2024-2025学年江苏省苏州市高三（上）期初数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省苏州市高三(上)期初数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知i是虚数单位，则平等于()

A.1+2iB.1—2.iC.-1+2iD.-1—2i

2.已知集合A={x|2<%<6},B={x\x2—4x<0},则/八B=()

A.(0,6)B.(4,6)

C.[2,4)D.(—8,0)U[2,+8)

3.将函数/(%)=s讥%的图象先向左平移A个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为

原来的得到函数y=g(x)的图象,则混)=()

A.一挈B.1C.WD.-1

22

4.已知向量2=b=(x-2,x2),则"x=-2"是"之〃3"的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.“绿水青山就是金山银山”的理念深入人心，人民群众的生态环境获得感、幸福感、安全感不断提升.某

校高一年级举行环保知识竞赛，共500人参加，若参赛学生成绩的第60百分位数是80分，则关于竞赛成绩

不小于80分的人数的说法正确的是()

A,至少为300人B.至少为200人C.至多为300人D.至多为200人

6.已知正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，则该正四棱锥侧棱和底面所成角的余弦值为()

A.乎B.|C.塔D.理

7.已知函数/(*)=e*+e(x-a-l)(e为自然对数的底数)，g(x)=InQe")-a的零点分别为久i，冷，贝吟的

最大值为()

12

A.eB.-eC.1D.e-

8.在平面直角坐标系汽。y中，A,B为双曲线C：/-y2=1右支上两点，若45=6,贝!J/8中点横坐标的最

小值为()

A.2^/2B.回C.绊D.v

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

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2

9.已知二项式（x+国）6的展开式，贝|J（）

A.二项式系数最大的项为第3项B.常数项为第5项

C.展开式中含久3的项为60炉D.展开式中所有项的系数和为64

10.如图，已知直线4是小6之间的一定点，4到h的距离4E=1,4到&的距离4。=2.B,C分别

A.若a=30°,AB1AC,贝ijAB=2

B.若AB1AC,则△ABC面积的最小值为2

C.若△ABC为等边三角形，则tcma=§

D.若4BAC=60。，则++京的最大值为1

Zi£>/IC

111

11.若数列｛aj满足：ai=l,对VTH,ri6N*有^---=7+1成立.则（）

un+mwnum

A1

A.^2024—2024

B.3nEN*,使得a'+超+...+W+i>§

C.对VnGN*,都有a1+做+的+-■-+册>ln（n+1）

D.对VTIGN*,都有效+的+。4+…+。九+1<In（71+1）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若B=30°,b=E，c=2,则a=.

13.已知直线/：（2/c+1）%-4一1=0（其中/c为常数），圆。：%2+y2=8,直线/与圆。相交于4B两点,

则长度最小值为.

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14.如图，线段力D,BC相交于0,且AB,AD,BC,CD长度构成集合

{1,5,9,吗，^ABO=/.DC0=90°,贝收的取值个数为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

2024年7月26日第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎开幕，为了保证奥运赛事的顺利组织和运行，以及

做好文化交流、信息咨询、观众引导等多方面的工作，每项比赛都需要若干名志愿者参加服务，每名志愿

者可服务多个项目.8月7日100米跨栏、200米、400米、800米、1500米、5000米比赛在法兰西体育场举

行.

(1)志愿者汤姆可以在以上6个项目中选择3个参加服务，求汤姆在选择200米服务的条件下，选择1500米服

务的概率；

(2)为了调查志愿者参加服务的情况，从仅参加1个项目的志愿者中抽取了10名同学，其中6名参加5000米

服务，4名参加800米服务.现从这10名同学中再选3名同学做进一步调查.将其中参加800米服务的人数记作

X,求随机变量X的分布列和数学期望.

16.(本小题15分)

如图，在三棱锥。-ABC中，△ABC是以4B为斜边的等腰直角三角形，△4BD是边长为2的正三角形，E为

4D的中点，F为DC上一点，且平面BEF1平面4BD.

(1)求证：AD1平面BEF；

(2)若平面力BC，平面4BD,求平面BEF与平面BCD夹角的余弦值.

B

C

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17.(本小题15分)

已知函数/'(x)=sinx+ex-4x,e为自然对数的底数，函数g(x)=x3-ax+3.

(1)若/(X)在(。，1)处的切线也是9。)的切线，求实数a的值；

(2)求/(X)在(-兀，+8)上的零点个数.

18.(本小题17分)

在平面直角坐标系"Oy中，椭圆,+，=l(a>b>0)的离心率为岑，A为椭圆左顶点，已知点P(l,2),且

直线尸4的斜率为5过点M(t,0)作直线/交椭圆于B,C两点(B在x轴上方，C在%轴下方)，设PB,PC两直线分

别交椭圆于另一点D,E(B,E分别在线段PD,PC上).

(1)求椭圆的标准方程；

(2)当t=l时，若的勺斜率小于零，且APBC的面积为求证：乙BMD=LDPC；

(3)若存在实数九使得而=4沆，求此时直线DC的斜率.

19.(本小题17分)

如果数列5｝满足点+iWa/n+25GN*),则称之为凸数列.现给定函数八支)及凸数列｛a』它们满足以下

两个条件：

<CLyi<CLn+1；

②对Vn>2,有|/(a“)—/(册+1)|三斗厮―厮+ilw1/(厮_1)—/(册)1(2为正常数).

(1)若数列｛勾｝满足勾>1，与+1=3%+抒且数列&｝满足cn=1喂早，请判断&｝是否为凸数列，并

说明理由；

(2)若|/a)—/a)|=2,求证:求2色+1-七1>18；

(3)对任何大于等于2的正整数。，且iWj,求证：I/Q)一/(切|Wa一矶

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参考答案

1.0

2.C

3.4

4.2

5.D

6.D

7.C

8.4

9.BC

10.BCD

11.ACD

12.373

13.24

14.6

15.解：(1)设“汤姆选择中有200米服务”为事件4“汤姆选择中有500米服务”为事件B,

则PG)=1=pP(4B)=登=£

汤姆在选择200米服务的条件下，选择1500米服务的概率为：

(2)X的值可能为0,1,2,3,

P(X=0)=鬻=：,

P(X=1)=甯=1，

P(X=2)=看=乐

P(X=3)=誉=表，

X的分布列为:

X0123

1131

P

621030

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£(X)=0X|+1X|+2XA+3X^=|.

16.解：(1)证明：因为平面8EF1平面A8D,平面BEFC平面ABD=BE,

因为△4BC为正三角形，E为2。中点，

所以AD1BE,又力Du平面ABD,

所以4。1平面BEF；

(2)取力B中点0,连接C。，D0,

因为△4BC为正三角形，△ABC是以力B为斜边的等腰直角三角形，

则D。1AB,CO1AB,

因为平面ABC1平面48。，平面ABCC平面力BD=AB,

贝UD。1平面ABC,

即。。1AB,DO1CO,

即。C,0A,。。两两垂直，

以040C,。。为空间基底，建立空间直角坐标系，如图所示，

则4(0,1,0),B(0-1,0),C(l,0,0),0(0,0,®

所以阮=(1,1,0),丽=(0,1,4)，

设平面BCD的法向量为元1=(x,y,z),

川(丽•可=0nly+A/3Z=0，

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令x=1,则y--1,z=字，

即蔡=(1,一1,争，

因为AD1平面BEF,

则前=(0,-1,避)为平面BEF的一个法向量，

设平面平面BEF与平面BCD夹角为仇

则cos。=\^s{n,AD)\=|而两|=\J^\、，

即平面BEF与平面BCD夹角的余弦值为工|L

17.解:(l)f'(x)=cosx+ex—4,则，(0)=cosO+e°—4=—2,

所以切线方程为y=-2x+l,

又g'O)=3x2-a,设直线y=-2%+1与y=g(久)图象的切点为(久o，yo),

则已变U二2~-2久+V解得{度机

(久0—(ZXQ十D——乙10十—。

(2)/'(%)=cosx+ex—4,

当一7T<%<0时，cosx<1,ex<1,/'(%)<0,所以函数/(%)单调递减，

所以/(%)>/(0)=1,此时函数"%)无零点；

当%>0时，设八(%)=cosx+ex-4,则"(%)=—sinx+ex>0,九(%)单调递增，即/'(%)单调递增,

r(0)=-2,尸(2)=cos2+e2-4>0,

因止匕/'(%)在(0,+8)即(0,2)在上有唯一零点，记零点为租，gp/^m)=0,

在(0师)上,/'(%)<0,/(%)单调递减，在o,+8)上,广(X)>0,/(%)单调递增，又

/(0)=1>0,/(I)=sinl+e—4<0,/(2)=sin2+e2—4>0,=e7r—4兀>0,

所以/(%)在(0,1)有一个零点，在(1,兀)上有一个零点.

综上所述，/(%)在(一兀，+8)上有2个零点.

18.解：(1)因为4为椭圆左顶点,则4(一见0),又尸(1,2),

所以3=e=多

解得a=2,又离心率e=?=殍，

则c=避,b2=a2—c2=1,

所以椭圆的标准方程为q+川=1；

(2)证明：由题意可知M(l,0),设直线BC：y=/c(x-l)(fc<0),

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(y=/c(x—1)

联立|史+y2=i,化简得(1+4女2)%2—8/^2%+4女2-4=0(*),j=16(3fc2+1)>0,

设BOi,yi)CO：2,y2)，则均+%2=]；晨2,尤1%2=工,

因为△P8C的面积为S=1-PM•四-亚|=|尤1-冷1，

又ZFl=+犯)2—4巧犯=，(泮前—4.祟麦Y，

化简得：64k4—43^-21=0,则上2=1,又k<0,所以k=—1,

则(*)方程即为5久2-8%=0,又B在x轴上方，C在x轴下方，

所以8(0,1),。。,一|),

由于所以1PD,

根据对称性可以得到。(一1),

所以DC1PM,因此M为△PBC的垂心，设。M与PC交于点N,

所以P,B,M,N四点共圆，贝lUBMD=ADPC；

(3)若存在实数九使得旗=4比，贝|有BE〃。配

所以丽=4而，~PE=XPC,

由题意可知，AG(0,1),设。(%2沙2)，。。3,乃)，

由丽=；1而得8(入3+1-尢的3+2-2/1),又B,。均在椭圆上，

、停+达=1

所以‘色叱产"+。乃+2—22)2=f

八八件+黄=1

2

上式变形为&(q+y|)+A(1-A)X3+(l-A^+4A(1-A)y3+4(1-A)=1

2

所以久3+生平+42(1—2)乃+4(1—4)2=1-A,

化简得2&3+16Ay3+13-212=0,

同理可得2丘2+16Ay2+13-214=0,

即直线DC：2Ax+162y+13-21Z=0,

所以DC的斜率为J

o

19.解：(1)因为回>1,6+i=[(bn+第,

n+1

SChlr—]，"+1+1—+嬴)+1—]n/”+—n/„^-

所以j+i—ln^+Li—In藜1尹―In(…)-2E2-2cn,

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因为C”*0,所以数列｛4｝为等比数列，

所以成+1=0%+2,符合凸数列要求，即数列｛0｝为凸数列.

（2）证明：因为0<an<an+i，所以册+iW）斯<+2<即、即+上，

月斤以a九+1—CLfi<CLn+2—a九+1f又>因为）。九<Q九+1，

2

所以|册+1<10n+2-册+11，且，（。2）-/（。3）1<^\a2-a3\<|/（ai）-/（a2）