永州市2025年高考第一次模拟考试数学试卷（含答案详解）

永州市2025年高考第一次模拟考试

数学

注意事项：

1.答题前、考生务必将自己的姓名、准考证号、班级在答题卡上填写清楚.

2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效.

3.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存.满分150分，考试用时120分钟.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项符合题目要求的.

1.设2={x\x2-4%-5=0},B={x\x2=1},则力UB=（）

A.{-1,1,5}B.{-1,1,-5}C.{-1}D.{1}

2.复数三的共辗复数是（）

1-1

A.i-1B.i+1C.-1-iD.1-i

3.己知m=3,同=4,且N与石不共线，则“向量N+癌与日一无垂直"是"=：的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.函数/（%）=/+In%在点。1）处的切线方程是（）

A.3%-y—2=0B.2,x—y—2=0

C.3%+y—2=0D.2%+y—2=0

5.已知函数/（%）=cos2（3%+：）®>0）的最小正周期为n,则f（%）的对称轴可以是（）

A.x=-B.x=—C.x=-D.x=-

241263

6.在2024年巴黎奥运会中，甲、乙、丙、丁、戊5人参与接待、引导和协助三类志愿者服务工作，每类

工作必须有志愿者参加，每个志愿者只能参加一类工作，若甲只能参加接待工作，那么不同的志愿者分配

方案的种数是（）

A.38B.42C.50D.56

7.已知数列{。„}满足皿乂="+2-厮+15eN*）,且与=1,（12024=展，则的。2+。2a3+-+a/n+l=

NUN5

()

A.B.—C.D.—

2?1+1?l+2211+1?l+2

8.已知函数/(%)=In+」-|+b+2(a,bcR)为奇函数，且/(%)在区间(加标)上有最小值，则实数m的

I1—xI4

取值范围是()

A.(V3,3)B.(V2,2)C.(V2,V3)D.(2,3)

二、多项选择题：共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知48,C为随机事件，P(A)=0.5,P(B)=0.4,则下列说法正确的有()

A.若48相互独立，贝|PQ1B)=O.2

B.若4B相互独立，贝曲(2U8)=0.9

C.若4B,C两两独立，则P(4BC)=P(A)P(B)P(C)

D.若B,C互斥,则P(BUC|4)=P(B|4)+P(C|4)

10.己知点4(—2,0),8(1,0),圆C:%2+y2-4乂=0,贝I]()

A.圆M:x2+(y—l)2=1与圆C公共弦所在直线的方程为3x—y=0

B.直线y=k(x-3)与圆C总有两个交点

C.圆C上任意一点M都有|M4|=2\MB\

D.b是a,c的等差中项，直线I:ax+2by+c=。与圆C交于P,Q两点，当|PQ|最小时"的方程为x+y=0

11.在边长为1的正方体4BCD-A/iCiDi中，M,N,P分别为棱4B,CCi，Ci£»i的中点，名为正方形4/16/

的中心，动点Qe平面MNP,贝U()

A.正方体被平面MNP截得的截面面积为平

B.若|OQ|=\AB\,则点Q的轨迹长度为2n

C.若前=2两，贝UIB1QI+|KQ|的最小值为苧

D.将正方体的上底面&&C1D1绕点5旋转45。，对应连接上、下底面各顶点，得到一个侧面均为三角

形的十面体，则该十面体的体积为争

三、填空题：共3个小题，每小题5分，共15分.

试卷第2页，共4页

12.在+的展开式中，各项系数之和为64,则展开式中的常数项为.

13.已知a,/?为锐角，且a+2£=g,tan£tan°=2—百，贝!]sin(2a+0)=.

14.已知双曲线C:/-?=1的左、右焦点分别为6,尸2，双曲线C上的点P在x轴上方，若NPF26的平分线

交P0于点2,且点4在以坐标原点。为圆心，|。&|为半径的圆上，则直线的斜率为-

四、解答题：共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.

15.记的内角4民。的对边分别为a,b,c,已知(b+c)(sinB-sinC)=(b—a)sinX.

(1)求C;

(2)若△ABC的面积为手,c=夕，求a+6.

16.如图，在三棱锥4—BCD中，AB=AC=3五,BD=CD=2痘,BC=2^6,点E在棱4B上，且4E=

2EB.DELAB.

(1)证明：平面ABC1平面BCD；

(2)求平面BCD与平面ECD的夹角的余弦值.

22__

17.已知椭圆E++琶=l(a>6>0)的短轴长为2同右焦点为尸(1,0).

(1)求椭圆E的标准方程；

⑵已知过点尸的直线。与椭圆E交于4B两点，过点尸且与A垂直的直线)与抛物线必=4x交于C、D两点，求

四边形4C8D的面积S的取值范围.

18.巳知函数,f(%)=(%+l')e2~ax+1,g(x)=(久+l)axe2+(i-a)x+1.

⑴若a=1,求/(%)的极值；

(2)当a<0时，讨论f(x)零点个数；

(3)当x20时，/(x)>g(x),求实数a的取值范围.

19.将数字1,2,3,4,…,n任意排成一列，如果数字k(k=1,2,…,n)恰好在第k个位置上，则称有一个巧合，巧

合的个数称为巧合数，记为Xa例如n=4时，2,1,3,4为可能的一个排列，此时=2.X“=0的排列

称为全错位排列，并记数字123,4,…的全错位排列种数为厮.

(1)写出的,02，£13的值，并求的分布列；

⑵求E(XQ;

(3)求0n.

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案AABADCDAADBCD

题号11

答案ACD

1.AA={-1,5},8={-1,1},AUB={-1,1,5},选：A.

2.A三=土炉=—1一i，三的共辗复数是i一1.选：A.

1-121-1

3.B(d+kb^)•(a—fcfo)=\a\2—kd-b+ka-b—fc2|h|2=9-16k2=0,解得k=±|,所以“向量d+kB与江—kb

垂直”是“=裂必要不充分条件，选：B.

4

4.Ar(x)=2x+1,所以r(1)=2+1=3,所以/O)=/+lnx在点(1,1)处的切线方程是y—l=3。-1),即

3%—y—2=0,选：A.

5.D3=|^=1,则/(%)=cos(2%+)令2%+；=Mr,kEZ,则%=——只有当k=l时，%=p符

合题意，故D正确；选：D.

6.C(1)如果参加接待工作只有一人，则只能为甲，

再把其余4人分组有两类情况：1:3和2:2.

把4人按1:3分组，有管种分组方法，按2:2分组，有等种分组方法，

因此不同分组方法数为出+要，

再把两组人安排到其余两类志愿者服务工作，有A分中方法，

所以不同分配方法种数是(第+簧)A'=(4+3)义2=14.

(2)如果参加接待工作有2人，则除了甲之外，还需要再安排一人有心种情况，

再把其余3人分组成1:2,有釐种分组方法，

再把两组人安排到其余两类志愿者服务工作，有A,种方法，

所以不同分配方法种数是盘jA,=4x3x2=24.

(3)如果参加接待工作有3人，则除了甲之外，还需要再安排两人有田种情况，

再把其余2人安排到其余两类志愿者服务工作，有A纤中方法，

所以不同分配方法种数是第A4=6X2=12.

综上，不同的志愿者分配方案的种数是14+24+12=50.选：C.

7.D因为a.+i-a-=°九+2一°九+1=0++1_1=1_+口九+1=所以J__|__L=?=」_____―――___

anan+2anan+2anan+2anan+2an+lan+2an+lan+l

1

—,

an

答案第1页，共8页

1__L2025

所以｛工｝为等差数列，公差&=鬻廿=系丁=5，首项"=1，所以工=工+(几—l)d=l+(n—1)》=等，所

202412U23NCL^NN

a++

以厮=高'所以出02+。2a3+-+n«n+l=(1+1)x(2+i)(2+i)x(3+l)…+(n+l)x(n+2)

=4(—+―+•••+———-)=40_工)=..选：D.

\2334n+1n+27\2n+2/n+2

8.A因为/(%)=In+——|+b+g(a,beR)为奇函数，所以其定义域关于原点对称，易知久H1,所以％H—1,

IL-X\4

即有a+。得到。=一%所以/(%)=E卜+b+；=E+力+j函数定义域为W%W-1

且％W1｝,得到/(0)=1n工+b=0,所以b=ln2,故/(%)=In1^-1+ln2+-=InI—I+有/(—%)=In|二|一

212(1—%)I411—xI4I1+xI

2=—In|三即a=—5b=ln2满足题意，所以/(%)=In|三||+：=ln|l+%|-ln|l—%|+彳，定义

域为｛%|%H—1且％W1｝,又血？>0,所以zn>1或0V<1,

2

当0<瓶2<1,即一1vnt<0或0V6<1,xG(zn.m)时，/(%)=jn(x+1)—ln(l—%)+?,

此时/(%)=ln(x+1)—ln(l—%)+；在(?71,?712)上单调递增，不合题意，

当m>1,xE(zu,??!?)时，/(%)=jn(x+1)—ln(x-1)+-,

4

f'(xy=______1|1=婷-9

J、'x+1x-144(x2-l)f

由尸(x)=2=0，得到x=3或—3(舍去)，

又/(久)在区间(小,62)上有最小值，所以1<m<3<巾2,解得旧<m<3,

此时/(%)在区间(科3)上单调递减，在区间(3,机2)上单调递增，满足题意，选：A.

9.AD若4B相互独立，贝！JPQ4B)=PQ4)P(B)=0.5x0.4=0.2,故A正确；若4B相互独立，贝！]PQ4UB)=P(A)+

P(B)-P(A)P(B)=0.5+0.4-0.2=0.7,故B错误；若4,B,C两两独立，由独立事件的乘法公式得，P(AB)=

P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(8)P(C),无法确定PQ4BC)=PQ4)P(B)P(C),故C错误；若B,C互斥,

则P(BC)=0,P((B+C)A)=P(BA)+P(AC),两边同时除以P(4)得，哗粤=鬻+翳，即P(BuC|2)=

P(B|4)+P(C|4),故D正确；选：AD.

10.BCD两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程:y=2久;错误y=k(x-3)过定点(3,0),而(3,0)在圆C:x2+y2-

4久=0的内部，所以直线y=k(x-3)与圆C总有两个交点，正确；设M(x,y),由|M*=2|MB|可得：

+21+/=24万一1)2+/化简可得:x2+y2-4x=0,所以满足条件的M轨迹就是圆C,正确；因为6是

a,c的等差中项，所以26=a+c(不同时为0),所以/:ax+2by+c—0可化为ax+(a+c)y+c=0,即a(x+y)+

c(y+1)=0,可令解得二，i，则直线/过定点N(l,—1),设0-4)2+川=12的圆心为C,

当CN与直线Z垂直时，|PQ|最小，此时々CNx/c,=—1,即—xk，i=—1,得k[——1,结合a%+(a+c)y+c=0

2—1

所以e=—=—1,解得c=0,.,.直线/的方程为久+y=0.正确，选：BCD

答案第2页，共8页

11.ACD连接NP并延长，与DC,。。1所在直线交于点E,F,连接EM,交BC于

点H,交直线于点G,连接GF,交441,41。1于点/J,连接PJ,HN,MI,如图

所示，则正方体被平面MNP截得的截面为六边形M”NP〃，连接力则

A1B//CD1,因为力BCD—4/1GD1为正方体,所以平面〃平面DCGA，

又平面EFGC平面4断&=/M,平面EFGC平面。"也=PN,所以PN〃IM,

又N,P分别为棱CGCA的中点，所以PN//CD],所以/M〃&B,则点/为中

点、,IM=J(j)2+(|)2=同理可得,PN=PJ=JI=MI=MH=HN=y,

2

所以六边形MHNP〃为正六边形，则SMHNP〃=^X(¥)*6=#，故A正确；由A可知，平面MNP即为平面

MHNPJI,

以。为原点，分别以所在直线为％y,z轴建立空间直角坐标系，连接MP,取MP中点。2,连接。。2，。2<?，

如图所示,则。(0,0,0),H&1,0),N(0,1,3，P(O,|,1),02(|,|,|),所以说=(一!祗,0),丽=

—>—*I——x-—v0

丝？二°,所以jj

HN•元=0--x+-z=0

I22

令x=L则元=(1,1,1),因为元=巳西，所以元〃电，所以。。2_L平面MNP,

又(?。2u平面MNP,所以。劣1QO2,

因为函上用“=4国=L

所以|QO2l=jl2_(1)2

所以点Q的轨迹为以。2为圆心半径为割勺圆，点Q的轨迹长度为2X71x|=It,故

B错误；因为前=2呵,所以K为BB1靠近当的三等分点，则K连接4。2,

由O2(I，I，I),得函=c*，m，所以西=竭，所以当关于平面

MNP的对称点为点D,

所以|BiQ|+\KQ\>\DK\=J#+12+(I4=苧，故c正确；

如图所示，4BCD—即为侧面均为三角形的十面体，在平面a/iGA，以

&&,%名为对角线作正方形2c2D2，&；AA2,BB2,CC2,DD2,贝UABCD-

&B2c2。2是上底和下底都是正方形的四棱台，底面边长为鱼和1，高为1，

所以匕BCDY/zQDz=|X1X(2+1+V13?2)=竽,

=XXl=!

因为匕-4遇2。1==^C-C1C2B1=VD-D]D2cl32

答案第3页，共8页

V

所以“十面体=ABCD-A2B2C2D2_4匕—4送2。］=1=笞&故D正确；选：ACD.

12.各项系数和为2九=64,得九=6,=Cg-(Vx)6'0=CJ•%丁，令=0,得丁=2,因此，展开式中的

常数项为牖=15.答案为：15.

13.因仇+2夕=空，得到仇=如—23，又tanqtan/?=2—百，所以tanf—S)tan£=(g-t；/?)t：n且=2—遮,整理

3323H-V3tario

得到taM/?+(V3—3)tanS+2—V3=0,得tan^=1或tan/?=2—V3<0,又a,夕为锐角，所以tan/?=2—遮不

合题意，由tan/?=1,得到h=二a=-,所以sin(2a+/?)=sin£+丫)=渔x涯+工X四=渔也.答案为：恒

4634222244

14.6(—2,0),f2(2,0),当点P在第一象限时，令|PF2|=m,则|P&|=2+m,由平分NP&&，得兽=尹"=

\F1A\3^^14尸2

产2产回"4=则p*=哼段但*=等2由点4在以坐标原点。为圆心，|。川为半径的圆上，得1

111111z

-\F1F2\\AF2\sinZ-F1F2A44+m4+m

PF「即|&尸2『一|&*2=仍尸2『一|P*2,代入整理得(4+-)(4-M)=(4-*(2+*:

4+771

解得771=4,

当点P在第二象限时，令|PF2|=3则|「&|=七一2,由尸2/平分乙尸尸2&,

同理伊川=*,因*=*2,又福1。&,

4十C4十C

则伊述2/一I&*2=仍&『一|P4『，代入整理得(4+t)(4-t)=(4?产解得t=

4+u

4,

练蠢工解得XQ=­

因此IPF2I=4,设P(%o，yo),y()>o,33或

,3

V15，

Vn=--

*2

所以直线P6的斜率k=丹=3b或k=-".答案为：—零或3位

XQ—277

222b+ac

15.(1)由正弦定理得，b—c=ab—af即庐+小一=处，由余弦定理得，cost1=~=—=

又CG(0,71),所以c=,

(2)因为△ABC的面积为手，所以:absinC=3ab-?=言，即ab=6,

由c=夕，贝UcosC=匕"第-7=I，即按+a2=13,

所以62+。2+2ab=(a+h)2=13+2ab=13+12=25,即Q+b=5.

16.(1)如图，取BC中点。，连接Z。,。。，

因AB=AC=3心BD=CD=2百，所以4。1BC,D01BC,

又BC—2A/6,所以|Z0|=V18-6=2V5,\D0\=V12—6=V6,

答案第4页，共8页

又ME|=2|EB|,所以==如，|4E|=||4B|=2M,

又DE1AB,所以|DE『=\BD\2-\BE\2=12-2=10,\AD\2=\DE\2+\EA\2=10+8=18

所以|4。|2+|。。|2=|4D|2,即a。！。。，又4。1BC,ODCiBC=O,OD,BCc®4

BCD

所以4。1面BCD,又力。U面力BC,所以平面力BC1平面BCD.SWL；<7'/b----^Z>C

⑵过E作E”//4。交BC于"，过”作HN1DC于N,连接EN,HD,

由(1)知4。1面BCD,所以EH1面BCD,则NENH为平面BCD与平面EC。的夹角，D

因为|BE|=：|力B|,\AO\=2V3,所以旧印=1|力。|=手，又|。0|=旄，

易知|BH|=9BC|,=ls,得至4・

o^oS^HDCzABDCX|DoCzH"N|=《X?X|BC||OD|,

即Tx2W|HN|=|x^x2V^xV^,解得旧N|=W，所以|EN|=J|E4|2+旧蚌=+|

5V3―

在RtAEHN中,cos乙ENH=粤=壬=源.

\EN\忸29

17.(1)右焦点F(l,0),且2b=2必，即6=V5.又因为a?-。2=1,所以a=2,椭圆E的标准方程为：?+?=1.

(2)显然直线％的斜率不为0,设直线%的方程为XFEY+LC(xltyi),D(x2,y2).

联立｛久旷?!。：、消去式，整理得y?—4?ny—4=0,△>0,

所以yi+y2=4皿y/2=-4，

所以|CD|=Vl+m2-J(yi+yz):-4yly2=4(m2+1).

由垂直关系可设直线4的方程为y=-m%+m,设/(%3，丫3)，5(%4，、4)，

cy=­mx+m

联立，x2丫？_i,(3+4m2)%2—8m2x+4(m2-3)=0,△'>0,得第3+

I43—

_87n2_40n2-3)

“4=用正，％3%4=3+4机2，

22

所以=Vl+m-7(%3+x4)—4X3X4=益鲁,

2

所以S四边形4CBD=-|CD|-\AB\=-x4(m+1)X必华西=2轨吗+-

四边形ACBD211112vJ47n2+34m2+3

iS4m2+3=t(t>3),则S四边形.Bp=|x=|(t+1+2),

因为y=1+1+2在［3,+8)上单调递增,

所以S四边形4CBDN|X(3+［+2)=8,所以四边形ACBD的面积S的取值范围为［8,+8).

答案第5页，共8页

18.(1)当a=1时，/(%)=(%+l)e2-x+1,则f(%)=e2T—(%+l)e2-x=—xe2-x,

令广(%)=0,解得％=0,

当%E(一8,0)时，/'(%)>0,则f(%)在(一8,0)单调递增，

当％C(0,+8)时,((%)<0,则f(%)在(0,+8)单调递减，

所以/(%)有极大值/(0)=。2+1,无极小值.

(2)/(%)=e2~ax—a(x+l)e2-ax=e2-ax(—ax—a+1),

令/Q)=0,则久=蜉，因为a<0,所以一a>0,0

当无e(—8,时，尸Q)<0,则/(%)在(—8,平)上单调递减，

当“€(3巴,+8)时,f'(x)>0,则/(%)在(早,+8)上单调递增,

所以/(久)>/(季)=+1)e2-a誓+1=(e】+a+1,

设h(a)=叫+a+l,a<0,则“(a)=~^e1+a+^e1+a=e1+a^,

因为a<0,所以〃<)<0,所以h(a)在(一8,0)单调递减，

又因为以一1)=0,

所以当。<一1时，^e1+a+1>0,则/(%)>0,无零点；

1+a

当。二一1时，ie+l=0,/(%)有1个零点，

当一l<aV0时，ie1+a+1<0,又/(0)=e?+1>0,当％t—8时，/(%)t1,/(冗)有2个零点.

(3)/(%)>g(x)。(％+l)e2-ax+1>(%+i)a%e2+(i—a)%+1=(X+l)e2-ax>(x+l)axe2+^1-a^x,

因为久NO时，x+1>l,e2~ax>0,

所以f(%)>g(x)«1>(%+l)ax-1exae~x>(x+l)ax-1,

两边同时取自然对数得，一%之(a%-l)lnQr+1),

当％=0时，020成立，

当%>0时，ln(x+1)>0,则一%>(ax—l)ln(x+1)o［、+->a,

l।n(x+l)x

设砥%=品+)>3

则环⑺=忌内11x2-(x+l)ln2(x+l)

x+1X2x(x+l)ln2(x+l)

设71(%)=x2—(x+l)ln2(x+l),x>0,

则/(%)=2x-ln2(x+1)—(%+1)•2•ln(x+1)•——=2x—In2(%+1)-21r1(%+1),

设p(%)=2x-ln2(x+1)—21r1(%+1),%>0,

则p'(久)=2-21n(x+1)•士一三2x-21n(x+l)

x+1

答案第6页，共8页

设々(%)=2x—21n(x+l),x>0,

则人(%)=2-高=第>0,所以k(x)在(0,+8)单调递增，

又k(0)=2X0-21n(0+1)=0,所以k(x)>0,

所以"(x)>0,则p(x)在(0,+8)单调递增，

又p(0)=2X0-ln2(0+1)-21n(0+1)=0,所以p(x)>0,

所以"(x)>0,则71(久)在(0,+8)单调递增，

又n(0)=02-(0+l)ln2(0+1)=0,所以欣久)>0,

所以zn'(x)>0,则n?(X)在(0,+8)单调递增，

又当x-»0时，山(久)——5所以?n(x)>-3

所以a<—

19.(1)由题可知，