天津市某中学2023-2024学年高二年级下册期末考试数学试卷（含答案解析）

天津市南开中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合初={-1,04,2},"=卜卜2一7x+10>0},则（）

A.{-1,0,1,2}B.{-1,0,1}C.{0,1,2}D.{152}

2.对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（）

AL5----------1--------------1--------------1--------------1--------------1--------------1--------------O'------------1------------1------------1------------1------------1------------1----------3-

0510152025303505101520253035

相关系数为尸1相关系数为尸2

35

30

25

20

15

10

5

0

相关系数为小相关系数为Q

A.r2<r4<0<r3<r[B.r4<r2<0<r1<r3

C.r4<r2<0<r3<D.々<〃<0<4<々

3.已知集合/={0,片},2={1,4+1,。-1},则“a=l”是=的（）

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.根据分类变量x与y的观测数据，计算得到方=3.974.依据a=0.05的独立性检验，结论

为（）

a0.10.050.010.0050.001

%2.7063.8416.6357.87910.828

A.变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01

B.变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05

C.变量x与F独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05

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D.变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01

5."挂”是我国古代的一■种长度单位，最早见于金文时代，“一挥”指张开大拇指和中指两端

间的距离.某数学兴趣小组为了研究右手一挂长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的

关系，从所在班级随机抽取了15名学生，根据测量数据的散点图发现X和N具有线性相关关

1515

系，其经验回归直线方程为，=6.5x+K且=270,=2550.已知小明的右手一挥

i=li=l

长为20厘米，据此估计小明的身高为（)

A.187厘米B.183厘米C.179厘米D.175厘米

6.下列不等式中成立的是（）

A.若。<b<0,则/>否+加B.若ci<b<0j贝—<—

ab

C.若a>6>0,则2>"+2D.若°>6>0,贝!Ja-2>6

aQ+2ab

7.已知函数/'(x)=xlnx-2x+a2-。，若/（x）W0在xe[l,e[上恒成立，则实数。的取值

范围是（）

A.[-1,2]B.[0,1]C.[0,2]D.[-1,1]

8.为丰富同学们的劳动体验，增强劳动技能，认识到劳动最光荣、劳动最伟大，高二年级

在社会实践期间开展“打填作畦”“移苗定植”“挑水浇园”“插架”四项劳动技能比赛项目.某宿

舍8名同学积极参加，若每名同学必须参加且只能参加1个项目，且每个项目至多三人参加,

则这8个人中至多有1人参加“打填作畦”的不同参加方法数为（）

A.2730B.10080C.20160D.40320

二、填空题

9.已知随机变量X服从正态分布N（2,b）且P（2<XW2.5）=0.3,则尸（X<1.5）=.

10.若FT展开式中的常数项为-160,则实数。=.

11.已知函数/（x）=2alnx-L其中.>（）,b>0,若/'（1）=1,则包呗丝的最小

xab

值为.

12.在南开中学建校120周年即将到来之际，我校举办校史知识竞答活动，每班各选派两名

同学代表共回答4道题，每道题随机分配给其中一个同学回答.甲、乙两位同学代表高二1

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12

班答题，假设每道题甲答对的概率为7,乙答对的概率为；，且每道题是否答对相互独立.记

高二1班答对题目的数量为随机变量X,则X的数学期望为.

13.甲乙两人射击，甲射击两次，乙射击一次.甲每次射击命中的概率是:，乙命中的概率

2

2

是],两人每次射击是否命中都互不影响，则甲乙二人全部命中的概率为；在两人至

少命中两次的条件下，甲恰好命中两次的概率为.

14.若存在实数6,使得关于x的不等式2+lnxWax+6Ve”恒成立，则实数。的取值范围

是.

三、解答题

15.已知函数[@)=(办-6)(%-1),(。,6€11).

(1)若关于x的不等式2办-6>0的解集为(-双1),求/(尤)>0的解集；

(2)若a=l,解不等式/(x)>0的解集.

(3)若°=1,对于xe[l,2],/(x)>6-4恒成立，求b的取值范围.

16.同学们，欢迎大家来到“南德琐艾科学剧场”.在这里，欧阳南德与上官琐艾将为大家上

演统计学史上著名的“女士品茶”试验.

(1)上官琐艾认为：“将茶倒进牛奶里和将牛奶倒进茶里的味道是不同的.”为了验证这一说法,

欧阳南德利用“假设检验”的思想设计了如下试验.他首先提出零假设：“将茶倒进牛奶里和将

牛奶倒进茶里的味道是相同的，即上官琐艾无法判断两种饮品味道的区别.”下面，他准备了

8杯外观完全一致的饮品，其中4杯为“茶奶”(即将茶倒进奶里所得的饮品)，4杯为“奶茶”

(即将奶倒进茶里所得的饮品)，然后请上官琐艾通过品尝味道来从中选出4杯她认为是“奶

茶”的饮品.设随机变量X表示上官琐艾选出的4杯饮品中确为“奶茶”的杯数，随后我们通过

计算尸(X=月化=0,1,2,3,4)的值来对零假设作出判断，其原理为：在零假设下，如果

尸(X=左)的值很小，小到我们可以将其认为是小概率事件，那么我们就有充分的理由拒绝

零假设，即认为上官同学确有区分两种饮品味道的能力.

(i)请求出随机变量X的分布列(概率请用数值表示)；

(ii)当小概率值为0.05时，请你求出上官琐艾至少要选择正确多少杯“奶茶”，我们才有充

分的理由拒绝零假设？该推断犯错误的概率是多少？

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（2）下面进入“剧场花絮”时间，离开剧情，回归现实，两位同学其实都没有区分“茶奶”与“奶

茶”味道的能力，即当他们品尝一杯饮品时，判断正确的概率均为现在，为了不浪费道

具材料，欧阳与上官两位同学请一位剧场观众利用剩下的茶与奶又新制作了9杯饮品（只有

观众知道这9杯饮品中哪些是“茶奶”与“奶茶”），他们决定做一个名为“心有灵犀”的游戏，

规则如下：对于这9杯饮品，欧阳与上官二人逐杯进行品尝（每一杯二人均品尝），并独自

作出判断，如果二人对同一杯饮品的判断均是正确的（即判断对了其为“茶奶”还是“奶茶”）,

那么他们共同积1分，否则积0分；在进行所有品尝前，他们要先选定一个“心有灵犀数”，

如果在品尝完所有饮品后所获得的总积分恰为该“心有灵犀数”，那么他们将“携手取胜”.请

问，欧阳、上官二人应该选择哪一个“心有灵犀数”才能最有机会“携手取胜”呢？

17.已知函数/（X）=尔-（a+2）x+lnx,其中aeR.

⑴讨论/'（x）的单调性；

（2）若函数8（尤）=/卜）-“/有两个不同的零点公，x2.

①求实数a的取值范围；

2

②证明：xtx2>e.

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参考答案:

题号12345678

答案BABBBDBB

1.B

【分析】本题解出一元二次不等式，求得集合N,再求其与集合M的交集即可得出结果.

【详解】因为N={x|x〈2或r〉5},集合M={-1,0,1,2},

因此，Mn2V={-1,0,1).

故选：B

2.A

【分析】根据题意，结合给定的散点图，结合相关性的概念，即可求解.

【详解】由给出的四组数据的散点图，可得：

图1和图3是正相关，相关系数大于0,

图2和图4是负相关，相关系数小于0,

图1和图2的点相对更加集中，所以相关性要强，所以6接近于1,弓接近于-1,

由此可得々＜〃＜%＜，;.

故选：A.

3.B

【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断即得.

【详解】当“=1时，4={0,1}]={0,1,2},则/=8；

反之，当N=3时，。+1=0或。-1=0,解得。=-1或。=1,

若。=一1,/={0,1},5={0,1,-2},满足/=若。=1,显然满足/=

因止匕a=—1或0=1,

所以“a=1”是“A=B”的充分不必要条件.

故选：B

4.B

【分析】根据a=0.05找出对应的乙的值，并比较4与卡方值得大小,进而由卡法的定义推

出相应结论即可.

【详解】因为&=0.05时/=3.841,所以力2=3.974)％=3.841,

答案第1页，共10页

所以变量X与y不独立，且这个结论犯错误的概率不超过0.05.

故选:B.

5.B

【分析】根据题意求出37-进而可得回归直线方程，再将x=20代入，即可求解.

_11511151

【详解】由题意，7=—=--x2550=170,

13i=i1113j=]13

又y=6.5x+6,即170=6.5x18+0,解得3=53,

故经验回归直线方程为j>=6.5x+53,

当x=20时，9=6.5x20+53=183,估计小明的身高为183厘米，

故选：B

6.D

【分析】作差结合已知条件比较大小可判断ABCD.

【详解】对于A,若贝！一6<0,。+6〈0,

以苏+Z?3—a2b—ab?=/(Q—6)+Z?2(b—a)

222322

=(fl-Z>)(a-Z>)=(a+6)(fl-&)<0,+b<ab+ab,故A错误;

对于B,若。<6<0,则6-Q〉0,ab>0,

所以工一：=与£>0,所以故B错误；

ababab

对于C,若a〉b〉0,贝!<0,a+2>0,

b6+26(a+2)-(6+2)a20-a)八2bb+2

所以"_R_-------------------------<0,所以一<一-故c错误;

a(a+2)a@+2)aQ+2

对于D,若Q>6>0,则。-6>0,。+6>0,

,b,a,八(a-b)(a+b),Ja+b\

CC以HQ------bH—=(ci-bjH--------------------(a-b]\1H--------->0,n

ababVabJ

所以。-->b--,故D正确.

ab

故选：D.

7.B

【分析】分析可知/(X)max〈0,利用导数求出函数/(力在[1，/]上的最大值，可得出关于

实数。的不等式，解之即可.

答案第2页，共10页

【详解】因为/(x)=xlnx-2x+/-a,则/(x)=lnx-l,其中xe[l,e2],

令/»>0,解得e<xWe2,令/'(x)<0,解得lVx<e.

所以/'(x)在[l,e)上单调递减，在(e,e1上单调递增，

2222

因为=/(e)=a-a,所以，/(^)max=/(e)=a-a,

因为/'(x)WO在xe[l,e2]上恒成立，所以，/(x)111ax=/-a<0,解得OVaVL

故选：B.

8.B

【分析】分两种情况根据分组与分配问题的求解方法求解即可.

【详解】若没有人参加“打填作畦”，则有=1680种不同的方法,

C氾C；人；+笠£6[=8400种不同的方法,

若有一人参加“打填作畦”，则有C；

又A2)

所以这8个人中至多有1人参加“打填作畦”的不同参加方法数为1680+8400=10080.

故选：B.

9.0.2/1

【分析】根据正态分布的性质计算即可.

【详解】因为正态分布曲线的对称轴为x=2,

P(2<X<2.5)+尸(X>2.5)=0.5,P(2<XM2.5)=0.3,

所以P(X>2.5)=0.2,所以P(X<1.5)=P(X>2.5)=0.2.

故答案为：0.2.

10.1

【分析】求得二项展开式的通项，结合通项求得，•的值，代入列出方程，即可求解.

【详解】由二项式展开式的通项为=C[(2x)j(-乡，=(-42~加-2,,

令6-2厂=0,可得厂=3,代入可得方=(-a)323或=一160/=一160,解得。=1.

故答案为：1.

11.18

答案第3页，共10页

【分析】首先求出导函数，得2〃+6=1,然后利用力”的代换结合基本不等式求最值即可

2ab

【详解】由/(x)=2alnx—得/'(%)=

又/'(1)=1,即/'(1)=2Q+6=1,a>0,b>0,

(2(7+1)(6+1)(2a+2a+6)(b+2Q+9(4Q+9(26+24

故

ababab

4a+b26+2〃.b22a\88〃〃2fb2t组］8,

4+-2+——=110A+—FT10+2

ababbaba

1

8。2ba——

4

当且仅当ba时，即,时,等号成立,

2a+b=lb=-

2

则（2。+1）（6+1）的最小值为18

ab

故答案为：18

12'?

（7，由题意由二项分布的期望公式

【分析】先计算答对某道题的概率4

12

求解即可.

【详解】高二1班答对某道题的概率耳=191；+132义.=高7

乙乙乙JX乙

由题意知，X的可能取值为0,1,2,3,4,

则—“壮77

,所以E(X)=4XF="

7

故答案为：—

3

13.

67

【分析】利用互斥事件的概率加法公式、相互独立事件的概率乘法公式，分别计算对应概率,

即可选出答案.根再根据条件概率的计算公式即可求解.

【详解】甲射击目标恰好命中两次的概率为3><；=：'则甲乙二人全部命中的概率为

121

—X—=—

436

两人至少命中两次为事件4甲恰好命中两次为事件

B,P(A)=1-P(A)=I——x—x——2x—X—x----X—X—=一

v7v722322322312

答案第4页，共10页

1111123

P[AB)=—X—X—HX—x—

22322312

3

所以外")=常=号=3

12

故答案为：：1,土3

67

14.\<a<e

【分析】令“x)=2+lnx,g(x)=e"求出函数令(x),g(x)的公切线的斜率,再结合图形求出

。的范围.

【详解】令〃x)=2+lnx,g(x)=e',依题意，直线>=如+6的斜率在函数〃x),g(x)图象公

切线斜率之间,

设公切线与函数/(无),g。)图象相切的切点分别为(再,2+1-),(马户)，

求导得f'(x)=Lg'(x)=e*,显然切线y-W=产a-工?)过点&,2+lnxJ,

x

,x1,

即2+lnX]-e*2=e*(X]—工2),又e"=一,且X2=-111占，

再

于是2+lnX]----=—(X]+Inxj,整理得(1-----)(l+lnxJ=O,解得/=1或国=,，

X[X]X]e

因此两条公切线4,的斜率分别为/=1，鱼=e,如图，

观察图象，得当14aWe时，存在实数6,使得关于尤的不等式2+lnxWax+6We，恒成立,

所以实数。的取值范围是1WaVe.

【点睛】思路点睛：解决过某点的函数作)的切线问题，先设出切点坐标(%,%),求导并求

出切线方程y-%=/'(%)(x-%),然后将给定点代入切线方程转化为方程根的问题求解.

15.⑴。，2)；

(2)答案见解析；

答案第5页，共10页

(3)S3)

【分析】(1)根据一元一次不等式的解法，得到。<0且6=2°,再结合一元二次不等式的

解法，即可求解；

(2)化简不等式为(x-6)(x-l)>0,分类讨论，即可求解;

14

(3)根据题意，转化为xe[rl,2]时，6<x+2-l恒成立，结合基本不等式，即可求解.

【详解】(1)因为不等式2依-6>0的解集为(一吗1),可得。<0且6=2°,

因为/(x)=("-6)(xT),所以/(x)>0,等价于(x-2)(x-l)<0,

解得l<x<2,即不等式/卜)>0的解集为。,2).

(2)当”=1时，不等式/(力>0,即为

①当6>1时，不等式的解集为(-%l)U(6,+s)；

②当6=1时，不等式的解集为(华，1)D(L+8)；

③当6<1时，不等式的解集为(-*6)UQ,+8).

(3)由题意，当xe[l,2]时，/(尤)>6-4恒成立，即x?-(b+l)x+4>0恒成立，

即xe[l,2]时，6<》+±—1恒成立，

X

由基本不等式得x+3-122、1工-1=3,当且仅当x=W即x=2时，等号成立，

XVXX

所以6<3,所以实数6取值范围是(-8,3).

16.(1)(i)分布列见解析；(ii)4杯；5

⑵2

【分析】(1)(i)求出X的所有可能取值后计算对应概率即可得其分布列；(ii)将尸(、=人)

的概率与0.05比较大小即可得解；

(2)二人所获得的总积分符合二项分布，计算两人对某一杯饮品判断均正确的概率后可得

其分布列，即可计算其概率的单调性，即可得解.

【详解】(1)(i)X的可能取值为04,2,3,4,

答案第6页，共10页

r4iC'c3：8

尸（x=o）=N=上,P（X=1）=N

；

''C70535

P（X=2）=喑Lg尸W=3”等二g尸（X=4）=*',

则其分布列为:

X01234

181881

P

7035353570

11Q21

（ii）由——<——=0.05,—>—>—=0.05,

7020353520

故上官琐艾至少要选择正确4杯“奶茶”，我们才有充分的理由拒绝零假设,

该推断犯错误的概率为、;

（2）设y为二人所获得的总积分，则y可能为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,

两人对某一杯饮品判断均正确的概率P=gx；=:，则…叼1，

4

9—加

3

则尸"=加）=玛，其中加e{（M,2,3,4,5,6,7,8,9},

4

则当〃?e{0,1,2,3,4,5,6,7,8},

9!3

----------x—

P（Y=m）!（9-m）!4_3@+1）

有

9!

F（7=m+l）x]_9-m

94（根+1）!（8-机）！4

令3（加+1）3

<i,解得加三；,故当机=2时，尸（丫=加）有最大值,

9-m

即欧阳、上官二人应该选择2为“心有灵犀数”才能最有机会“携手取胜.

P（Y=m）

【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于通过解出v1得到其概率的单调性,

P（y=m+l）

即可得解.

17.（1）答案见详解

-2,1-2j；②证明见详解

答案第7页，共10页

【分析】（1）求导，分类讨论最高项系数的符号和两根大小，利用导数分析原函数的单调性;

（2）①分析可知。+2=皿，构建G（x）=@±（x＞0）,利用导数判断G（x）的单调性和最值,

2卢-1）

结合图象分析求解；②分析可知原不等式等价于In三＞2（X2-=」,换元令

龙1%+西上+i

不

”巡＞1,构建尸⑺=|班-吟D,利用导数判断其单调性，结合单调性分析证明.

【详解】（1）由题意可知：/（"的定义域为（0,+功，且

厂（x）=2办一（.+2）+，=（2xT）（axl）,

若则“X-1W0,

当0＜x＜g,则r（x）＞0；当x＞；，贝（无）＜0;

可知/'（X）在（0,£|内单调递增，在内单调递减；

若a＞0,令/，（x）=0,解得x=:或x=L

2a

当即0＜。＜2时，令/'（x）＞0,解得0＜x＜］或无〉工令/'（x）＜0,解得:＜尤＜_L；

a22a2a

可知/'（X）在。内单调递增，在、,J内单调递减；

当）=；，即a=2时，则广（同=包北20，

可知/'（X）在（0,+。）内单调递增；

当工＜（，即a＞2时，令/'（x）＞0,解得0＜x＜1或x＞:；^r（x）＜0＞解得!＜尤＜（；

可知/'（》）在。内单调递增，在［,£|内单调递减；

综上所述：若维0,小）在内单调递增，在［,+，］内单调递减；

若0＜a＜2,/（X）在（0,£|,&,+3内单调递增，在g,£|内单调递减；

若“=2,〃x）在（0,+动内单调递增；

若a＞2,/（x）在［o,£|,