60°,

：.ZAHE=120%

将线段AD绕点A顺时针旋转60。得到线段AE,

AAD=AE,ZDAE=60°,

：./DAB+ZEAH=180°-ZEAD-ZHAF=60°,

ZD+ZDAB=ZABC=60°,

：・ZD二NEAH,

丁/DBA=180°-ZABC=120。=ZEHA,

XV=

A..EAH^ADB(AAS),

ABD=AH,AB=EH,

•；AH=FH,

：.BD=HF,

:.AB=EH=EF-FH=EF-BD；

(3)如图所示，

第24页共40页

A

E

F/

M//

B^DC

图①

VABAC=30°fZC=90°,

/.AB=2BC,AB2=BC2+AC2,

A（2BC）2=BC2+（6^）2,

・・・BC=6,

：.AB=2BC=n,

VCD=2BD,BC=BD+CD,

：.CD=-BC=2,

3

由（1）可知，BD+EF=AB,

：.EF=AB-BD=12-2=10；

如图所示，当点。在线段3c的延长线上时,

A

•:CD〈BD,与CD=2BD矛盾,

・•・不符合题意；

如图所示，当点。在线段C3的延长线上时,

•:CD=2BD=BD+BC,BC=6,

：.BD=BC=6,

由（2）可知，AB=EF—BD,

AB=2BC=12,

第25页共40页

，EF=AB+BD=12+6=18.

综上所述，所=10或18.

【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，等边三角形的性质和判定，含30。角直角三角

形的性质，解题的关键是掌握以上知识点.

23.（2024•江西・中考真题）追本溯源：

题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）.

（1）如图1,在ABC中，平分/ABC,交AC于点，过点。作的平行线，交AB于点E,请判

断.班见的形状，并说明理由.

方法应用：

（2）如图2,在YABCD中，BE平分/ABC,交边AD于点E,过点A作AFXBE交0c的延长线于点尸，

交3C于点G.

①图中一定是等腰三角形的有（）

A.3个B.4个C.5个D.6个

②已知AB=3,BC=5,求CF的长.

【答案】（1）.5/组是等腰三角形；理由见解析；（2）①B；②3=2.

【分析】本题考查了平行四边形的性质和等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和

等腰三角形的判定是解题的关键；

（1）利用角平分线的定义得到/ABZ）=NCB。，利用平行线的性质得到/&=推出

ZBDE=ZABD,再等角对等边即可证明是等腰三角形；

（2）①同（1）利用等腰三角形的判定和性质可以得到四个等腰三角形；

②由①得/M=DF,利用平行四边形的性质即可求解.

【详解】解：（1）一BDE是等腰三角形；理由如下：

平分NABC,

ZABD=NCBD,

'：DE//BC,

：.NBDE=/CBD,

第26页共40页

；.ZBDE=ZABD,

:.EB=ED,

・・・瓦汨是等腰三角形;

(2)①・.・YABCD中，

F

同（1）ZABE=ZCBE=ZAEB,

AB=AE,

•:AF±BE,

工ZBAF=NEAF,

VAE//BC,AB//CD,

：.ZBGA=ZEAF,ZBAF=NF,

•；/BGA=NCGF,

：.ZBGA=ZBAG,ZDAF=ZF,NCGF=NF,

：.AB=AG,DA=DF,CG=CF,

即，48石、ABG,^ADF.ACGb是等腰三角形；共有四个，

故选：B.

②・.・YABC。中，AB=3fBC=5,

AB=CD=3,BC=AD=5,

由①得94=£方，

CF=DF—CD=5—3=2.

24.（2024・山东威海•中考真题）感悟

如图1,在‘ABE中，点C,。在边BE上，AB=AE,BC=DE.求证：ZBAC^ZEAD.

图I

应用

第27页共40页

(1)如图2,用直尺和圆规在直线3C上取点。，点E(点。在点E的左侧)，使得=且

DE=BC(不写作法，保留作图痕迹)；

(2)如图3,用直尺和圆规在直线AC上取一点。，在直线BC上取一点E,使得NCDE=NBAC,且

DE=AB(不写作法，保留作图痕迹).

【答案】见解析

【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质、尺规作图：

证明△ABCdAED,即可求得ABAC=ZEAD；

应用(1)：以点A为圆心，以A8长度为半径作弧，交直线3c于一点，该点即为点E,以点A为圆心，以

AC长度为半径作弧，交直线3C于一点，该点即为点。，连接AD,AE；

应用(2)：以点C为圆心，以AC长为半径作弧，交AC的延长线于一点，该点即为点。，以点C为圆心，

以BC长为半径作弧，交直线BC于一点，该点即为点E,连接OE.

【详解】感悟：

,/AB=AE,

：.ZB=ZE.

在,ABC和△AED中

AB=AE

<ZB=ZE

BC=DE

AABC^AAED.

NBAC=NEAD.

应用：

(1)：以点A为圆心，以43长度为半径作弧，交直线于一点，该点即为点E,以点A为圆心，以AC

长度为半径作弧，交直线BC于一点，该点即为点。，连接AO,AE,图形如图所示.

第28页共40页

(2)：以点C为圆心，以AC长为半径作弧，交AC的延长线于一点，该点即为点。，以点C为圆心，以8c

长为半径作弧，交直线BC于一点，该点即为点E,连接DE,图形如图所示.

根据作图可得：CD=AC,CE=BC,

又AACB=/DCE,

：.ACBADCE,

:./CDE=ZBAC,DE=AB.

25.(2024.黑龙江大兴安岭地•中考真题)己知ABC是等腰三角形，AB=AC,ZMAN=^ZBAC,/M