2025年高考数学一轮复习：等式性质与不等式性质 专项训练【原卷版】

2025年高考数学一轮复习-L3-等式性质与不等式性质-专项训练【原卷版】

时间：45分钟

基础巩固

一、选择题

1.若％<4<0,则一定成立的不等式是（）

A.x2<ax<0B.xL>ax>c^

C.x2<a2<0D.x2>a2>ax

2.若a,b,c为实数，则下列命题中正确的是（）

A.若a>b,则ac2>bc2

B.若a<6<0,则q2>qb>b2

C.若"*0,则

ab

D.若a<6<0,则

ab

3.若a>Z>0,c<d<Q,则一定有（）

4.有外表一样，重量不同的四个小球，它们的重量分别是4,b,

c,d,已知a+b=c+d,a+d>b+c,a-\-c<b,则这四个小球由重到

轻的排列顺序是（）

A.d>b>a>cB.b>c>d>a

C.d>b>c>aD.c>a>d>b

5.已知a,b,c,d£R,贝U尸=ac+bd,0=—（序+及）（。2+屋）的

大小关系为（）

A.P^QB.P>Q

C.P<QD.PWQ

6.已知实数a,b,c满足a+b+c=O,abc>Q,则1+1十1的值

abc

（）

A.一定是正数B.一定为负数

C.可能为0D.正负不定

7.已知a>0,b>0,c>0,若-<-^—<—,则有（）

a~\~bb-rcc-va

A.c<a<bB.b<c<a

C.a<b<cD.c<b<a

8.甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑

步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度

均相同，则谁先到教室（）

A.甲B.乙

C.同时到达D.无法判断

二、填空题

9.已知若a>b>c,且a+b+c=O,贝1J4ac0.（填

或“=”）

10.已知a,仅满足•一,二则z=a+3£的取值范围

lCa+2pC3,

是•

三、解答题

11.已知三个不等式：①砧>0；②64；③60ad.若以其中两个作

ab

为条件，余下的一个作为结论，请写出两个正确的命题，并写出推理

过程.

12.⑴设巧y<0,试比较（7+产乂%—yj与（%2一72）.（%+））的大小.

（2）已知a>0,b>Q,x>0,y>0且x>y,求证：.

aox~\-ay~\~b

能力提升

13.（多选题）设a,b为正实数，则下列命题中为真命题的是（）

A.若42—62=],则q—6<]；

B.若1=1,则q—XI；

ba

C.若|W—仍=1,则|a—6|<1；

D.若1〃一〃尸1,则|q—b|<l.

14.某学习小组在调查鲜花市场的鲜花价格后得知，购买2枝玫

瑰与1枝康乃馨所需费用之和大于8元，而购买4枝玫瑰与5枝康乃

馨所需费用之和小于22元.设购买2枝玫瑰所需费用为4元，购买3

枝康乃馨所需费用为3元，则43的大小关系是（）

A.A>BB.A<B

C.A=BD.A,5的大小关系不确定

15.某公司有20名技术人员，计划开发4、5两类共50件电子

器件，每类每件所需人员和预计产值如下:

产品种每件需要人每件产值（万元/

类员数件）

1

力类7.5

2

1

B类6

3

今制定计划欲使总产值最高，则力类产品应生产—件，最高产

值为万元.

16.若a>b>0,c<d<0,|Z?|>|c|.

（1）求证：6+c>0；

b+ca~Vd

⑵求证:_____v______

(a-c)2(b—d)2

A—I—「

（3）在（2）中的不等式中，能否找到一个代数式，满足八%〈所求

（。一。）2

式若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由.

(b—dy

2025年高考数学一轮复习-1.3-等式性质与不等式性质-专项训练【解析版】

时间：45分钟

基础巩固

一、选择题

1.若％<。<0,则一定成立的不等式是（B）

A./<办<0B.x2>ax>a2

C.x2<a2<QD.x2>a2>ax

解析：取x=-2,a=~\,则/=4,/=i,ax=2,

：.x2>ax,可排除A,显然C不正确.

又层=1,...亦>决.•.排除D,故选B.

2.若a,b,c为实数，则下列命题中正确的是（B）

A.若a>b,则ac2>bc2

B.若a<b<0,则q2>qb>62

C.若a<b<0,则

ab

D.若"*0,则匕力

ab

解析：,「Ab,当c=0时，ac2=bc2,故A错.

'：a<b<0,：.a2>ab,b2<ab,->7,:>1,纥1,即纥一，「.B正确,

abbaab

C,D错误.

3.若心AO,c<d<0,则一定有（D）

.ab

A.->-B.纪

cdcd

ca.bD.*

c：a>一cdc

解析:方法一：c<d<0,-c>—d>0,

.11

..—>>0n.

~d~c

ric.ab.ab

5Ca>b>0,..>,..

—d—cdc

方法二：令a=3,b=2,c=~3,d=—2.

则日=-1,-=~1,排除选项A,B.

ca

又3=—3,排除选项c.

a2c3dc

4.有外表一样，重量不同的四个小球，它们的重量分别是a,b,

c,d,已知a+b=c+d,a-\-d>b+c,a+c<b,则这四个小球由重到

轻的排列顺序是(A)

A.d>b>a>cB.b>c>d>a

C.d>b>c>aD.c>a>d>b

解析：•.,a+b=c+d,a+介b+c,.*.a+d+(a+b)>b+c+(c+iZ),

即a>c.b〈d.又a+c<b,a<b.综上可得，d>b>a>c.

5.已知a,b,c,d£R,则尸=ac+bd,。='(♦++屋)的

大小关系为(D)

A.P^QB.P>Q

C.P<QD.PWQ

解析：N—02=(qc+bd)2—(a2+Z?2)(c2+屋)=a2c2+2abed+b^d2一

(a2c2+a2d2+b2c2+b2cP)=­a2cP+2abcd—b2c2=—(at/-bc)2C0,所以

p2WQ2,又020,所以。WQ.

6.已知实数a,b,c满足a+b+c=0,abc>0,则1+1十1的值

aDc

(B)

A.一定是正数B.一定为负数

C.可能为0D.正负不定

角星析：V(a-\-b-{-c)2=a2-\-b2-\-c2-{-2ab-\-2bc-\-2ac=0,且苏+夕

+。2>0(由abc>Q知abc均不为0).

.,.aA+bc+ac<0.

.1.1,1_ab-\-bc-\-ac

1•IIn•

abcabc

7.已知a>0,b>0,c>0,若则有（A）

a~\~bb十cc~\~a

A.c<a<bB.b<c<a

C.a<b<cD.c<b<a

解析：由;<;<上可得：+i<;+i<2+i,即

a+bb-rcc-raa-vbb-rcc十a

a+b+ca+b+ca+b+c厂、以八，八,,,,

------<-------<----.因为。>0,b>0,c>0,所以a+6>A+c>c

a+bb+cc+a

+a.由a~\-b>b~\-c,可得a>c.由b+c>c+a,可得6>a.于是有c〈a<b.

8.甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑

步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度

均相同，则谁先到教室（B）

A.甲B.乙

C.同时到达D.无法判断

解析：设寝室到教室的路程为s,步行速度片,跑步速度区，则

11

一s

甲用时九=乙s+乙，乙用时历=2s,

M/%+区

L、

%+心2

九一/2=^^+^^_=葭2nHn+n,

2ki2%％+/

（%+%）2—（%一%）2・s

—s—>0,

2ki^（ki+n）2%侬片+%）

甲用时多.

二、填空题

9.已知若a>Z>c,且a+6+c=0,则〃一公之。.（填或

角翠析：•.•。+6+。=0,:.b=—(Q+C),

/.Z)2=〃2+。2+2ac.

.'.b2—4ac=a2-]rc2—2.ac=(a—c)2.

a>c,(a-c)2>0,/.b2—4ac>G.

—1Wa+£W1,

10.已知a,£满足，一,二则2=a+3或的取值范围是

[lWa+2代3,

解析：设a+3夕="a+£)+k(a+2夕)=(2+/a+(2+2%四九/£

R),

\^=1,A———1,

则.解得，c

丸+2片3,Q2,

所以打+3夕=—(a+.)+2(a+2Q).

又一1W—(a+£)Wl,2W2(a+2或)W6,所以1Wa+3夕W7.故z=a

+3或的取值范围是{z|1WzW7}.

三、解答题

11.已知三个不等式：①仍>0；②£>《③历>〃.若以其中两个作

ab

为条件，余下的一个作为结论，请写出两个正确的命题，并写出推理

过程.

解：答案不唯一.命题一:若ab>0,且。火，

ab

贝|Jbc>ad.

「z7

证明：因为且仍>0,

ab

rd

所以一，ab>7，ab,即bc>ad.

ab

命题二：若ab>0,且bc>ad,则

ab

证明：因为ab>0,所以1>0,又bc>ad,

ab

所以bc--^->ad--^-,即。火.

ababab

12.(1)设x<y<0,试比较(/+产)。一0与(/一72).(%+历的大小.

(2)已知q>0,b>Q,x>0,y>0且1>；,x>y,求证：:.

abx~\~ay-rb

解：(1)方法一：(x2+y2)(x—y)—(x2—y2)(x+y)=(x—y)[A2+/—(x

+y)2]=­2xy(x—y),

因为x<y<0,所以肛>0,

%—y<0所以—2xy(x—y)>0,

所以(/+y2)(x—y)>(x2—y2)(x+y).

方法二：因为巧P<0,

所以x—y<0,x2>y2,x+y<0.

所以(x2+y2)(x—y)<0,(x2—y2)(x+y)<0,

所以0<(/+产)(%—y)=<],

(x2—y2)(x+y)x2+y2+2xy

所以(x2+y2)(x~y)>(x2—y2)(x+y).

(2)证明：bx—ay.

x+aj+bQ+a)(y+b)

因为1>1且q>0,b>0,所以b>a>0,

ab

又因为x>y>0,所以bx>ay>0,

所以-------z—>0,所以—

(x+a)(y+b)x-\-ay~\-b

能逑升

13.(多选题)设a,b为正实数，则下列命题中为真命题的是

(AD)

A.若"一62=1,则4一6<1;

B.若J—1=1,则a—6<1；

ba

C.若@一g=1,则何一句<1；

D.若旧一63尸1,则|q—川<1.

解析：对于A,由题意a,b为正实数,

贝ija2—b2=l=>a—b=-—=>a—b>0=>a>b>0,

a+b

故a-\~b>a—b>0.

若a—b^l,则y21=a+bWlWa—b,

a-vb

这与a+b>q—6>0矛盾，故q—b<l成立.

a

对于B,取特殊值，a=3,b=,则a—b>l.

4

对于C,取特殊值，a=9,b=4时，\a~b\>l.

对于D,•.•|/一/=1,q>0,b>0,

:.a牛b,不妨设a>b>0.

4+qb+b2>a2—2ab-\-b2>0,

(a-6)(q2++b2)>(a-b)(a-b)2,

即a3—b3>(a—b)3>0,l=fa3—b3f>(a—b)3>0,

0<a~b<l,即|a—臼<1.因此正确.

14.某学习小组在调查鲜花市场的鲜花价格后得知，购买2枝玫

瑰与1枝康乃馨所需费用之和大于8元，而购买4枝玫瑰与5枝康乃

馨所需费用之和小于22元.设购买2枝玫瑰所需费用为4元，购买3

枝康乃馨所需费用为3元，则43的大小关系是(A)

A.A>BB.A<B

C.A=BD.A,3的大小关系不确定

解析：设每枝玫瑰的价格为刀元，每枝康乃馨的价格为y元，则

,-2x+y>8,

由题意得,2x=A,3y=B,

4x+5y<22,

整理得x=g,y=j,将其代入不等式组得，

4+2>8,

3一

SR将4+6>8乘以一2与24+5丹<22相加，解得

24+标<22,33

B<6,J毛5<6代入4>8—：中，

解得4>6,故A>B.

15.某公司有20名技术人员，计划开发4、5两类共50件电子

器件，每类每件所需人员和预计产值如下：

产品种每件需要人每件产值(万元/

类员数件)

1

力类7.5

2

1

B类6

3

今制定计划欲使总产值最高，则4类产品应生产四件，最高产

值为330万元.

解析：设应开发4类电子器件工件，则开发5