人教版九年级数学上册专项复习：圆与四边形的综合

专题24.4圆与四边形的综合

典例精析》】

【典例1】如图，四边形ABCD内接于。O,AC为直径，AC和BD交于点E,AB=BC.

(1)求/ADB的度数；

(2)过B作AD的平行线，交AC于F,试判断线段EA,CF,EF之间满足的等量关系，并说明理由；

(3)在(2)条件下过E,F分别作AB,BC的垂线，垂足分别为G,H,连接GH,交B0于M,若AG

=3,S四边形AGMO：S四边形CHMO=8：9,求。O的半径.

【思路点拨】

(1)由直径所对的圆周角为直角及等腰三角形的性质和互余关系可得答案；

(2)线段EA,CF,EF之间满足的等量关系为：EA2+CF2=EF2.如图2,设/ABE=n,ZCBF=p,先证明

a+p=45°,再过B作BNXBE,使BN=BE,连接NC,判定△AEB^ACNB(SAS)、ABFE^ABFN(SAS),

然后在R3NFC中，由勾股定理得：CF2+CN2=NF2,将相关线段代入即可得出结论；

(3)如图3,延长GE,HF交于K,由(2)知EA2+CF2=EF2,变形推得SAABC=S矩形BGKH,SABGM=S四边形

COMH,SABMH二S四边形AGMO,结合已知条件s四边形AGMO：S四边形CHMO=8:9,设BG=9k,BH=8k,贝”CH=3+k,

求得AE的长，用含k的式子表示出CF和EF,将它们代入EA2+CF2=EF2,解得k的值，则可求得答案.

【解题过程】

解：(1)如图1,

VAC为直径,

.,.ZABC=90°,

ZACB+ZBAC=90°,

•「AB=BC,

・・・NACB=NBAC=45。，

JZADB=ZACB=45°；

(2)线段EA,CF,EF之间满足的等量关系为：EA2+CF2=EF2.

理由如下：

如图2,设NABE=a,NCBF=p,

VAD^BF,

・・・NEBF=NADB=45。，

又NABC=90。，

・・・a+B=45。，

过B作BN_LBE,使BN=BE,连接NC,

VAB=CB,NABE=NCBN,BE=BN,

.,.△AEB^ACNB(SAS),

AAE=CN,NBCN=/BAE=45。，

・・・NFCN=90。.

•・・/FBN=a+P=NFBE,BE=BN,BF=BF,

AABFE^ABFN(SAS),

・・・EF=FN,

•・•在R3NFC中，CF2+CN2=NF2,

.*.EA2+CF2=EF2；

(3)如图3,延长GE,HF交于K,

B

图3

由(2)知EA2+CF2=EF2,

.,.-EA2+k：F2=-EF2,

222

SAAGE+SACFH=SAEFK，

SAAGE+SACFH+S五边形BGEFH=S^EFK+S五边形BGEFH，

spSAABC-s矩形BGKH，

ABC—|s矩形BGKH，

SAGBH-SAABO-SACBO，

SABGM=S四边形COMH，SABMH=S四边形AGMO，

,二S四边形AGMO：S四边形CHMO=8：9,

SABMH：SABGM=8:9,

VBM平分NGBH,

ABG：BH=9：8,

设BG=9k,BH=8k,

・・・CH=3+k,

VAG=3,

AAE=3V2,

ACF=V2(k+3),EF=V2(8k-3),

VEA2+CF2=EF2,

A(3V2)2+[V2(fc+3)]2=[V2(8fc-3)]2,

整理得：7k2-6k-1=0,

解得：ki=-i(舍去)，k2=l.

AAB=12,

AAO=yAB=6V2,OO的半径为6企.

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1.（2022•广东深圳.三模）如图，正方形力BCD内接于。0,线段MN在对角线BD上运动，若O。的面积为

8兀，MN=2,贝必4MN周长的最小值是（）

A.6B.8C.9D.10

2.（2022・浙江•宁波市邦州蓝青学校九年级期末）在AABC中，若。为BC边的中点，则必有：AB2+AC2=

2AO2+2BO2成立.依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形。EFG中，己知。E=6,跖=4,点M在

以半径为2的。。上运动，则M/2+MG2的最大值为（）

A.104B.116C.120D.100

3.（2022.全国.九年级课时练习）如图,在。。中，点C在优弧48上,将弧BC沿BC折叠后刚好经过AB

的中点D.若。。的半径为有，AB=4,则BC的长是（

A.2V3B.3V2C.4V2D.3V3

4.（2022•全国•九年级课时练习）如图，4B是O。的直径，C,D分别是040B的中点，MC1AB,ND1AB,M,N

在。。上.下列结论：®MC=ND；②AM=MN=NB；③四边形MCDN是正方形；④MN="B.其中

正确的结论有（）

C.3个D.4个

5.（2022•江苏•九年级期中）如图，正方形4BCD的边长为4,点E是正方形外一动点，且点E在CD的右侧,

^AED=45°,P为AB的中点，当E运动时，线段PE的最大值为.

6.（2022・四川.九年级专题练习）如图，/ABC为等腰直角三角形，NBAC=90。，A8=AC=4,点、D为4ABe

所在平面内一点，^BDC=90°,以AC、C£）为边作平行四边形ACOE,则CE的最小值为.

7.（2022・广东广州•九年级期末）如图，正方形ABC。的边长为1,。。经过点C,CM为。。的直径，且

CM=1.过点M作。。的切线分别交边A3,于点G,H.BD与CG,CW分别交于点E,F,。。绕点

C在平面内旋转（始终保持圆心。在正方形ABC。内部）.给出下列四个结论：

①HD=2BG；②NGCH=45。；③H,F,E,G四点在同一个圆上；④四边形CGAH面积的最大值为2-四.其

中正确的结论有（填写所有正确结论的序号）.

8.（2022•江苏淮安•一模）如图，四边形ABC。是菱形，点。在边AB上，以。为圆心、。。为半径的圆

切AB于点D.

（1）试判断直线与。。的位置关系，并说明理由；

（2）若48=2,且点。是AB的中点，求图中阴影部分的面积.

9.(2022•浙江・兰溪市聚仁学校一模)如图，在平行四边形2BCD中，点。为力。边上一点，以。为圆心，OA为

半径作O。恰好经过点B,与4。边交于点E,CD边所在直线与o。相切，切点为H,连接力H,EH,若2N/M8+

ZC=180°：

(1)求证：CB为。。切线；

(2)若DE=1,求。。半径.

10.(2022・全国•九年级课时练习)如图，四边形ABCO是。。的内接四边形，A8=6,8C=8,ZABC=90°,

弧AO=弧DC.

⑴求边。的长；

(2)已知△ABE与△ABD关于直线AB对称.

①尺规作图:作△ABE；(保留作图痕迹，不写作法)

②连接。E,求线段OE的长.

D

11.(2022・湖南•长沙县湘郡未来实验学校九年级开学考试)如图，四边形ABC。是。。的内接四边形，且

对角线为直径，过点A作。。的切线AE,与CD的延长线交于点E,已知D4平分乙BDE.

(1)求证：AE1DE；

⑵若。。的半径为5,CD=6,求AO的长.

12.(2022・江苏•九年级)如图，正方形ABC。内接于。。，E是BC的中点，连接AE,DE,CE.

(1)求证：AE=DE；

(2)若CE=1,求四边形AECO的面积.

13.(2022・河南・淅川县基础教育教学研究室一模)如图，四边形ABC。内接于。。，点E在边的延长

线上，连接AC,BD,已知CD=CE,乙E=ABAC.

(1)求证：0c平分NBDE.

(2)若CE与。。相切于点C,求证：AC=BD.

14.(2022•福建南平•九年级期末)如图，四边形ABCD为菱形，以为直径作。。交A8于点F,连接

DB交00于点H,过点。作。。的切线交BC于点E.

(1)求证：AF=CE；

⑵若BF=2,DH=V5,求。。的半径.

15.（2022・江西・崇仁县第二中学二模）如图，在平行四边形A8C£）中，点A,B,。三个点都在。。上,

CD与。O交于点F,连接2。并延长交边于点E,点E恰好是AD的中点.

（1）求证：8c是。。的切线；

（2）若AE=1,ZBAD=75°；

①求BE的长；

②求阴影部分的面积.

16.（2022.全国•九年级专题练习）如图，己知4B为半圆。的直径，尸为半圆上的一个动点（不含端点），

以。P、OB为一组邻边作E1POBQ,连接。Q、AP,设。Q、AP的中点分别为M、N,连接PM、ON.

（1）试判断四边形。MPN的形状，并说明理由.

（2）若点尸从点B出发，以每秒15。的速度，绕点。在半圆上逆时针方向运动，设运动时间为ts.

①是否存在这样的如使得点。落在半圆。内？若存在，请求出t的取值范围；若不存在，请说明理由.

②试求：当f为何值时，四边形OMPN的面积取得最大值？并判断此时直线PQ与半圆。的位置关系（需说

明理由）.

17.（2022•陕西渭南•三模）问题提出

（1）如图1,点尸是乙4OB的平分线OC上一点，PD1Q4,垂足为。，若PD=2,则点尸到边。2的距离是

问题探究

（2）如图2,已知矩形A8CD的一边AB长为6,点尸为边上一动点，连接BP、CP,且满足NBPC=60。,

求BC的最小值；（结果保留根号）

问题解决

（3）如图3,正方形A8CO是某植物园的花卉展示区的部分平面示意图，其中4B=400米，三条观光小路8M、

BN和（小路宽度不计，”在AD边上，N在。边上）拟将这个展示区分成四个区域，用来展示不同

的花卉，根据实际需要，M2平分乙4MN,并且要求ABMN的面积尽可能小，那么是否存在满足条件的面积

最小的ABMN?若存在，请求出ABUN的面积的最小值.若不存在，请说明理由.（结果保留根号）

图1图2图3

18.(2022•黑龙江哈尔滨•一模)四边形ABCD为。。的内接四边形，AB=CD.

(图I)图2）（图3）

(1)如图1,求证：4B=NC；

(2)如图2,4E为。。的直径，连接BE,过点。作CD的垂线，点F为垂足，求证：BE=2OF；

(3)如图3,在⑵的条件下，过点。作4。的垂线，点G为垂足，若BA=BC,BE=2,OG=|,求4D的长.

19.(2022•黑龙江哈尔滨•九年级期末)四边形A8CZ)为矩形，点A,B在。