2024-2025学年湖南省长沙市某中学高三（上）入学数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖南省长沙市望城六中高三(上)入学数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.曲线/(%)=/一%+3在点P处的切线平行于直线y=2x+l,贝UP点的坐标为()

A.(1,3)B.(-1,3)C.(1,3)或(—1,3)D.(1,-3)

2.已知力=>x},B={x\(x-3)(久+3)>0},则4ClB=()

A.(-2,1)B.(-oo,-3)C.(-oo,2)D.(0,1)

3.偶函数〃x)在[0,+8)上单调递增，若f(4久—1)</(5，贝卜的取值范围是()

3131313

A68电)C.Q,§)D七加

4.如图，在棱长为1的正方体力BCD-力避16。1中，M是41a的中点，点P是侧面CDDiG上的动点，且

MP〃截面SB4,则线段MP长度的取值范围是()

A.[^,/2]B.[/2,<6]

C.俘,C]D.[76,3]

5.若3cos2a=2sin(9-a),ae,TT),贝!Jsin2a的值为()

4Z

A425^2

A--—JD]

6.已知函数/(%)=]%'%>°，若函数g(%)=/(%)-a的零点有2个或3个，则实数a的取值范围为

1(%+2)ex,x<0

()

111111

A.(一右》B.[一春/C.(0,i]D.(一.0)

7.在四棱锥P—ABCD中，AD=2,AB=BC=CD=1,AD//BC,且24=PC,PB=PD,则直线PA与

平面PBD所成角的正弦值的最大值为()

142

A-3B5C3D1

8.已知函数/(")=]鳖若方程/(-久)=-〃>)有五个不同的实数根，则a的取值范围是()

A.(0,+oo)B.(0,今C.(-co,0)D.(0,1)

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.将函数y=sin(久-5的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)，再向左平移苧个单位长度

得g。)的图象，则下列说法正确的是()

A.g(x)是奇函数B.%=髓g(%)图象的一条对称轴

C.g(x)的图象关于点(3兀,0)对称D.2。(。)=1

E.9(31兀)=1

10.i为虚数单位，复数z=芸，贝ij()

1

A.z-z=1B.z+：=0

1ii

C.z+z2+…+z10=1+iD-]+再+…+kTt

11.已知矩形2BCD中，4D=0AB=243,AABD沿着BD折起使得形成二面角4一BD-C,设二面角

4-8£»-(7的平面角为0,则下面说法正确的是()

A.在翻折的过程中，4、B、C、。四点始终在一个球面上，且该外接球的表面积为12兀

B.存在。，使得

C.当tane=时，|AC|=272

D.当cos。=?寸，直线AC与直线BD的夹角为45。

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.所有棱长都为1的平行六面体ABCD-&B1GD1中，若M为41cl与当。1的交点，ABAD=60°,

NZM&=AMA=30。，贝U|丽|的值为.

13.双曲线C：冒-，=l(a>0,6>0)的左、右焦点分别为&,F2,直线，过6与C的左支和右支分别交于

A,B两点，若%轴上存在点Q使得NQB0的角平分线过尸2，且满足的=3丽，则C的离心率为.

14.对于定义域和值域均为［0,1］的函数/(%),定义无(x)=/(x),仅%)=/(方(%))，…,fn(x)=

(2x0<x<

2

n=l,2,3,....满足九Q)=x的点xe［0,1］称为/的九阶周期点.设"X)=11

(2-2x-<x<1

贝叶的n阶周期点的个数是.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

已知圆M：%2+y2—2%+1—m2=0(mGR).

(1)若圆M的半径为1,求实数m的值；

(2)在(1)条件下，设4(0,t),B(O,t+6)(-5<t<-2),若圆M是△ABC的内切圆，求A/IBC面积的最大

值.

16.(本小题15分)

如图，菱形4BCD与正ABCE所在平面互相垂直，尸。1平面ABC。，BC=2,FD=<3.

⑴证明：EF//平面48CD；

(2)若NCBA=60°,求直线EF与平面4FB所成角的正弦值.

17.(本小题15分)

瓯江是温州、丽水人民的母亲河，为了体现“绿水青山”理念特举办游渡瓯江活动，现调查发现：比赛区

域的瓯江江流平均宽度2.1km(即起点4处到对岸B的垂直距离)，一名游泳爱好者室内游泳平均速度为

60m/zn讥.在热身环节时，游泳爱好者一直沿AB方向游去，在下游C处上岸，距离B处1.75km.

(1)假设水流匀速，求水流速度多少？

(2)比赛规定，运动员上岸点距离8处不超过爷km时成绩有效.活动时，该游泳爱好者保持。方向不变游

泳前进(记运动员游泳前进方向与A8的夹角记为8),为比赛成绩最好，求sin®的值.

A-------------------------B

C

18.(本小题17分)

已知函数/'(x)=2sinxcosx-2-\/-351112%+y/~3.

(1)求函数/(©的最小正周期；

(2)若工€[0,夕时，m</(x)恒成立，求实数m的取值范围；

(3)将函数/(尤)的图像的横坐标缩小为原来的右再将其横坐标向右平移着个单位，得到函数g(©的图像.若

%e[0,t],函数g(x)有且仅有5个零点，求实数t的取值范围.

19.(本小题17分)

已知无穷数列但"满足的=2,数列｛©)为｝是各项和等于呼会的无穷等比数列，其中常数b是正整数.

(1)求数列｛5｝的通项公式；

(2)在无穷等比数列｛%｝中，&=a「历=。2,试找出一个b的具体值使得数列｛仇J的任意项都在数列｛即｝

中；试找出一个6的具体值，使得数列｛%｝的项不都在数列中，简要说明理由；

(3)对问题(2)继续进行研究，探索当且仅当6取怎样的值时，数列伊工的任意项都在数列｛%J中，说明理

由.

参考答案

l.B

2.5

3.B

4.4

5.C

6.5

7.C

8.F

9.4CD

1Q.ABD

ll.BCD

12—

13.77

14.2n

15J?：(1)由题设，圆M的标准方程为Q—1)2+*=爪2,由圆M的半径为1,

•••m2=1,即m=±1.

(2)由题意，设直线ZC为yi=Ze[％+力，直线BC为丫2=的％+1+6,则%c=

11Q

•••|4B|=6,又S&ABC=5,|AB|•|和|=/卜l'

M到4C、BC的距离都为1,

,a-优1+4_1/_的+1+6|_1省"_1一产,_(t+7)(t+5)

.“一而一1‘电一下君-…F，七一FP

••・四一七匚1<+写箸1=则%BC=I鬻詈

t£+6t

—5—t4—2,则+6)€[—9,—5],

•，'S^ABCE弓,?]，则△ABC面积的最大值为5

z，

16.证明：⑴•••菱形A8CD与正三角形BCE的边长均为2,它们所

在平面互相垂直，

.•.作E。1BC,交BC于。，且E。=74^1=

•••FD_L平面ABC。，S.FD=6,

FD-EO'四边形EODF是平行四边形，

EF//DO,

EFC平面ABCD,ODu平面2BCD,

.­.EF〃平面力BCD.

解：(2)•••NC84=60。，OA1OB,

以。为原点，OB为x轴，。4为＞轴，OE为z轴，建立空间直角坐标系,

4(0,0,0)，B(1,0,0),£(0,0,73),F(-2,<3,<3),

EF=(-2,<3,0),BA=(-1,73,0)，BF=(-3,<3,<3),

设平面力FB的法向量为元=(x,y,z),

(n•BA——x+y/_3y=0-.—,—

贝—>L,—,取X=得?2=(/^,1,2),

(ji-BF=-3x+<3y+<3z=0

设直线EF与平面4FB所成角为仇

则而。=岛=舄=禁.

\EF\-\n\V7-V828

•・.直线EF与平面4FB所成角的正弦值为簿.

17.解：（1）渡河所需的时间1=甯，所以“=等=50m/s.

（2）设为了使比赛成绩最好，需在下游。处上岸，BD=,m，

因为1.75km＞祟km，所以游泳前进的方向必须朝上游，如图所示，设NGAB=。,

10

7/3「

此时tanNBAD==半，即NB4D=7T

作平行四边形力GFE,其中|布|=60,|荏|=50,所以N4FG=〃DB=（

在AAGF中，由正弦定理，知,;即编=北）,

smz.AFGs\nz.GAFsm@sin（（y十

所以sin（e+［）=萼〈苧，

o1ZZ

又8+?＜甲,

63

所以6+看<?故cos(9+3)=

所以s讥6=sin(0+g—g)=sin(6+勺cosg—cos(8+g)sing=xx1

oooo6612L12，24

18.解：⑴因为f(%)=2sinxcosx—2V_3sin2%+=sin2x+y/~3cos2x=2sin(2x+》

所以/(%)的最小正周期T=y=TT.

(2)当%W[0,g时,可得2%+口£冷等,

当2%+|=y,即％=狎，/(%)取得最小值2s讥苧=-V3,

因为Xe[0,且时，m</(%)恒成立，所以m<-V~3,

即实数小的取值范围为(一8,—V3).

(3)由题意,函数g(%)=2sin(4x-^),

因为x6[0,t]>所以4%—6],4t—§,

又因为函数g(x)有且仅有5个零点，则满足47rW4t-5兀，解得若<t<y,

所以实数t的取值范围喑毒).

1

19.解：(1)•.•数歹!|｛&)而｝为无穷递缩等比数列，它的各项和为Z

~an-l