2024-2025学年湖南省邵阳某中学高三（上）月考数学试卷（8月份）（含答案）

2024-2025学年湖南省邵阳二中高三（上）月考

数学试卷（8月份）

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.若非空集合力，B满足AuB,U为全集，则下列集合中表示空集的是（）

A.AnBC.AnBD.XnB

2.sin40°(tanl0°-6)=()

，1CY入<3一<3

A.--B.-1C___2_

•2D--T

3.已知函数y=+1）的定义域是[2,4],则函数9。）=1般2）的定义域为（）

A.(2,3)B.(2,3]C.(2,3)U(3,6]D.(2,3)U(3,4]

4.下列求导数计算错误的是（）

A.（》=-爰B.（gy=^

7

C.（xZnx）=1+InxD.（tanxY=32K

5.苏格兰数学家纳皮尔（/.Napier,1550-1617）发明的对数及对数表（如表），为当时的天文学家处理“大

数”的计算大大缩短了时间.即就是任何一个正实数N可以表示成N=ax10n（l<a<10,nGZ）,则

IgN=n+lga（0Wlga<l）,这样我们可以知道N的位数.已知正整数是35位数，则M的值为（）

N23451112131415

igN0.300.480.600.701.041.081.111.151.18

A.3B.12C.13D.14

6.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的祛码放在天

平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的祛码放在天平右盘中，再取出一些黄金放

在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.你认为顾客购得的黄金（）

附：依据力矩平衡原理，天平平衡时有WliL=瓶2乙2，其中根1，爪2分别为左右盘中物体质量，。1，乙2分别

为左右横梁臂长.

A.等于10gB.小于10gC.大于10gD.不确定

7.如图，在△ABC中，已知4B=2,AC=5,^BAC=60°,BC、AC边上的两条中线AM,BN相交于点

P,则NMPN的余弦值为()

.4<9102<91„<91「4<91

AFBFC.—D-^-

8.已知直线y=kx+b是曲线y=x2-(a+1)的切线，也是曲线y=alnx-1的切线，则k的最大值是()

二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

1

9.已知函数/(%)=§/一％一1,则()

A./(%)有一个零点

B"(x)的极小值为-1

C./Q)的对称中心为(0,1)

D.直线y=-x-1是曲线y=/(%)的切线

10.设点。是△ZBC所在平面内一点，。是平面上一个定点，则下列说法正确的有()

A.若而=(|屈+|ZC),则。是BC边上靠近B的三等分点

B.若同=B(,，B+ACeR且2丰0),则直线an经过△ABC的垂心

\AB\cosB|i4c|cosc

C.若前=%乐+旷前，且x,y&R,x+y=则△BCD是△ABC面积的一半

D.若平面内一动点P满足加=瓦？+4(儡+儡)，(2€/?且；170),则动点P的轨迹一定通过△ABC的外

心

11.设函数g(%)=sinojx(a)>0)向左平移9个单位长度得到函数/'(%),已知/(%)在［0,2兀］上有且只有5个零

bCO

点，则下列结论正确的是()

A.f(x)的图象关于直线x=另寸称

B.在(0,2兀)上，方程f(x)=1的根有3个，方程/(久)=-1的根有2个

C"(x)在(0*)上单调递增

D.3的取值范围是S5

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.出入相补是指一个平面(或立体)图形被分割成若干部分后面积(或体积)的总和保持不变，我国汉代数学

家构造弦图，利用出入相补原理证明了勾股定理，我国清代的梅文鼎、李锐、华萌芳、何梦瑶等都通过出

入相补原理创造了不同的面积证法证明了勾股定理.在下面两个图中，若=BC=a(bNa)，AB=

c,图中两个阴影三角形的周长分别为4,12,则怨的最小值为.

图1图2。

13.某时钟的秒针端点4到时钟的中心点。的距离为5cm,秒针均匀地绕点。旋转.当时间t=0时，点4与钟

面上标"12"的点B重合，将力，B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则&=,其中te[0,60].

14.如图，在边长为1的正方形A8CD中，E为力B的中点，P点在正方形内(口(

含边界)，S.\AP\=\AB\./\

①若|而|=|同I，则而•前的值是;\/\><f

②若向量左=4而+〃万，贝D+〃的最小值为./\\

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题12分)

在△ABC中，内角2,B,C的对边分别为a,b,c,且(12s讥B—si?vlcosC)b=asinCcosB.

(1)求?的值；

(2)若a=6,点。是线段BC上的一点，^CAD=/.BAD,DA=DC,求cosC的值.

16.(本小题12分)

如图所示，正方形44/1。与矩形4BCD所在平面互相垂直，AB=24。=2,点E为2B的中点.

(1)求证：BQ〃平面

(2)在线段AB上是否存在点M,使二面角/-MC-D的平面角的大小为J?若存在，求出AM的长；若不存

在，请说明理由.

17.(本小题12分)

已知函数/(久)=孑一a(l-x+Inx),其导函数为/'(x).

(1)若/(久)在(1,+8)不是单调函数，求实数a的取值范围；

(2)若/(%)20在(1,+8)恒成立，求实数a的最小整数值.(e2~7.39)

18.(本小题12分)

已知函数/'(x)=x\x-a\+2.

(1)当a=2时，求/(x)的单调递增区间；

(2)若女1，x2e[0,2],使|f(%i)-/(久2)1>2,求实数a的取值范围.

19.(本小题12分)

如果数列｛an｝满足：a1+a2,+。3+…+an—0且|a)J+|。21+1。31+…+=l(n23,neN*),则称

｛厮｝为n阶“归化”数列.

(1)若某3阶“归化"数列｛a"是等差数列，且单调递增，写出该数列的各项；

(2)若某11阶“归化”数列｛an｝是等差数列，求该数列的通项公式；

(3)若｛4„｝为?1阶"归化"数列,求证a1+^a2+^a3+---+^an<^—

参考答案

l.D

2.5

3.2

4.B

5.C

6.C

7.4

8.F

9.ABD

10.ABC

11.CD

12.1+苧

13.lOsin^

oU

14」

22

15.解：(1)因为(12sinB—sinAcosC)b=asinCcosB,

由正弦定理得—sinAcosC)sinB=sinAsinCcosB,

所以12SE2B=sinAsinCcosB+sinAcosCsinB=sinA(sinCcosB+cosCsinB)

=sinAsin(B+C)=sinAsinfji-4)=sin2A.

即12s勿2B=sin2i4,

由正弦定理得12b2=。2,

又a>0、b>0,贝心=卫或2=一校(舍去).

所以2=£

a6

(2)因为NOW=NB4D,设△ABC中BC边上的高为h,

11

所以*=社也竺史竺竺=亨，所以些=也，

s4ADC^AD-ACsin^CAD拜出CD

设黎=器=小⑺>。>

由a=6,-=—,BD+CD=BC=6,

a6

所以6=贝！JZB=BD=CD=,

1+m1+m

在小ABC中，由余弦定理得cosC=次+CB2TB2=(C)2+61”W,

2CA-CB2x<3x6

设AC的中点为E,连接DE,

如图所示，由DA=DC,贝UDEiac,

在RtACED中，cosC=母=母；㈣,

所以在处"2=(门)2+62-(门一)2

12―2x73x6

解得m=3或m=-4(舍去)，

所以cosC=—•

16.解：（1）证明：•.•平面44也DJ_平面4BCD,平面A4也Dn平面4BCD=4D,

DD11AD,DD]u平面

DD11平面A8CD,

则以。为坐标原点，DA,DC,DA所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系。-

xyz,

则D(0,0,0),C(0,2,0),4(1,0,1),心(0,0,1),5(1,2,0),F(l,l,0),

.•.西=(1,0,1)，加=(1,1,0)，

设平面4DE的法向量为为=(久1，%,zi),

则的,斗i+zi=。,

(n7•DE=%I+YI=0

令汽i=1,解得yi=-1,Zi=-1,

=（L-1,—1），

又西=(-1,-2,1),

BD]•温=0，即BD]1再，

又BD[u平面&DE,

BDi〃平面&DE.

(2)假设在线段4B上存在点M,使二面角A—MC—。的大小为全

设M（l,y0,0）（0<2）,

则祝=（一1,2—%，0），庠=（0,2,-1）.

设平面的一个法向量为商=（%2，y2，Z2），

则（荻亚，即（而•祝=一%2+、2（2—yo）=0,

[底1D]dI底-DrC=2y2—z2=0

令丫2=1，解得％2=2-Vo，Z2=2,

・•・厄=（2_yo，L2）,

又平面MCD的一个法向量为氏方=(0,0,-1)，

冗____»------->________2__________/2

・・回取I

•cos-=|cos<n2•>2222

同而Ij（2-y0）+l+2

即据—4yo+1=0,

解得M）=2—或y（）=2+舍去）,

此时AM=2-73.

•••在线段4B上存在点M,使二面角A-MC-。的平面角的大小为今

此时4M=2

17.解：(1)[⑴—a(—1+3

_(x—l)ex+ax(x—1)_(X—D(T+a)

==工'

因为/(%)在(1,+8)不是单调函数，所以「(%)在(1,+8)有变号零点.

因为?>0恒成立，令g(x)=9+a,则g(x)在(1,+8)有变号零点.

因为g'(x)=&老>。，所以g。)在(1,+8)单调递增，

因为g(l)=e+a,当％->+8时，g(%)t+8,

只需e+a<0,即a<—e,

所以实数Q的取值范围是(-8,-e).

(2)令0(%)=1—%+lnx(x>1),

因为"(x)=i-l<0在(1,+8)恒成立,

所以0(%)在(1,+8)单调递减，

所以0(%)<0⑴=0.

所以/(%)>0«a>——

'''x—x^；+xlnx.

ex

vmw-x_%2+xlnx，

QX.

贝！Jzn'Q)=---------n(x—x2+xlnx—1+2x—Inx—1)

(%—x2+xlnx)z

=;~2：、2(久一l)(ln久一”+2),

(%—xz+xln%)

令1i(x)=Inx—%+2,则〃(%)=；—1V0在(1,+8)恒成立,

所以/l(%)在(1,+8)单调递减.

因为九(1)=1>0,h(4)=ln4-2<0,

所以h(%)有唯一零点%o,且％0E(1,4),In%。=-2=勺)？？=靖。.

当%E(I,%。)时，h(x)>0,即m'(X)>0,

所以??1(%)在(1,&)单调递增；

当％6(%。,+8)时，ft(x)<0,即??/(%)<0,

所以根(%)在(%0,+8)单调递减.

e%o

所以根(久)„^=小("。)=云而扃

2

____«-7.39,

%0一好+%0(%0—2)

所以实数a的最小整数值为-7.

18.解:(1)当a=2时,f(x)=x\x-2\+2=\/；^+2,%>2

%22时,f(x)单调递增,

x<2时，/(x)在(-8,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，

所以/(x)的单调递增区间为(-叫l)<2,+oo),

(2)3X1(X2e[0,2],使|f(%i)-/(x2)|>2,

所以/G2)lmax>2,

即/'(X)max—f(%)min>2,

①当a22时，/(%)=—x2+ax+2,对称轴％二*

(i)当1W与W2即2<a<4时，f(x)max=f©=J+2,

/(Omin=f(0)=2,

所以f6)-f(0)=9>2,

所以a>2H.或a<-2-\Z-2,

因为2<a<4,所以2涯<a<4,

(ii)当与>2即a>4时，f(%)max=/(2)=2a-2,

/Wmin=/(O)=2,

所以f(2)—/(0)=2a—4>2,

a>3,

因为a>4,所以a>4),

②当a<0时,f(x)=x2-ax+2,对称轴久=^<0,

所以好x)max=f⑵=6-2a,

/Wmin=7(0)=2,

所以f(2)-f(0)=4-2a>2,

a<1,

所以a<0,

③当0<a<2时，f(x)=|-F+a：：2>°

I—ax+2,a<x<2

因为f(%)min=f(。)=f(2)=2,

因为弓<1，

所以「倒不可能是函数的最大值，

所以/(%)max=/⑵=6-2a,

所以/(2)-/(0)=4-2。>2,

所以0<a<1,

综上所述：a的取值范围是(一8,1)u(2，^,+8).

19.解：(1)设的,a2,%成公差为厂的等差数列，显然厂>0,

则由的+%+的=0得3al+3r=0,

所以一%=r>0,

所以的<0,

所以劭=%+7=0，%=+27=—%>0,

1

由I。/++\as\=1得-2al=1,解得的=2-

所以数列-为所求3阶“归化”数列.

(2)设等差数列的,a2,a3,由1的公差为d,

因为的+g