2025年高考数学一轮复习：课时作业二十 导数的函数零点问题

二十导数的函数零点问题

(时间：45分钟分值:40分)

_y-L[___

1.(10分)(2023•陇南联考)已知函数加加£R)讨论作)的零点个数

e

【解题指南】令人x)=0,可得。W，令g(x)开，利用导数的方法研究其单调性

ee

及最值，从而讨论。的取值范围,进而得到函数零点的个数.

【解析】令启)上二-4=0彳导a-久：：

ee

设则gG)_e(、"一；,

e(e)e

当x>0时,g(x)<0,当x<0时,gG)>0,

所以g(x)在(-8,0)上单调递增，在(0,+8)上单调递减，所以g(x)<g(0)=l,

而当x>-l时,g(x)>0;当x<-l时,g(x)<0.

当》一-8时£(%)--8；当》一+8时£(%)—0,

所以g(%)的大致图象如图所示.

①当a>\时，方程g（x）=a无解，即兀r）没有零点；

②当a=l时，方程g（x）=a有且只有一解，即/（%）有唯一的零点；

③当0<«<1时方程g（x）=a有两解，即加）有两个零点；

④当a<0时，方程g（x）=a有且只有一解，即/（%）有唯一的零点.

综上，当a>\时4%）没有零点；

当a=l或a<0时段）有唯一的零点；

当0<«<1时〃）有两个零点.

【加练备选】

已知函数/（工尸cosx+xsinx.

⑴讨论本）在［-2冗,2同上的单调性；

【解析】⑴因为X-x）=cos（-x）-xsin（-x）=cosx+xsinGR,所以｛x）是R上的

偶函数也是［-2匹2瓦］上的偶函数./Xx）=xcos%,当x引0,2冗］时，令人》>0得0<x<2或

会%<2冗;令人）<0得六所以｛x）在呜］和吾,2汨上单调递增在（鬻）上单调

递减因为小）是偶函数，所以当工引-2冗,0）时段）在［-2兀,子］和《0）上单调递减，在

（*,->上单调递增.

综上所述西）在［-2冗,片］,［-*）和g多上单调递减，在（片,-》，呜］和停2兀］上单调

递增.

1

⑵求函数g（%）=/a）-产-1零点的个数.

1

【解析】(2)由⑴得g(-x)y-x)z(-x)2-1=g(x),所以g(x)是R上的偶函数

-TTRTT-TTKIT

①当X引0,2冗］时，令g(x)>0得0<%<目或可<%<2几;令g(x)<0得§<%(手

所以g(x)在呜)和4,2兀)上单调递增，在(若)上单调递减.

因为g(§)>g(。尸O,g(N)=^~X(-多匕X(7)2-r0,g(2兀)=-九2<0,

所以加£(罂)，使得g®)尸0,

所以g(x)在［0,2冗］上有两个零点.

②当％《(2冗,+8)时,g(x尸cosx+xsinx-^x2-l所以g(x)在(2TI,+OO)上没有零

点

由①②及g(x)是偶函数可得g(x)在R上有三个零点.

2.(10分)已知函数"X)=2%3-3%2-12X+加.

⑴若加=1,求曲线MX)在(141))处的切线方程；

【解析】⑴由题意得/(%尸6%2-6%-12,

故八1尸-12,

又当加=1时41尸2-3-12+1=-12,

故所求的切线方程为y+12=-12(x-l),即尸12%.

(2)若函数1%)有3个零点，求实数m的取值范围.

【解析】(2)由题意彳导/(x尸6炉-6%-12=6(%2-%-2)=6(%+l)(x-2),

令/(%尸0得x=-l或％=2,

故当x£(-8,-1)时/(x)>0;当X£(-1,2)时/(%)<0;当工£(2,+8)时/(%)>0,

故当x=-l时,函数加r)有极大值户2x(-l)-3xl-12x(-l)+片加+7,

当x=2时，函数/(%)有极小值/(2)=2x8-3x4-12x2+加=冽-20.

若函数八%)有3个零点，则实数加满足[胃十:二1解得-7<加<20,

IiL-乙U、U,

即实数m的取值范围为(-7,20).

3.(10分X2024•太原模拟)已知函数«r)=x+/+lnx,aWR.

⑴若函数小)在尸1处取得极值，求实数。的值；

2

【解析】⑴因为函数段)在尸1处取得极值了(%)=1工+:^,所以八1尸0,即

XxX

[2[

下心=0,解得4=2,经检验，当。=2时,函数小)在尸1处取得极小值，所以实数a

的值为2.

(2)讨论函数g(x)=f(x)-x的零点个数.

【解析】(2)因为g(x)=f(x)-x,

所以g(%)=1-W+、X>0.

令g(%)=°得a~x3+x2+x,

令h(x)~x3+x2+x,x>Q,

则h'(x)=-3x2+2,x+1=-(3x+1)(x-1).

当x£(0,1)时,/z3>0,3)在(0,1)上单调递增；

当xW(1,+8)时,〃。)<0,3)在(1,+8)上单调递减.

画出函数3)的草图，如图所示,

易得贴)引⑴=1,

并且图象无限靠近于原点，且当工一+8时,力(%)--8.故当a>\时，函数g(x)无零点;

当a=l或400时，函数g(x)只有一个零点;当0<a<l时，函数g(x)有两个零点

4.(10分)(2021•全国甲卷)已知a>0且。声1,函数兀T)=G(X>0).

a

⑴当a=2时，求人x)的单调区间;

2

【解析】⑴当a=2时於)。(%>0),

/(%)—x(I2-xln2)4>0),

2

令/(x)>0得0<x</此时函数於)单调递增,

令/(x)<0得心总此时函数1x)单调递减

77

所以函数小)的单调递增区间为(0,台，单调递减区间为右,+8).

111乙111乙

(2)若曲线y=/(x)与直线产1有且仅有两个交点，求a的取值范围.

【解析】(2)曲线y=/(x)与直线y=l有且仅有两个交点，

可转化为方程k1,即廿=。'(%>0)有两个不同的解，

a

即方程有两个不同的解.

设g(x)T(x>0)则g'(%)上肾%>。)，

xx

1_]nY

令g'(x)=~L。彳导x=e,

X

当0<x<e时g(x)>0,函数g(x)单调递增，

当x>e时,g(x)<0,函数g(x)单调递减，

故g(%)max=g(e)=|,又g⑴=0,当x>e时,g(x)e(0,1),

所以。<?4,即g⑴<g(a)<g(e),结合g(x)的单调性可知l<a<e或a>e,

即。的取值范围为(l,e)U(e,+oo).

【加练备选】

函数_A%)=ax+xlnx在％=1处取得极值.

⑴求八工)的单调区间；

【解析】(1处)的定义域为(0,+8)/(x)=a+lnx+1,由/(1)=a+1=0,解得a=-l,

则_A%)=-x+xlnx,

所以/V尸In%,令人>)>0,解得x>l;

令/(x)<0,解得0<x<l,

所以-)的单调递增区间为(1,+8),单调递减区间为(0,1).

(2)若加-1在定义域内有两个不