2024-2025学年北京市丰台区某中学高三年级上册开学检测数学试卷（含答案）

2024-2025学年北京市丰台区怡海中学高三上学期开学检测

数学试卷

一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.设集合4={x\-l<x<3],B={1,2,3,4},则4nB=()

A.{1}B.{1,2}C.{2,3}D.{1,2,3}

2.已知j=-l—i,贝(Jz=().

A.—ITB.-1+iC.ITD.1+i

3.已知随机变量X服从二项分布则尸(X=2)=()

A.1B.7C.D.

o4oo

4.“a>6”是“血>的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

5.在(#—2)5的展开式中，尤2的系数为()

A.-10B.10C.-80D.80

6.为了得到函数丫=sin(2x+§的图象，只要把函数y=sin2x图象上所有的点()

A.向左平移着个单位B.向左平移名个单位C.向右平移着个单位D.向右平移方个单位

7.一个盒中有10个球，其中红球7个，黄球3个，随机抽取两个，则至少有一个黄球的概率为()

A三B—C—D—

5-15°，15-15

8.若函数y=/(x),其中-2x-41nK,则尸(函＞0的解集为().

A.(0,+oo)B.(-1,0)U(2,+oo)

C.(2,+8)D.(-1,0)

9.在平面直角坐标系xOy中，角a的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P

(，一|)，贝1|cos(兀-2a)=()

A--2-5B—-2-5C——25D-—25

10.函数/(x)=lnx与函数g(x)=mK2+，有两个不同的交点，则小的取值范围是()

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A.(-8点B.(―8,白)C.(0点D.(o,右)

二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

11.设离散型随机变量X服从两点分布，若P(X=0)=今则P(X=1)=.

12.已知(1+久产的展开式各项系数之和为64,则几=,展开式中含炉项的系数为.

13.已知角a的顶点在坐标原点，始边在x轴的正半轴上，终边与单位圆交于第二象限的点P,且点P的纵坐

标为2，则cosa=.

14.已知函数/(x)=sin(2x+<^<0),满足：VxGR,/Q)W/备)恒成立，则R,函数/

0)在区间(-兀，兀)内有个零点.

15.已知函数/(x)则下列命题正确的有

①函数人比)有且只有两个零点

②函数/0)在(-1,2)上为增函数

③函数人吗的最大值为5e-2

④若方程/(久)=a有三个实根，贝必e(0,5e-2)

三、解答题：本题共6小题，每小题12分，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.在△4BC中，避acosB=6sin4

⑴求NB；

(2)若6=2,c=2a,求△ABC的面积.

17.设函数/(%)=/-3(2刀+b(aHO).

(1)若曲线y=f(久)在点(2)(2))处与直线y=8相切，求a力的值；

(2)求函数/(尤)的单调区间与极值点.

18.已知函数/(%)=sin2x+2sinxcosx—cos2%.

(1)求/(X)的最小正周期；

(2)从条件①，条件②，条件③选择一个作为已知条件，求小的取值范围.

①/(%)在(0即)有恰有两个极值点；

②/'(%)在(0即)单调递减；

③人%)在(0,总恰好有两个零点.

注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.

19.如图，在"BC中，乙4=等AC=@CD平分乙4cB交4B于点D,CD=邓.

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A

D

BC

⑴求NADC的值；

(2)求ABCD的面积.

20.某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份,

记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：

赔偿次数01234

单数800100603010

假设：一份保单的保费为04万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔

偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率.

(1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率；

(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.

⑷记X为一份保单的毛利润，估计X的数学期望E(X)；

(ii)如果无索赔的保单的保费减少4%,有索赔的保单的保费增加20%,试比较这种情况下一份保单毛利润

的数学期望估计值与⑷中E(X)估计值的大小.(结论不要求证明)

21.已知函数f(x)=x+In(ax)+-xex.

(1)当a=1时，求曲线y=/(久)在点(1)(1))处切线的斜率；

(2)当a=—1时，讨论/(久)的单调性;

(3)若集合＞-1｝有且只有一个元素，求a的值.

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参考答案

1.B

2.C

3.C

4.B

5.4

6.A

ID

8.C

9.B

10.D

ll.|

12.6；15

13.—G

,A冗

14.-6;;;;;;4

15.①②④

16.解：(I)在△ABC中，由正弦定理，

因为巡acosB=bsinA,

所以逆sinZcosB=sinBsinA,

因为s讥/4。0,

所以避cosB=sinB,

所以tcmB=避，

因为0VB<71,

所以3=f,

(II)因为b=2,c=2a,由余弦定理〃=小+c2-2accosB,

可得4=a2+4Q2-2ax2ax-=>a2=

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所以a=夺，c=竽，

所以S3BC*acsin8=卜竽x竽义字=竽.

17.(l)/'(x)=3x2-3a,

•••曲线y=f(x)在点(2)(2))处与直线y=8相切，

」,(2)=0C3(4-a)=0

■,(/(2)="(8—6a+b=8，

a=4,b=24.

(2)v('(%)=3(x2-a)(aC0),

当a<0时，f'(x)>0,函数〃>)在(―叫+8)上单调递增，此时函数/(x)没有极值点.

当a>0时，由/(%)=0=%=±瓜

当%G(-8,一8)时,?(x)>0,函数/(%)单调递增，

当久G(一",")时，f(x)<0,函数/(%)单调递减，

当%E(应+8)时,((%)>0,函数/(%)单调递增，

即函数/(%)的增区间为(―8,—JH),+8),减区间为(―

此时％=-也是/(%)的极大值点，X="是/(%)的极小值点.

18.(1)因为/(%)=sin2x+2sinxcosx-cos2x

=2sinxcosx—(cos2%—sin2%)=sin2x—cos2x

=V2sin(2x-J).

所以“x)的最小正周期为e=〃.

(2)因为久e(0,m),所以

选择①，因为/(%)在(0即)有恰有两个极值点.

所以多<2THV<:

若选择②，因为当2支-聂(-粉)时，所)函数递增,

所以/(久)在(0即)不可能单调递减，所以②不符合题意;

选择③，因为/(%)在(0河)恰好有两个零点.

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7T

所以7T<2m--7<2TT.

所以誓W等.

oo

CD

19.(1)在△4DC中，由正弦定理得

s"inJ^-Z；iL”zcsinzA'

所以sin“DC=收券3=/骐=*,

LL，[3L

TV

因为0<N4DC<3,

TV

所以NA。。=7；

4,

⑵由⑴得乙4CD=Z-BCD=兀一竽一，=若，

由题设，ZB=^ACB=1，即“BC为等腰三角形,

所以BC=2xACxcos看=的，

sinf__勺=史x史一工x这=

、3"22224

所以48。。的面积5"°=，3。・。£)-sinzBCD=)义#xpsin"=3(f—D.

20.(1)设4为“随机抽取一单，赔偿不少于2次”，

由题设中的统计数据可得PQ4)=诉舒—=A

(2)(i)设；为赔付金额，则阿取0,0.8,1.6,2.4,3,

由题设中的统计数据可得P(f=0)=忍=和化=08)=黑=2，

P(§=")=搞得,P(f=2.4)=就=亮，

P(f=3)=就=击，

故%)=0xa+0.8x表+1.6x.+2.4x六+3x击=0.278

故E(X)=0.4-0.278=0.122(万元).

(ii)由题设保费的变化为04Xx96%+0.4x|x1.2=0.4032,

故E(Y)=0.122+0.4032-0.4=0.1252(万元)，

从而E(X)<E(y).

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21.(1)当a=1时，/(%)=x+Inx+xex,

所以(。)=1+《+(1+x)ex,得到r(1)=2e+2,

所以曲线y=/(尤)在点(1/(1))处切线的斜率为2e+2.

(2)当a=-l时,f(%)=x+ln(-x)-xex,易知/'(%)的定义域为(一8,0),

又「(X)=1+J-(1+x)ex=(1+x)C-ex),

因为％6(-8,0),所以§一/<0,

所以xe(—8,一1)时，/(x)>o,xe(-i,。)时，尸(无)<0

所以〃久)的单调递增区间为(一8