函数与线段问题-2022年中考数学复习（解析版）

专题25M数与线段问题

考向1距离最值问题

福题呈现

【母题来源】2021年中考四川省绵阳卷

【母题题文】如图，二次函数丫=---2*+4-@2的图象与一次函数丫=-2*的图象交于点

A、B（点B在右侧），与y轴交于点C,点A的横坐标恰好为a.动点P、Q同时从原点。出

发，沿射线0B分别以每秒6和2近个单位长度运动，经过t秒后，以PQ为对角线作矩形

PMQN,且矩形四边与坐标轴平行.

（1）求a的值及t=l秒时点P的坐标；

（2）当矩形PMQN与抛物线有公共点时，求时间t的取值范围；

（3）在位于x轴上方的抛物线图象上任取一点R,作关于原点（0,0）的对称点为R,,当

点M恰在抛物线上时，求R'M长度的最小值，并求此时点R的坐标.

【答案】（1）由题意知，交点A坐标为（a,-2a）,代人y=-x-2x+4-a,

解得：a=—V2,

抛物线解析式为：y=-x2-2x+2,

当t=l秒时，0P=V5,设P的坐标为（x,y）,

则f2+y2=(佝2,

(y=-2x

；.P的坐标为（1,-2）；

（2）经过t秒后，0P=V5t,0Q=2V5t,

由（1）方法知，P的坐标为（t,-2t）,Q的坐标为（2t,-4t）,

由矩形PMQN的邻边与坐标轴平行可知，M的坐标为（2t,-2t）,N的坐标为（t,-4t）,

矩形PMQN在沿着射线OB移动的过程中，点M与抛物线最先相交，如图1,

然后公共点变为2个，点N与抛物线最后相离，然后渐行渐远，如图2,

将M（2t,-2t）代入y=-X?-2x+2,得2tIt-1=0,

解得：t=^,或t=-l（舍），

将N（1,-4t）代入y=-x~-2x+2,得（t-1）2=3,

解得：t=l+W或t=l一百（舍）.

所以，当矩形PMQN与抛物线有公共点时，

1

时间t的取值范围是：-<t^l+V3；

(3)设R(m,n),则R关于原点的对称点为R'(-m,-n),

当点M恰好在抛物线上时，M坐标为(1,-1),

过R'和M作坐标轴平行线相交于点S,如图3,

则R，M=VMS2+RZS2=J(-m-1)2+(一口+1)2,

又-m2-2m+2得(m+1)2=3-n,

消去m得：R'M=yj(m+l)2+(n—l)2

=J(3-n)+(n_1)2=Vn2—3n+4=J(n—|)2

QV7

当n=3时，R'M长度的最小值为行，

此时，n=-in?-2m+2=■1，解得：m=-1±—,

22

、63

・••点R的坐标是(-1±—，一).

22

【试题解析】(1)将A(a,-2a)代人y=-x2-2x+4-a2,解方程求出a,即可求得抛物

线解析式，当t=l秒时，0P=V5,设P的坐标为(x,y),建立方程求解即可；

(2)经过t秒后，OP-V5t,0Q=2«t,得出P的坐标为(1,-2t),Q的坐标为(2t,

-4t),进而得出M的坐标为(2t,-2t),N的坐标为(t,-4t),将M(2t,-2t)代入

y--x-2x+2,得2t~+t-1=0,解方程即可，将N(1,-4t)代入y=-x--2x+2,得(t

-1)2=3,解方程即可得出答案；

(3)设R(m,n),则R关于原点的对称点为R'(-m,-n),当点M恰好在抛物线上时，M

坐标为(1,-1),过R'和M作坐标轴平行线相交于点S,如图3,利用勾股定理可得R'M=

V(m+l)2+(n-l)2=J(n—|)2+3,当n=飘，R'M长度的最小值为进而可得出答

案.

【命题意图】代数几何综合题；压轴题；动点型；运算能力；推理能力；应用意识.

【命题方向】二次函数综合题，一般为压轴题.

【得分要点】距离问题

(1)点到直线的距离：如图，点P到直线1的距离，可线求出^PAB的面积，则该三角形

AB边上的高线就是点P到直线1的距离.

p

AB

(2)点到点的距离(线段长度)：

①若点则A3=,(尤0-西J+-；

②若点A在直线丁=辰+人上，点B在抛物线y=皿2+加+。上，设点A(/，5+。)，

2

,mxf+3+c),贝！JAB=^(x0-)+{kxQ+b-mxf-nxx-,

当点A,B横坐标相同时，AB=|Ax0+b-mxl-nx^-《，当点A,B纵坐标相同时，AB=\x0-xj.

考向2距离相等问题

福题呈现

【母题来源】2021年中考广西桂林卷

【母题题文】如图，已知抛物线y=a(x-3)(x+6)过点A(-1,5)和点B(-5,m),

与x轴的正半轴交于点C.

(1)求a,m的值和点C的坐标；

PB2

(2)若点P是x轴上的点，连接PB,PA,当一时，求点P的坐标；

P45

(3)在抛物线上是否存在点M,使A,B两点到直线MC的距离相等？若存在，求出满足条

【答案】(1):抛物线y=a(x-3)(x+6)过点A(-1,5),

•*.5=-20a,/.a=—j,

抛物线的解析式为y=(x-3)(x+6),

1

令y=0,则一4(x-3)(x+6)=0,解得x=3或-6,

AC(3,0),

当x=-5时，y=-1x(-8)Xl=2,

.*.B(-5,2),.*.m=2.

5222

(2)设sPI'O''则,有J;(”t+1)2+52=g2，

整理得，21t2+242t+621=0,解得t=-g或一争

经检验t=-半或-学是方程的解，

.•.满足条件的点P坐标为(—竿，0)或(—等，0).

(3)存在.连接AB,设AB的中点为T.

①当直线CM经过AB的中点T时，满足条件.

VA(-1,5),B(-5,2),TA=TB,

7

AT(-3,VC(3,0),

2

直线CT的解析式为y=

(___J_.7(=11

由「一4，解得匕二〉即点oX--Q-

或，

=-4(%—3)。+6)7一35

1135

M(-),

39

②CM'〃AB时，满足条件，

23

,直线AB的解析式为y=jx+

T'

39

直线CM'的解析式为

y=厂不

r=3_9

由『一4：一4，解得凭二"即点C)或｛口，

。=-抖-3)Q+6)U-U

.\M,(-9,-9),

【试题解析】((1)利用待定系数法求解即可.

/1+5)2+222

(2)设p<t,0),则有丫:号=解方程，可得结论.

7(t+l)2+525

(3)存在.连接AB,设AB的中点为T.分两种情形：①当直线CM经过AB的中点T时，满

足条件.②CM'〃AB时，满足条件.根据方程组求出点M的坐标即可.

【命题意图】代数几何综合题；推理能力.

【命题方向】二次函数综合题，一般为压轴题.

【得分要点】考查了二次函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会利用参数

构建方程解决问题，学会构造一次函数，利用方程组确定交点坐标，是解答的关键.

L(2021•山东枣庄模拟)己知抛物线y=ax?+bx+c与x轴交于点A(-1,0),点B(3,0),

与y轴交于点C(0,3),点D是顶点，过点C的直线交线段AB于点E,且SAACE：SACEB=3：

(1)求抛物线的解析式及直线CE的解析式；

(2)若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D,C,P,Q为顶点的四边形是平行四边形

时，求点P的坐标；

45

(3)已知点H(0,—G(2,0),在抛物线对称轴上找一点F,使AF+FH的值最小此时，

在抛物线上是否存在一点K,使KF+KG的值最小？若存在，求出点K的坐标；若不存在，请

说明理由.

解：(1)由抛物线y=ax?+bx+c与x轴交于点A(-1,0),点B(3,0),设抛物线的解析

式为y=a(x+1)(x-3),

把C(0,3)代入y=a(x+1)(x-3)得-3a=3,

•・a-1,

二・抛物线的解析式为y=-(x+1)(x-3)=-x?+2x+3,

VA(-1,0),B(3,0),

・・・AB=4,Z.AE=§3AB=3

oZ

A0E=AE-0A=1,AE(-,0),

22

设直线CE的解析式为y=kx+b,

...伊+b=0,解得《二”

.•.直^CE的解析式为y=-6x+3,

答：抛物线的解析式为y=-x、2x+3,直线CE的解析式为y=-6x+3；

(2)"."y=-X2+2X+3=-(x-1)2+4,

抛物线顶点D为(1,4),

设P(m,-m2+2m+3),Q(n,0),而C(0,3),

①当DP、QC是平行四边形对角线时，

•••平行四边形对角线互相平分，

；.DP、QC的中点重合,

+

11,IAon,解得m=l+遥或m=l-遮，

14—+2m+3=0+3

/.P(1+V5,-1)或(1一岔，-1),

②当DQ、PC是平行四边形对角线时，同理DQ、PC的中点重合，

,1-flln=m42°u?,0,0-解得m=l+V5或m=l—8，

14+0=—mz+2m+3+3

AP(1+V3,1)或(1-V3,1),

③当DC、QP是平行四边形对角线时，DC、QP的中点重合，

;fl+0-m+n方程组无实数解，

(4+3=—mz+2m+3+0

综上所述，P的坐标为(1+遥，-1)或(1一遮，-1)或(1+V3,1)或(1-V3,1)；

(3)在抛物线上存在一点K,使KF+KG的值最小，

连接BH交对称轴于F,连接AF,如图：

；.AF=BF,；.AF+HF=BF+HF,

VB>F、H共线,

此时AF+HF最小，

由H(0,B(3,0)得直线即为丫=-择+竽,

令x=l得y=苧，

,15、

.,.F(1,——),

4

设K(x,y),贝!Jy=-x?+2x++3=-(x-1)2+4,

(x-1)-y,

；.KF=J(X_l)2+(y―4)2

C'~\~~15~~,225

-J4-y+y2__y+_

=[("野=ly-%

作直线y=?，过B作直线y=¥的垂线，垂足为M,

i7

KM=|y-m|,Z.KF+KG=KM+KG,

-，一17

根据垂线段最短可知，M、K、G共线时，KM+KG最小，最小值为一，

4

在y=-X2+2X+3中，令x=2得y=-2?+2X2+3=3,

・・・此时K（2,3）,

答：在抛物线上存在一点K,使KF+KG的值最小，K的坐标为（2,3）.

2.（2021•四川江油市二模）如图1,抛物线y=—+等x+2的图象与x轴交于点A、

B,与y轴交于点C,连接BC,过点A作AD〃BC交抛物线的对称轴于点D.

（1）求点D的坐标；

（2）如图2,点P是抛物线在第一象限内的一点，作PQJ_BC于Q,当PQ的长度最大时，在

线段BC上找一点M（不与点B、点C重合），使PM+轴的值最小，求点M的坐标及PM+|BM

的最小值."'

图1图2

解：⑴令y=0时，一卷/+^^久+2=0,

解方程得：x1—V5,x2——字，

AA（-字，0）,B（V5,0）,C（0,2）,

设直线BC的函数关系式为：y=kx+b,

根据题意得：］注金。=°，

（,2痣

解得：卜=一丁，

、b=2

直线8（；为丫=-竽x+2,

根据AD〃BC,设直线AD的函数关系式为：y=-竽x+m,

把点A（-空,0）代入上式得，_2管x（—亭）+m=0,

解得：m=—

二直线AD的函数关系式y=—等x

:抛物线对称轴为直线x=-金=奈

.".当x=卓时，y=—

_V54

・••点D坐标为（=，--）;

33

（2）过点P作PF〃y轴交BC于点F,贝！J

△PQF^ABOC,

.PQPF

••—,

BOBC

PQBOy,即PQ=*PF,

PF-BC

设点P坐标为（t,-40t+2）,-誓+2）,

则点F坐标为(t,

PF=-1t2+等t+2-（-誓t+2）

Tt2+誓t

=-f（t-卓）2+|,

...当土=空时，PF取最大值，PQ取最大值，此时点P坐标为喙

过点M作MN_Lx轴于点N,则△BMNS2\B℃,

.MNOC2

"BM~BC~3

则PM+1BM=PM+MN,

25

・••当P、M、N三点共线时，PM+卿取最小值为5,

此时点M的横坐标=点P的横坐标=字，

3.(2021•山东淄博一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax?-2x+c与x轴交

于点A和点B(1,0),与y轴相交于点C(0,3).

(1)求抛物线的解析式和顶点D的坐标；

(2)找出图中与/DAB相等的一个角，并证明；

(3)若点P是第二象限内抛物线上的一点，当点P到直线AC的距离最大时,求点P的坐标.

3）代入y=ax2-2x+c,

得：(二＞’=°,解得：ta=—1

c=3'

...抛物线的解析式为：y