高考数学一轮复习：权方和不等式 高阶拓展 专项练习（学生版+解析）

专题06权方和不等式（高阶拓展）

（核心考点精讲精练）

【学习目的】本节内容为基本不等式的高阶版，能快速解决基本不等式中的最值问题

知识讲解

权方和不等式：若则《+竺好当且仅当时取等.

xyx+yxy

（注：熟练掌握这个足以应付高考中的这类型最值问题可以实现对一些问题的秒杀）

广义上更为一般的权方和不等式：

+

设国,9,…,X”，yx,y2,--,yn&R,

则方\以\］丁＞。+%+--+瑞严.

若机＞0或加＜一1,

1

'y:以X一(yi+y2+-+yj'

若1＜析＜0则铲+铲++以尸

＜加＜U,火J----1-----F----S---------------

K久y：3+%+…+4)”

上述两个不等式中的等号当且仅当土=立=立=...=反时取等

鬓乂九%几

注意观察这个不等式的结构特征，分子分母均为正数，且始终要求分子的次数比分母的次数

多1,出现定值是解题的关键，特别的，高考题中以机=1最为常见，此时这个不等式是大家

例i：;熟悉的柯西不等式.

13

例2：若%>0,y〉0,--------+——=2,则6x+5y的最小值为_______________

2%+y1+y

12

例3：若Z?>0,a+b=2,则——+—的最小值为______________

a-\b

a2b2

例4：若a>l,b>l,则，的最小值为

b-1a-1

XVz

例5：己知正数x,V,z满足x+y+z=l,则———+———+------的最小值为_______________

y+2zz+2xx+2y

149

例6：已知正数x,V,z满足x+y+z=l,则一+一+一的最小值为______________

xyz

।18

例7：已知正数%,V满足％+丁=1,则~y+二的最小值为

14

例乐求"B最小值为--------------

例9:求/(%)=——5——+——0——的最小值为______________

2sinx+35cos-x+6

49,49

例io：已知正数》,y满足一+—=1,则力一+——的最小值为______________

xy2x~+xy+y

例11：已知x+2y+3z+4“+5v=30,求x?+2/+3z?+4/+5寸的最小值为

例12：已知a>0,b>0,a+b=5,求Ja+l+Jb+3的最大值为

例13：求/(%)=&-3X+2+^2+3x-x2的最大值为

例14：已知正数a，b，c满足a+b+c=l,求73a+1+J36+1+73c+1的最大值为

一、单选题

41

1.（2023・全国•高三专题练习）设加，〃为正数，且加+几=2,则」7+—1的最小值为（）

m+1n+1

13979

A.—B.-C.一D.-

4445

2Q

2.（2023•河北邯郸•统考一模）已知〃>0,b>0,且a+b=2,贝|—；的最小值是（）

a+1b+1

A.2B.4D.9

3.（2023•广西•校联考模拟预测）已知正实数满足2x+y=3,则^—+—丁的最小值为（）

5x+yx+2y

4884

A.—B.一C.-D.一

9933

121

4.（2023•海南海口•校联考模拟预测）若正实数九，V满足％+3y=l.则一+一的最小值为（）

1y

A.12B.25C.27D.36

19

5.（2023•全国•高三专题练习）若正数a,b满足a+b=7,则一\+=的最小值是（）

a+1b+1

A.1B.yC.6D.25

（兀、4]

6.（2023•全国•高三专题练习）若。£0,马，m=cos2cr+l,n=2sin2a,则一十一的最小值等于（）

\zymn

59

A.2B.-C.3D.-

22

13

7.（2023・全国二专题练习）若x>0,y>0,且—+—=1,则3%+y的最小值为（）

xy

A.6B.12C.14D.16

8.（2023春•广东广州•高三统考阶段练习）已知。>0,b>0,且a+2b=l,则工+，的最小值为（）

ab

,r-1

A.4^2B.—c.3-2V2D.3+2V2

41

9.（2023,全国,局三专题练习）已知正实数x,y满足2x+y=3,则+的最小值为（）

x+yx

2828

A.—B.—C.3D.1

1?

10.（2023,全国二专题练习）已知〃>0,b>0,且----1------7=1，那么的最小值为（）

a+11+b

A.20-1B.2C.272+1D.4

IL（2023・全国•高三专题练习）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛

的应用，其表述如下：设a,b,x,y>0,则d+Qz也皿，当且仅当q=2时等号成立.根据权方和不

xyx+yxy

291

等式，函数/（无）=—+丁=（0〈尤<彳）的最小值为（）

xl—2x2

A.16B.25C.36D.49

114

12.（2023,全国二专题练习）已知a+b=l,a>0,b>0,则—F—H—-—方的最小值为（）

aba+b

LJ

A.12B.6+4近C.—D.4+6&

2

13.（2023•全国•高三专题练习）已知正数尤,y满足,+.=1,则％+y的最小值（

x+3y3x+y

3+2行3+近3+203+及

A.RD.

4488

14.（2023春・广东揭阳•高三校考阶段练习）已知实数北0>，且—+J-=1,则尤7的最小值是（）

x+21-y

A.0B.1C.2D.4

TT11

15.（2023・河南开封•开封高中校考模拟预测）已知锐角满足。+尸=彳，则^------+-----f的最小

3sinacos//coscrsinp

值为（）

A.2B.-C.gD.8A/3

33

二、填空题

16.（2023•天津红桥•统考二模）已知x,yeR+,4x+5y=l,则一二的最小值_____.

17.（2023・全国•高三专题练习）已知正数％、y满足,+'=1,求％+2y的最小值为___________.

xy

112

18.（2023•吉林•长春十一高校联考模拟预测）已知正实数羽y满足犬+》=二，则4的小值为

21

19.（2023嘿龙江哈尔滨•哈尔滨三中校考一模）已知工+丁=4,且x>y>0,则——+一的最小值为____.

x-yy

21

20.（2023秋・天津南开•高三南开中学校考阶段练习）已知正实数］,>满足4x+7y=4,则——+-——

x+3y2x+y

的最小值为.

1Q

21.（2023•全国，局二专题练习）已知/（%）=—■F-----（0<x<4）,则/（%）的最小值为___________.

x4-x

4Y2v2

22.（2023・全国•高三专题练习）若正实数x,>满足2x+y=2,则一三的最小值是.

j+12x+2

175

23.（2023・全国•高三专题练习）函数f（x）=^^+—『的最小值为.

cosxsmx

24.（2023•全国•高三专题练习）设且％+2y=l,则」"7+’的最小值为.

x+1y

25.（2023秋•贵州贵阳•高一统考期末）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有

很广泛的应用，其表述如下：设a,b,x,y>0,贝依⑹当且仅当@=2时，等号成立.根

xyx+yxy

据权方和不等式，函数“X)=3+h11°<X<2的最小值为______.

x2-3xV3)

专题06权方和不等式（高阶拓展）

（核心考点精讲精练）

【学习目的】本节内容为基本不等式的高阶版，能快速解决基本不等式中的最值问题

知识讲解

权方和不等式：若a,b,x,y>0则《+匕2竺好当且仅当g=2时取等.

xyx+yxy

（注：熟练掌握这个足以应付高考中的这类型最值问题可以实现对一些问题的秒杀）

广义上更为一般的权方和不等式：

+

设再，々，…,X”，yx,y2,--,yneR,

"+15+1”+1/YII-v\m+l

若阳＞0或烧＜一1,则又+"+…+工之二」七〉••+」)

%"以y：S+%+…+xT

壬，»m,l^+1球"x：+,(x+x,+---+x„r+1

右-1＜加＜0,贝I-L—+^—+…+-=—~~=---------叱—

K川y：5+%+-+"

上述两个不等式中的等号当且仅当土=五=尊=...=乙时取等

注意观察这个不等式的结构特征，分子分母均为正数，且始终要求分子的次数比分母1

多1,出现定值是解题的关键，特别的，高考题中以加=1最为常见，此时这个不等式7

熟悉的柯西不等式.

1+V2L1J2

即^------441=＞尤+2y23+20，当且仅当一="时取等号,即x=V2+1，

（x+2v）%2y

Ji

丫=注+1时取等号

-2

所以x+2y的最小值为3+20

....13

例2：若%>0,y>0，---------1-------=2,则6x+5y的最小值为_______________

2x+y1+y

解：1।31।1211对J1+2呵13+4相

2x+yx+y2x+y4（%+y）2x+y4（九+y）6x+5y6x+5y

即2213+4石,则6x+5y2U+20，当且仅当k匚="、"、时取等号

6x+5y22x+y4（x+y）

12

例3：若a>l,Z?>0,〃+Z?=2,则----+7的最小值为_______________

a-\b

工+西2比互=3+2行

解：1।2-

a-1ba—1bci-\~b—1

当且仅当——=正时取等号

a-1b

272

例4：若a>l,b>l,则—+乙的最小值为

b-ia-1

物〃b1"+2）24.「

斛：——+——>-^----——^-=/+—+428

b~l（J—1。+/?——2tt

a_b

当且仅当（了口一二I时取等号，即。=5=2,

d-\-b—2=2

2T2

所以」二+乙的最小值为8

b-1a-1

xyz

例5：已知正数X,y,z满足x+y+z=l,则-----+二一+-------的最小值为

y+2zz+2xx+2y

上+上+上之一(x+y+z『—1

解:=

y+2zz+2xx+2yy+2z+z+2x+x+2y3

_y_z

当且仅当时取等号

y+2zz+2%x+2y

.149

例6：已知正数九，y,z满足x+y+z=l,则一--1■—的最小值为_______________

xyz

149I2223\(1+2+3)2

xyzxyzx+y+z

123

当且仅当一二—二一时取等号

xyz

、，^।18

例7：已知正数%,y满足X+y=l,则=+二的最小值为______________

冗y

3

解:力27

xyxy,2x+y)

12

当且仅当一=一时取等号

%y

14

例8：求一+—7的最小值为______________

sin8cos0

]+4_俨+22>(1+2『

sin*cos20卜山?。)(cos?6)6in?8+cos?”

12

当且仅当时取等号

sin?。cos20

SR

例9：求f(X)=--+--\--的最小值为_______________

2sinx+35cosx+6

解：

22

,/、5854(5+4『81

2sin2x+35cos2x+65(2sin2x+3)2(5cos2x+6)10(sin2x+cos2xj+2737

54

当且仅当5(2sin2x+3)-2(5cos2x+6)时取等号

49,49

例io：已知正数天,y满足一+—=1,则一+——的最小值为______________

xy

4292(49丫

解：」—+，=—£—+9'=上+上Jx翻」

244

2x，+x/+y4(2尤2+x)9(y+y)8+9+2+2+1718

xyxy

49

当且仅当」了=」不时取等号

8+-9+-

%y

例11：己知x+2y+3z+4a+5V=30,求炉+2/+3z?+4/+5/的最小值为

解：

222

x+2y2+3z+4M2+5v=—+(_—-卜—-------卜—--------卜—----

12345

(%+2y+3z+4M+5z/302

—1+2+3+4+5~~L5~

当且仅当尤=y=z=〃=v时取等号

例12：已知。>0,Z?>0,a+b=5,求Ja+l+Jb+3的最大值为

J__L1

解：内+际=^^+^4^("1+"3)丁3=30

f212(1+lp2-5

当且仅当a+l=b+3时取等号

例13：求/(X)=&-3X+2+J2+3%-炉的最大值为

当且仅当炉―3x+2=2+3x—V时取等号

例14：已知正数a,b,c满足。+6+。=1,求J3a+1+J36+1+J3c+1的最大值为

解:

121212

(3a+1+3b+1+3c+

=30

(1+1+1)-2

当且仅当。=b=c=工时取等号

3

一、单选题

41

1.（2023,全国•高三专题练习）设加，〃为正数，且机+〃=2,则一-+一；的最小值为（）

m+1n+1

13979

A.—B.-C.—D.一

4445

【答案】B

【分析】将加+几=2拼凑为竽m+1+1中7+1=1,利用〃1〃的妙用及其基本不等式求解即可.

44

【详角军】回加+〃=2,

团（相+1）+（几+1）=4,g|J—^―+~~~~1，

41（41m+\〃++m+15

0--------1-------=---------1------------------1--------IH

m+1n+1I机+1n+1Jv44Jm+14（〃+l）4

、小I几十1m+159-一九+1机+1「,rr

22-v+—=—,当且仅当-77=/,且加+〃=2时，即

7m+14（n+l）44m+1A+

m=g,〃=g时等号成立.

故选：B.

9Q

2.（2。23・河北邯郸・统考一模）已知2。"＞。，且"=2,则不的最小值是（）

9

A.2B.4C.D.9

2

【答案】C

【分析】根据''乘1法〃，运用基本不等式即可求解.

【详解】依题意，

因为a+6=2,所以（a+1）+（/?+1）=4,则

28

------+------

a+1Z?+1

』2p+l）18（a+l）H0-io

^-x（2x4+10）=-,

4a+\b+\

当且仅当a=；,b=g时，等号成立.

故选：c.

3.（2023•广西•校联考模拟预测）已知正实数尤,V满足2x+y=3,则三匚+」厂的最小

5x+yx+2y

值为（）

4884

A.-B.一C.一D.-

9933

【答案】A

【分析】利用''乘1法〃与基本不等式的性质即可得出.

【详解】解：依题意，6%+3y=5%+y+x+2y=9,

111x+2y+5x+y4

故5x+915x+y+＞-,当且仅

yx+2y5x+yx+2y

当x=；,y=2时等号成立.

故选:A.

4.（2023•海南海口•校联考模拟预测）若正实数九，V满足x+3y=l.则2+'的最小值为

()

A.12B.25C.27D.36

【答案】C

【分析】根据基本不等式“1〃的用法求解即可;

I?112(、+3315+出+工

【详解】解：因为x+3y=l,所以—+—二

xyxxy

36yx71

因为苍＞＞。，所以——~1—22=12,当且仅当一=9即户家时，等号

%yx

成立,

121

所以,一+一的最小值为27.

%y

故选:C

10

5.（2023•全国•高三专题练习）若正数。，b满足〃+b=7,则》+百的最小值是（）

16

A.1DC.6D.25

9

【答案】B

【分析】凑配出积为定值，然后用基本不等式得最小值.

【详解】解：由题意，正数。，b满足，+人=7,.。+:+1=1,

1919〃+l+Z?+l」11+9+"1+2

/.------+----------+---->-X(10+279)=—

4+1Z?+1tl+lZ7+199〃+1Z7+199

523

当且仅当〃°丁时取等号，

故选：B.

(JT\41

6.(2023•全国•高三专题练习)若。£0,彳，m=cos2a+l,n=2sin2a,则一+一的最小

I2/mn

值等于()

59

A.2B.—C.3D.一

22

【答案】D

【分析】由余弦的倍角公式和三角函数的基本关系式，求得m+〃=2,化简

-+-=^(5+—+-),结合基本不等式，即可求解.

mn2mn

【详解】由根=cos26Z+l=2cos2<2,且鹿=2sin2y,

所以相+〃=2cos2or+2sin2a=2,

又由可得根>0,〃>0,

rm।41141」、1.4nm1Mm、9

贝!J—i—=—(z—i—)(m+n)=—(z5rH-----1—)x>—(5+2J--------)=—,

mn2mn2mn2\mn2

当且仅当4竺〃=m',即加=4:"=2:时，等号成立，

mn33

所以34+上I最小值等于01

mn2

故选：D.

13一

7.（2023•全国•高三专题练习）若x>0,y>0,且—+—=1,则3尤+y的最小值为（）

xy

A.6B.12C.14D.16

【答案】B

【分析】根据基本不等式"1"的用法求解即可.

13

【详解】解：因为尤>o,y>o,且一+二=1,

xy

所以3%+〉=（3尤+>）[工+3]=6+2+铝26+2U--=12,

（XyjxyY尤y

当且仅当>=3x=6时等号成立，

所以，3x+y的最小值为12.

故选：B

8.（2023春•广东广州•高三统考阶段练习）已知。>0,b>0,且a+»=1,则9的最

ab

小值为（）

A.472B.yC.3-20D.3+2也

【答案】D

【分析】利用基本不等式求解.

【详解】因为a>0,b>0,且a+2b=l,

所以—H—=(—F—)(<2+2b)=3+—+y->3+2^2,当且仅当竺=，，BPa=y/2-l,b=~―

abababab2

时等号成立，

故选：D.

41

9.（2023•全国•高三专题练习）已知正实数x,y满足2x+y=3,则——+-的最小值为（）

x+yx

2828

A.—B.—C.3D.1

93

【答案】C

【分析】由/一+，==（-一+L]（x+y+x）=:〔5+上+9],再由基本不等式即可求

x+yx3（x+yx）3（x+yx）

出答案.

【详解】因为2x+y=3,则：（2x+y）=l

411(41\、1(_4x11厂—I4x%+y、.

则------+—=-+-\(x+y+x)=-\5+-------+——->-5+2---------------=3,

x+yx----------------x)3(x+yxJ3(%)

4x_x+y

当且仅当〈尤+y%即无=y=i时等号成立.

2x+y=3

41

所以----+一的最小值为3.

x+yx

故选:C.

1?

10.（2023•全国•高三专题练习）已知〃>0,b>0且--+=1,那么a+b的最小值

fQ+11+b

为()

A.272-1B.2C.272+1D.4

【答案】C

【分析】由题意可得〃+6=(a+l+b+l)[—[+4]-2,再由基本不等式求解即可求出答

案.

1?

【详角牟1因为〃>0,b>0,+---=1,

〃+11+b

贝Ia+b=a+l+Z?+l—2=(tz+l+Z?+l)；~——j—2

=3+丑』"1一2

1+Z7Q+1

=辿创+经+1叵］而+「2行+1.

1+Z?Q+1\1+Z?Q+1

2（。+1）6+1f72

当且仅当<1+b”+1即，"一三时取等.

---I-——=1b-夜

、〃+11+b

故选：C.

11.（2023・全国•高三专题练习）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量

最值时有很广泛的应用，其表述如下：设mb,x,y>0,贝|且+£2e±@-,当且仅当@=2

xyx+yxy

291

时等号成立.根据权方和不等式，函数/。）=±+一1（0<》<力的最小值为（）

xl-2x2

A.16B.25C.36D.49

【答案】B

【分析】将给定函数式表示成已知不等式的左边形式，再利用该不等式求解作答.

则《+4（。+可当且仅当Y时等号成立,

【详解】因a,b,x,y>0,

xyx+y

又0<x<g,即1—2x>0,

2232(2+3)2?31

于是得f(x)-..1------N=25,当且仅当初K,即X、时取"=”，

2xl-2x2x+(l-2x)

291

所以函数”x）=一+1二一（0〈尤<彳）的最小值为25.

xl-2x2

故选：B

,114

12.（2023•全国•高三专题练习）已知a+b=l,a>Q,b>0,贝1J—+丁+——方的最小值为

aba+b

（）

L15厂

A.12B.6+4V2C.-D.4+6V2

【答案】B

【分析】由已知得出S+62）+2M=l,将所求代数式化为、+/^,与代数式

+/）+2向相乘，展开后利用基本不等式可求得:+g+4

的最小值.

a2+b2

【详角军】因为〃>0,匕>。且a+b=l,贝！］（。2+/）+2〃6=1,

所以，:+「4a+b414=^2ab+^a2+〃)]]14

----1------=---1---------1--2---2

a2+b2aba1+b2aba1+b2aba+b

,Saba2+b2,小工.3=6+40，

=6+—~-+--------->6+2,

a+baba+bab

当且仅当/+/=20次,时，等号成立,

ii4

因此，一+7+力一万的最小值为6+4起.

aba+b

故选：B.

21

13.（2023•全国•高三专题练习）已知正数x,y满足------1------=1,贝”+》的最小值（）

x+3y3x+y

A3+203+V23+2拉3+V2

RcD.

,44・88

【答案】A

【分析】利用换元法和基本不等式即可求解.

21

[详解]令％+3y=根，3x+y=n,则一+—=1,

mn

即加+〃=(x+3y)+(3x+y)=4(%+y),

m+nmn21mIn1、否m2〃+3

团x+y=---—+—1=—+——+——+—>2,

44m+n24n4m44n4m4

=2」+」=①

2V244

当且仅当F=?,即加=2+应，"=3+1时，等号成立,

4M4m

故选：A.

1

14.（2023春•广东揭阳•高三校考阶段练习）已知实数％20>y,且+，=1,则无一y

x+21-y

的最小值是（）

A.0B.1C.2D.4

【答案】B

【分析】根据题意，将所求式子进行整理变形，再利用基本不等式即可求解.

11(\1

【详解】y,等式一-+-=1恒成立，.,.x-y+3=(x+2+l-y)--+-——

x+21-y'\x+21-yJ

由于x20>y,所以l-y>0,2+x>0,

(11Vci\x+2l-y_/x+2l-y.

-------1-------(x+2+l-y)=2d----------1--------22+2/---------------=4,

(x+2l-y7l-yx+2\l-yx+2

当且仅当无+2=l-y时，即x=0,y=-l时取等号.

:.x-y+