山东省部分学校2025届新高三年级上册开学联合教学质量检测数学试卷

山东省部分学校2025届新高三上学期开学联合教学质量检测数

学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.若集合M={T2,3},N={T0,2,5},则（）

A.{-1,2}B.{-1,2,3}C.{-1,0,2,5}D.{-1,0,2,3,5}

2.在等比数列{0“}中，若。|=1,%=4,则。2a3=（）

A.2B.±2C.4D.±4

3.若非零向量凡不满足|叫+则G+25在B方向上的投影向量为（）

1r一3--

A.—bB.bC.~bD.2b

4.已知点尸是直线冽=0上的动点，由点尸向圆O:，+/=i引切线，切点分别为MN

且N〃PN=90。，若满足以上条件的点夕有且只有一个，则根=（）

A.72B.±72C.2D.±2

5.若两个正实数x,y满足4x+y=2盯，且不等式》+?</一加有解，则实数用的取值范

围是（）

A.{ml-1<m<2}B.{加加<一1或加>2}

C.{m|-2<m<l}D.{加I加<一2或冽〉1}

6.（/—%的的展开式中//的系数为（）

A.30B.-30C.20D.-20

7.设函数小）=瓜皿8+夕）-1（。>0）,若对于任意实数0J（x）在区间py上至少2

个零点，至多有3个零点，则。的取值范围是（）

A.[河B.[4,5）C.卜,小。.「司

8.已知函数/（x）=4，+（a-2）x2'-有4个不同的零点，则”的取值可以为（）

A.-3B.-2C.-eln2D.0

试卷第1页，共4页

二、多选题

9.已知复数Z”Z2的共软复数分别为北,以，则下列命题为真命题的有（）

A.z1+z2=z1+z2B.卜<2|=卜卜归2|

C.若Z]-Z2>0,则Z]>ZzD.若Z]Z2=0,则Z]=0或Z2=0

10.如图，已知二面角a-1-/3的棱/上有4B两点，Cea,ACVI,Dw(3,

A.直线AB与CD所成角的余弦值为45°

B.二面角a-1-p的大小为60°

C.三棱锥A-BCD的体积为28

D.直线CD与平面B所成角的正弦值为"

4

11.甲箱中有3个黄球、2个绿球，乙箱中有2个黄球、3个绿球（这10个球除颜色外，大小

、形状完全相同），先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，记事件/,B,C分别表示事件“取

出2个黄球”，“取出2个绿球”，“取出一黄一绿两个球”，再从乙箱中摸出一球，记事件。

表示摸出的球为黄球，则下列说法不正确的是（）

A.A,3是对立事件B.事件3,。相互独立

C.P⑵嗦D.尸

三、填空题

12.甲，乙两人组成的“梦队”参加篮球机器人比赛，比赛分为自主传球，自主投篮2个环节，

其中任何一人在每个环节获胜得2分，失败得0分，比赛中甲和乙获胜与否互不影响，各环

3

节之间也互不影响.若甲在每个环节中获胜的概率都为:，乙在每个环节中获胜的概率都为

4

P,且甲，乙两人在自主传球环节得分之和为2的概率为“梦队”在比赛中得分不低于6

分的概率为.

试卷第2页，共4页

13.如图，在四面体中，SA=SC=4i,AB=BC=&,AC=2£,SB=43,则该四

面体的外接球体积为.

22

14.已知点P是双曲线C：・-%=l(“>0力>0)右支上一点，耳、片分别为双曲线C的左、

——1―•3——

右焦点，△尸片鸟的内切圆与x轴相切于点N,若PN=1PFI「PF2,则双曲线C的离心率

为.

四、解答题

15.已知数列｛。〃｝的首项为％=；,且满足。,+1+4。"+4-%=0.

数列，为等差数列;

(1)证明:

⑵设数列；的前n项和为S”,求数列｛(-I)"S,｝的前n项和.

16.已知V48c的内角内B,C的对边分别为a,b,c,fecosC+ccosB=2«cos^.

(1)求角4

(2)若VABC中BC边上中线AD的长度为3,求VABC面积的最大值.

17.如图，四棱锥S-4BCD中，底面/BCD是矩形，SA=AD=2,AB=2垃,SC=4,

M是S3的中点，MC1BD.

⑴证明：SN_L平面/2C。；

试卷第3页，共4页

(2)若点P是棱SC上的动点，直线NP与平面/MC所成角的正弦值为叵，求II的值.

10SC

18.已知片、月分别为椭圆C：W+g=l(a>6>0)的左、右焦点，点尸(壁,1)在椭圆C上,

ab3

且A甲岑的垂心为〃(短尸3).

33

(1)求椭圆。的方程；

⑵设A为椭圆C的左顶点，过点用的直线/叫椭圆C于。、E两点，记直线/£的斜

率分别为K，k2,若%+七=一;，求直线/的方程.

⑶设d是从椭圆中心到椭圆在点0处切线的距离，当。在椭圆上运动时,判断屋刷。闾是

否为定值.若是求出定值，若不是说明理由.

19.若函数/(x)在上存在者,尤2(。<玉<马<勾，使得/'(%)=\"?一〃"),

b—a

4(工2，则称/(x)是［。回上的“双中值函数”，其中西,工2称为/(X)在［凡句上

b-a

的中值点.

⑴判断函数/卜)=/-3/+1是否是［-1,3］上的“双中值函数”，并说明理由；

⑵己知函数/(x)=gx2-xlnx-“x,存在机>〃>0,使得/(刃)=［(〃)，且/'(x)是［〃,回上

的“双中值函数”，%,%是/'(x)在［凡词上的中值点.

①求。的取值范围；

②证明：x,+x2>a+2.

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案DCCDBDBAABDABD

题号11

答案ABD

1.D

【分析】根据并集运算求解即可.

【详解】因为M={T2,3},N={T,0,2,5},所以MuN={-l,0,2,3,5}.

故选：D.

2.C

【分析】由等比数列的性质计算即可.

【详解】由于{0}是等比数列，且q=1,%=4,

所以a2a3=%%=4,

故选：C.

3.C

【分析】利用向量的模长关系可得济在=-3同2,再由投影向量的定义即可求出结果.

【详解】根据题意同=B+用可得同2=忖+.，

所以同2=同2+2,石+归『，

又向量1,3为非零，则展3=-，可,

则。+25在B方向上的投影向量为邑也1口=土竺型石；-2+2加-=3^

WW麻I甲2

故选：C.

4.D

【分析】连接。/,ON,结合圆的切线性质可推得点尸在以点。为圆心，啦为半径的圆C上,

再由题意可知该圆与直线x-y-机=0相切，利用点到直线的距离公式，即可求得答案.

【详解】连接。M,CW,则9_LOM,RV_LCW.

答案第1页，共16页

又NMPN=90°,OM=ON,所以四边形MPN。为正方形，尸。卜拒|。叫=五,

于是点尸在以点。为圆心，血为半径的圆C上.

又由满足条件的点尸有且只有一个，则圆C与直线尤-夕-加=0相切,

所以点O到直线x-y-加=0的距离d=V2,.hl=V2,解得m=+2.

故选：D.

5.B

【分析】根据题意，利用基本不等式求得,+/最小值，把不等式、+%〃"，〃有解’转

化为不等式/一皿＞2,即可求解.

14

【详解】由两个正实数满足4x+y=2盯，得一+—=2,

xy

L+2I4X

则尤+台>—=2,

~2〔Yy4xJ

4xv

当且仅当一=六，即y=4x=4时取等号，

y4x

又由不等式x+」＜/-加有解，可得加2-%＞2,解得〃2＜-1或加＞2,

4

所以实数加的取值范围为{嗣"7＜-1或机＞2}.

故选：B.

6.D

【分析】根据展开式的每一项的生成过程，结合组合数公式，即可求解.

【详解】从5个含有丁,一的括号中，其中1个括号中取一个括号中取-x,3个括号

中取y,乘在一起构成dK这一项，

这一项为C〉工2•C；•(-X)•C；•V=-20/。，所以dy3的系数为-20.

故选：D

7.B

答案第2页，共16页

TT-SJT

【分析】原问题转化为>=sin，在区间;口+夕,丁G+9上至少2个，至多有3个K使

_44_

V=sin%=①，求g取值范围，数形结合判断满足条件区间长度，由此建立关于。的不等式,

2

解出即可.

【详解】令/（x）=。，则sin（Gx+°）=,令则sin/=^^,

Jr37r

则原问题转化为》=sin/在区间-co（p,--cD+（p上至少2个，至多有3个K使得

4+4

>=4型=包，求0得取值范围,

2

故选：B.

8.A

【分析】转化为方程（2'+应优-2尤）=0有4个不同的根，且方程2-2x=0的2个根为

%=1/2=2,从而方程2'+办=0有2个不同的根，且。片-2,进一步转化为函数了=2,与

函数了=一办的图象有两个交点，利用导函数与切线斜率的关系求解.

【详解】由题意可得方程（23+"）（2,-2x）=0有4个不同的根.

方程2工-2x=0的2个根为占=1,X2=2,

所以方程2工+办=0有2个不同的根，且。3-2,

即函数了=2,与函数了=-依的图象有两个交点.

当直线了=-依与函数了=2,的图象相切时，设切点为（％,2工。），

答案第3页，共16页

因为广2/2,所以p=:墨解得Xo=_L=I*=_eln2.

要使函数歹=2、与函数>=-办的图象有两个交点，只需直线V=-办的斜率大于eln2,

即一〃>eIn2=>a<-eIn2.

设g(x)=^^(x>0),则g'(尤)=e(l：nx),

XX

由l—lnx〉O=>O<x<e,l-lnx<0X>e,

所以g(x)在(O，e)上单调递增，在(e,+8)单调递减，

所以g(x)的最大值为g(e)=L

所以C<1neln2<2n-eln2>-2.

2

故。的取值范围为-2)u(-2,-eIn2),

故选：A.

9.ABD

【分析】设4=4+6也=。+力，则z=。-例/2=c-di,逐项计算可判断每个选项的正确

性.

【详解】设4=a+bi/2=c+di且,贝!|马=〃一风为=。一片，

zx+z2=a+b\+c+d\=a+c+(b+d)\,z1+z2=a+c-(b+d)i

所以Z]+z2=〃+c—(b+d)i,所以4+z2=Z]+z2,故A正确；

z^z2=(〃+bi)(c+di)=(ac-bd)+(Zc+ad)i

|zj,^2J~y](ac—bd)2+{be+ad)?=Na2c?+b2d?+62c?+a2d?

2222

=y]a+b^c+d=|ZjI-Iz2p故B正确；

当4=l+2i/2=2i时，满足为-22=1>0,但不能得出2]>22，故C错误;

答案第4页，共16页

因为z/2=(ac—bd)+(be+ad)i=0,

ac-bd=Q

所以故D正确.

bc+ad=0

故选：ABD.

10.ABD

【分析】根据异面直线所成角、二面角、线面角定义，在图形中作出直线与CO所成角、

二面角的平面角、直线。与平面所成角，结合已知条件计算判断各项正误.

【详解】过点A作AE//BD,且AE=BD,连接CE,DE,如图,

则四边形ABDE是平行四边形，即DEHAB且DE=AB,

NCDE是直线AB与CD所成角或其补角，

因为AC11,BD1.1,贝IjDELAE,DE1AC,

而AEoAC=A,AE,ACCL平面AEC,

所以DEL平面AEC,CEu平面AEC,所以DEICE,

则cos/CDE=2=里=叵,所以/CDE=45°,故A正确；

CDCD2

因为BDll,即AELI,又AC11,则/CAE是二面角a-l-p的平面角,

又CE=DE=2,结合AE=AC=2,即AACE是等边三角形，

所以ZCAE=60°,故B正确；

因为DEL平面AEC,DEa/3,则平面平面AEC,

在平面AEC内过点C作CO1AE于点O,于是得C。，平面

0,CO=%AC=出,

11n

而=-AB-BD=2,VA^CD=VC3fO，ABD=:故C不正确；

连接DO,因为C。，平面P，则NCDO是直线CD与平面。所成角，

sinNCDO=辿=4=任,故D正确.

CD2V24

故选：ABD

答案第5页，共16页

11.ABD

【分析】由互斥事件及独立事件的概念可判断A,B项，由条件概率公式及全概率公式可判

断C,D项.

【详解】对于A,事件48不能同时发生，但能同时不发生，故8是互斥事件，但不

是对立事件，故A错误；

对于B,事件3发生与否，影响事件。，所以事件8,。不是相互独立事件，故B错误；

对于C,尸（0=尸（⑷尸（。⑷+尸（8）尸（D忸）+尸（C）P（0C）

_C；C；砥c；C；C；C；16

__•-I------------------------I----------------------------------------故C正确;

C；C；ClC；CjC；35,

P1Q

对于D,尸（CO）=尸（C）尸故D错误.

故选：ABD

【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式即可求解.

【详解】若甲，乙两人在自主传球环节得分之和为2,则甲乙两人中一个人成功一个人失败,

31S2

故概率为1（1-2）+?=丘，故,=§，

“梦队”在比赛中得分不低于6分，则至少要赢3次，故概率为

12

X—X—+

33

故答案为:|2

9

13.一%/4.5万

2

【分析】可根据四面体的棱长利用线面垂直的判定定理求得•平面45C,再利用正弦定

3

理求得VZBC的外接圆半径为氏=不，再利用勾股定理确定该四面体的外接球球心。的位置

计算出该球半径，即可求出该四面体的外接球体积.

【详解】取4。的中点为。，连接SAAD,如下图所示：

答案第6页，共16页

又SA=SC=4i,AB=BC=yj~6,/c=班可知50，/C,3D，NC,

且SD=C,BD=2；

又SDC\BD=D,且SZ),8Ou平面S2Z),

所以/C_L平面S8Z),

取AD的中点为E,连接SE,又SB=6,可得SELAD，且S£=也；

又SEu平面SB。，所以/C_LSE,

又4CCBD=D,4C,3£)u平面/BC,

所以S£,平面45C；

在NABC中AB=BC=a,AC=24i,可知sin/=处=二="；

ABV63

£=®=3=2R3

设V/3C的外接圆半径为A,可得sin/一而一，解得火=:；

3

易知VNBC的外接圆圆心。必在直线上，设OD=x,

则/+后2=露，解得X=：，即可得。为DE的中点，

又因为SE，平面ABC,所以该四面体的外接球球心O'一定在过0且平行于SE的直线上,

设。。'=/?,外接球半径为R,

所以(SE+O'O)2+(；J=O'O2+R2,即(后+/;『+；=『+：,解得0。=〃=0；

3

因此该四面体的外接球球心。与V/5C的外接圆圆心。重合，此时

2

所以该四面体的外接球体积为/=2兀.

3⑴2

9

故答案为：

3

【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用正弦定理求得V/8C的外接圆半径并确定圆

2

答案第7页，共16页

心位置，以此能确定该四面体的外接球球心O'的位置进而求得外接球半径，即可得出该四

面体的外接球体积.

14.2

【分析】结合圆的切线的性质利用双曲线的定义，可得出N|=c+a,再由丽=:两+：电

可得忸进而由闺M列方程可求离心率.

【详解】直线尸片,尸区分别与内切圆的切点为M,。，如图所示：

'PM\=\PQ\

由切线的性质可得FXM\=\FXN,

F2Q\=\F2N

由双曲线的定义可得|尸耳|一|尸段=2%BP\PM\+\FXM\-(\PQ\+17^0|)=2a,

所以闺MT月Q|=2a,即国rN|=2a,

又闺N|+困N|=2c,因此闺N|=c+a.

设丽=/晒，则丽=两+不=两+/而=可+/巧-所)=(―fF.+tPF^,

^PN=-PFl+-PF2,因此t建.于是6N=彳片£,即忸叫=丁，

3c

所以由山N|=c+a=1c,可得：=2,即e=2.

故答案为：2.

15.(1)证明见解析

J/+%〃为偶数

⑷"一为奇数

【分析】(1)将递推数列变形，结合等差数列的定义，即可证明;

答案第8页，共16页

(2)由(1)的结果可知S.，再分别讨论“为奇、偶的两种情况(-1)"S”的前〃项和.

【详解】⑴因为%+4。,+］。"-%=0,%=；，

若=°，贝与q=|■矛盾，

所以%。产°，所以。“-%+1=乜%+1，

所以」-=4,因为％=［,所以一=2,

%+1an2%

所以数列是以首项为2,公差为4的等差数列.

(2)由(1)知,=2+("-1>4=4〃-2,

an

2+4n2n

数歹1J［工］的前«项和为Sn=(-)=2n2,

［a„\2

所以(-1)"y=2.(-1)“,

设数列｛(-1)"1｝的前〃项和为北，

当n为偶数时北=2[-F+2?-32+---(»-1)2+H2],

因为〃2-(〃_1)2=2〃-1,

所以<=213+7H--1-(2"-1)]=2----------=(〃+)=h+)>

当“为奇数时，〃-1为偶数.

22

Tn=Tn_x+2•(-1)〃〃2=(〃_1)〃_2n=-n-n,

在“J"+〃，〃为偶数

所以小为奇数

71

16.(1)/=§

(2)373

【分析】(1)根据正弦定理边角互化和三角函数恒等变换可求解；

(2)通过向量的运算和基本不等式性质和三角形面积公式可求得面积的最大值.

【详解】(1)由题意知6cosC+ccosB=2acosN,

答案第9页，共16页

由正弦定理=—=.c得,sin5cosC+sinCeos8=2sinZcos4,

sinAsinBsinC

所以5亩（5+。）=25出4恒54，

又因/+5+。=兀，贝1]5+。=兀一4,

所以sin(5+C)=sin(兀一/)=sin/=2sin/cosA,

因/为V/BC的内角，所以sin/wO,

由sin/=2sinAcosA得cosA=—,则/、.

（2）因40是V48c中BC边上中线,

—•1—•1.

则4D=-48+—ZC,

22

^2AD=AB+AC-所以［2而「=|次+%j,

则,丽2=画+2网同卜os/+阿，

所以36=〃+/+23bc，

所以6c412,当且仅当6=。时，等号成立.

故S^ABC-sin/=^~bc<3y/3,即VABC面积的最大值为3百.

⑵;

【分析】（1）取的中点N,连接MN,CN,推导出8。工平面CW,再利用线面垂直的

性质定理结合勾股定理逆定理可证得结论成立；

（2）以点/为坐标原点，建立空间直角坐标系，设原=2豆，其中0WXW1,求出平面4A/C

的一个法向量的坐标，利用空间向量法可得出关于彳的方程，解出4的值，即可得解.

【详解】（1）取N2的中点N,连接MN,CN,BD与CN交于Q点,

答案第10页，共16页

在底面矩形ABCD中，易知tanZDBC=—■=6=tanZBNC=—,

BCBN

所以ZBNC=ZDBCnBDLCN,

因为MC_LBD,拉cnNC=C,MC、NCu平面CW,

所以BD上平面CW,

因为跖Vu平面CW,所以

易知MNIISA,所以8D_L&4,

22

由题意可知/C2+=12=SC-SA,

所以S/_L/C,而NC,2。相交，且NC,ADu平面48CD,

所以S/_L平面48C。；

(2)由上可知&4_L40,SA1AB,ABLAD,

以点/为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系,

则4（0,0,0）、5（0,0,2）、〃2,2后,0）、3（0,2拒,0）、

设平面NMC的法向量为记=（x,y,z）,则就=（2,2板,0）,^57=（0,72,1）,

mAC=1x+1y/2y=0=/l

则_仁，取X=亚，贝!］玩="-1,收，

m•AE=y/2y+z=0

设炉=2五=4（2,2后,一2）=（2九2四，一22）,其中0W/W1,

则万=万+豆=（0,0,2）+（22,2^2,-22）=俾,2伍2-22）,

答案第11页，共16页

因为直线/尸与平面/MC所成角的正弦值为画,

10

।一।\m-AP\|2V2(l-2V30

贝ljcosAP,m\=-——1=^-=——―-----,

11\ffi\\AP\V5-A/1622-82+410

1sp1

解得人"即正=4

22

18.(1)—+21=1

43

⑵7x-y-7=0

(3)是定值12

【分析】(1)根据题意，得到不〃，尸耳，利用直线斜率求得。的值，再借助于椭圆上的点

和a,6,c的数量关系即可求出a,b,即得椭圆方程；

22

(2)先证明过椭圆C:J+4=l,(机>”>0)上一点。(%,%)的切线方程为岑+岑=1,

mnmn

7121

计算原点到切线的距离d=石打了，由椭圆的第二定义得=5民+4|和

|空|=-4|,对相|°百|\QF21化简计算即得.

【详解】(1)设百(-c,0),乙(c,0),由△甲岑的垂心为〃(手,_令知片”，咚

_5

al945

故凝—原尸2=5^---云石—=也化简得，飞"-/=§，解得c=L

---+C------C

33

又因点尸(半,1)在椭圆。上，则《+，=1，

241厂

因/=/_],故得+=1,解得°=2/=石，

9aa-1

22

故椭圆C的方程为土+匕=1.

43

(2)

答案第12页，共16页

如图,由（1）知，如-2,0）,工（1,0）,若直线/的斜率不存在,

由对称性可得，左+履=0,不合题意;

若直线/的斜率为左，贝!1/的方程为>

y=k(x-Y)

由，x1v2消去》得，(4/+3)X2-8/X+4F-12=0,①

——+—=1

[43

8/4k2-12

显然A>0,设。（无1，必）,£（均％）,则占+工2=4左2+3，*/一4后z+3

y2_k(xt-1)[k(x2-1)皂+1-二

于是，kx+k2==后（1一

演+2x2+2玉+2x2+2玉+2x2+2,

8k2

3(+4)

=k[2——3(占+0+4)_4左2+3

]=k[2解得,k=7,

4/7216k2

再入2+2(匹+X2)+4

4F+J+4p+3

则直线/的方程为7x7-7=0.

22

（3）先来证明过椭圆C:二+5=1,（加>”>0）上一点。（%,%）的切线方程为耳+理=1.

mnmn

由椭圆c：=+^=i,可得，4=i-^

mnnm

当V>0时,

1x0

No

n

・••切线方程为y-No

222222

整理为：nx0x+myoy=my1+nx1=mn,

两边同时除以温得:沪季=1.

答案第13页，共16页

同理可证：为<0时，切线方程也为其+哗=1.

mn

当先=0时，切线方程为X=土优满足竺+理=1.

mn

综上,过椭圆上一点0(%,%)的切线方程为考+理=1.

mn

依题意，设椭圆上的点。(X。,%),则过点0(%/。)的切线方程为苦+竽=1,

即3%尤+4%了-12=0,原点到切线的距离为

7121212

—----------------------—1-—------------------

1J9x；+16y；板+4（12-3年）掷-3"

则凰=同理|°用=；上一

由椭圆的第二定义，卜aJx0+4|,4|,

则|。用|。用=#；-同=；(167；),

故屋|0月||。用=^\x；(16-幻=12为定值.