比例线段重难点题型专训（6大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年沪教版九年级上册重难点专练（解析版）

专题02比例线段重难点题型专训（6大题型+15道拓展培优）

©题型目录

题型一比例的性质

题型二线段的比

题型三成比例线段

题型四由平行判断成比例的线段

题型五由平行截线求相关线段的长或比值

题型六黄金分割

Q知识梳理

知识点一、线段的比与成比例线段

线段的比两条线段长度的比叫做两条线段的比.注意：求两条线段的比时必须统一单位）.

ac

四条线段〃、b、c、4中，如果?=三，那么这四条线段。、b、C、〃叫做成比例

成比例线段ba

线段，简称比例线段.

知识点二、比例的性质

ac

基本性质一=——<^>aa7=be

bd

合比的性质aca±bc±d

=o=

bdbd

acm,x6z+c+---+m_

等比性质————…———k1\(b1+dH---,一k

bdnb+d+…+n

知识点三、黄金分割

若线段AB上一点C把线段AB分成两条线段AC与BC（AOBC）,如果生=空，这

ABAC

黄金分割

时称点c是AB的黄金分割点,这个比值称为黄金比，它的值为41二1«0.618.

2

B-经典例题

【经典例题一比例的性质】

【例1】（23-24九年级上•上海松江•期中）已知ac=6d（a、b、c、d都不为0）,则下列各式一定成立的是

（）

ac—cd-c+1d+1-be

As.一=一B.一二一C.——=-------D.一=一

bdbabada

【答案】B

【分析】本题考查比例的性质，组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做比例的外项，中间的

两项叫做比例的内项，比例里，两个外项的积等于两个内项的积，据此解答即可.

【详解】解：A、?转化为等积式为4=6c,和已知不一致，故该选项错误；

ba

B、；=4转化为等积式为。。=切，和已知一致，该选项正确；

ba

C、?=但转化为等积式为a（c+l）=b（d+l）,整理得：ac+a=bd+b,和已知不一致，故该选项错误;

ba

hc

D、==£转化为等积式为加“，和已知不一致，故该选项错误；

aa

故选：B.

区变式训练

1.（22-23九年级上•上海徐汇•期中）如果5x=3y（尤、y均不为零），那么x：y的值是（）

A.-B.-C.-D.-

3588

【答案】B

【分析】等式两边同除以5y即可得到答案.

【详解】解：等式两边同除以5y,可得：三=m，即±4，

故选B.

【点睛】本题考查比例式的性质，熟练掌握比例内项之积等于比例外项之积是解题关键.

2.（23-24九年级上•上海闵行•期中）若3T=白0,那么一卜产二_________.

235x+2y----------

【答案】-0.625

O

【分析】根据比例性质设则x=2Z,y=3k,“双,进而代值求解即可.

【详解】解：设鼻=,=]=4，贝1JX=2Z，y=3k,

.x+y-2z

x+2y

2k+3k-10k

2k+6k

—5人

~8k

5

8

【点睛】本题考查比例性质、分式的性质，熟练掌握比例性质并灵活运用是解答的关键.

3.（22-23九年级上•上海奉贤•期中）已知：a：b：c=3：4：5

3a-b+c

(1)求代数式的值;

2a+3b-c

（2）如果3。-Z?+c=10,求。、b、c的值.

【答案】(1)—；(2)。=3,匕=4,c=5

【分析】（1）根据比例设。=3鼠b=4k,c=5k（厚0）,然后代入比例式进行计算即可得解;

（2）先设a=3Z,b=4k,c=5k（厚0）,然后将其代入3o-Z?+c=10,即可求得〃、b、c的值.

【详解】（1）,・"：b：c=3：4：5,

:・设。=3攵，b=4k,c=5k(厚0),

.3a-b+c9k-4k+5k10210

贝nU--------------=-----------------=------------

2a+3b-c6k+12k-5k13k13'

(2)设〃=3%,b=4k,c=5k(^0),代入3〃-/?+c=10得:

9h4人+5k10,

解得bl.

贝!Ja=3k=3,b=4k=4fc=5k=5.

【点睛】本题考查了比例的性质，利用“设上法''求解更简便.

A【经典例题二线段的比】

【例2】（2023秋•全国•九年级专题练习）如图，在AABC中,AB=AC=5,BC=6,点M为BC的中点,

MN_LAC于点N,则MN等于（）

16

D.

y

【答案】A

【分析】连接AM,根据等腰三角形三线合一的性质得到AMLBC,根据勾股定理求得AM的长，再根据

在直角三角形的面积公式即可求得MN的长.

【详解】解：连接AM,

：AB=AC,点M为BC中点，

.,.AMXCM（三线合一），BM=CM,

VAB=AC=5,BC=6,

；.BM=CM=3,

在RtAABM中，AB=5,BM=3,

,根据勾股定理得：AM=y/AB12-BM2

=A/52-32

=4,

又SAMC=-MN-AC=-AM«MC,

A22

•STAMCM

・・MN=-----------

AC

一

~~5.

故选A.

【点睛】综合运用等腰三角形的三线合一，勾股定理.特别注意结论：直角三角形斜边上的高等于两条直

角边的乘积除以斜边.

H变式训练

1.（2023春•河北承德•九年级统考阶段练习）如图，将矩形纸片A8CD按照以下方法裁剪：剪去矩形A3CD

边AD长的;，边8长的3（称为第一次裁剪）；剪去剩下的矩形但'G（阴影部分）边AE长的;，EF长

的W（称为第二次裁剪）；如此操作下去，若第五次裁剪后，剩下的图形恰好是正方形，则原矩形ABCO的

长宽比为（）

21024332

A.D.

32243

【答案】A

2i

【分析】设原矩形ABCQ的长为羽宽为%则第一次裁剪所得矩形的长为.元，宽为;V，以此类推得出第

五次剪所得矩形有，UX=y即可求出答案.

【详解】设原矩形ABCD的长为x,宽为y,

21

则第一次裁剪所得矩形的长为彳工，宽为gy,

j乙

一第二次裁剪所得矩形的长为［薮］X,宽为了，

，第三次裁剪所得矩形的长为（羡］x,宽为

一第四次裁剪所得矩形的长为x,宽为［了，

:第五次裁剪所得剩下的图形恰好是正方形，

故选：A.

【点睛】本题考查矩形的性质，正方形的性质，熟悉掌握该知识点是解题关键.

AP0AP

2.（2023秋•九年级单元测试）已知P是线段上一点，且则不=______

PB5AB

2

【答案】y

【分析】设AP=2x,那么PB=5x,则AB=7x,从而求得其比值.

【详解】设AP=2x,那么PB=5x,

・・・AB=AP+PB=7x,

・_2

•・瓦一五一1

故答案是：

【点睛】运用线段的和、差、倍、分来转化线段之间的数量关系是解题的关键.

3.（2023春•九年级课时练习）（1）已知线段”是线段6、c的比例中项，如果。=2,6=3,求c的长度.

（2）已知2:（a+l）=（a—l）:3,求。的值.

4

【答案】（1）（2）土币.

【分析】（1）根据线段比例中项的定义即可得；

（2）根据已知比例式、平方差公式、算术平方根求解即可得.

【详解】（1）由题意得：-=£,即/=尻，

ba

将。=2,6=3代入得：2?=3c,

解得c=3；

（2）由2:（Q+1）=（〃—1）:3得：（a+l）（a—l）=2x3,

整理得：〃_1=6,即/=7,

解得a=土币.

【点睛】本题考查了比例线段、平方差公式、算术平方根等知识点，熟练掌握比例线段的定义是解题关键.

41经典例题三成比例线段】

【例3】（22-23九年级上•上海宝山•期中）下列各组中的四条线段成比例的是（）

A.2cm,3cm,4cm,6cmB.2cm,3cm,4cm,5cm

C.1cm,2cm,3cm,4cmD.3cm,4cm,6cm,9cm

【答案】A

【分析】根据比例线段的概念逐项判断即可解答

【详解】解:A.•••2x6=3x4,，四条线段成比例,符合题意；

B.：2x5W3x4,...四条线段不成比例，不符合题意；

C.；卜4/2*3,.•.四条线段不成比例，不符合题意；

D...,3x9/4x6,...四条线段成比例，不符合题意.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和

最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断.

X变式训练

1.（22-23六年级上•上海静安•课后作业）如果a=2,b=4,c=8,那么（）

A.a、b、c的第四比例项是7B.3a、2b和3c的第四比例项为18

C.c是ab的比例中项D.b是ac的比例中项

【答案】D

【分析】根据线段成比例进行判断即可.

9Q

【详解】A选项a、b、c的第四比例项是16,因为：=白，

416

624

B选项3a、2b和3c的第四比例项为32,因为三二不，

C选项c不是ab的比例中项，因为曲

D选项b是ac的比例中项，因为=〃

故选：D

【点睛】本题考查线段成比例的问题.关键是根据线段成比例的性质解答.

2.（2024•上海杨浦•一模）已知线段。=3厘米，c=12厘米，如果线段b是线段。和c的比例中项，那么6=

厘米.

【答案】6

【分析】本题考查了比例线段，根据比例中项的定义得到〃：6=%：c,然后利用比例性质计算即可，解题的

关键是理解四条线段。、6、c、d,如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，

a-.b=c-.d,我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段，当a:6=》:c时，线段6是线段。和c的比

例中项.

【详解】：线段b是线段。和。的比例中项，

a:b=b:c,BPb1=«c=3xl2,

Z?=6(cm),

故答案为：6.

3.(22-23九年级上•江苏南京•阶段练习)我们知道：选用同一长度单位量得两条线段AB,的长度分别

勿7AR

是加，儿，那么就说两条线段的比=如果把」表示成比值3那么一=k^AB=k-CD.请

nCD

完成以下问题：

(1)四条线段。，b,c,d中，如果一，那么这四条线段。，b,c,d叫做成比例线段.

(2)已知智三，那么了=三4成立吗？请说明理由.

baba

(3)如果一^-=-^=17=根，求加的值.

【答案】(l)a：〃=c：d

(2)如果：=那么噌=三［成立，详见解析

baba

⑶〃z=2或-1

【分析】(1)根据成比例线段的定义即四条线段a,b,c,d中，如果a：b=c:d,那么这四条线段。，b,

c,d叫做成比例线段，解答即可.

(2)根据等式的性质，或设比值上的方法求解即可.

(3)分x+y+z=O和x+y+zwO两种情况求解.

【详解】(1)根据题意，得四条线段。，b,c,d中，如果a：6=c:d,那么这四条线段a,b,c,d叫

做成比例线段.

故答案为：a:b=c:d.

(2)解法1：如果：=那么宇=不成立.理由:

baba

二.a=bk,c=dk,

.a-bbk-b.、c-ddk-d.,

,・----=-----=k-1;----=------=k-1,

bbdd

.a—bc—d.

••=.

bd

解法2：如果：=$，那么?=三4成立.理由:

baba

a_c

b~~df

bd

(3)①当x+y+z=O时，

y+z=-x,z+x=y,x+y=-z,

，机为其中任何一个比值，即机=M=-1；

X

②x+y+zwO时，

y+z+z+x+x+y2(x+y+z).

m=-----------------------=---------------=2.

x+y+zx+y+z'

所以m=2或-I.

【点睛】本题考查了比例的性质，等比的性质，熟练掌握性质并灵活运用解题是解题的关键.

41经典例题四由平行判断成比例的线段】

【例4】（23-24九年级上•上海普陀•阶段练习）如图，在ASC中，点。、E分别在边AB、AC上，且不与

ABC的顶点重合，下列条件中，一定能得到DE〃3c的是（）

BDAE「ADAEDEAEABAE

A.-B.=D.

ADCEBDCEBC-ACBD~CE

【答案】B

【分析】根据两直线被第三条线段所截,对应线段成比例，两直线平行逐项判断即可.

【详解】解：A.由空=坐，可得出DE〃BC,故由空=当不能得到OE〃3C,该选项不符合题意;

ADAEADCE

AJJAp

B.由后，可得出OE〃3C，故该选项符合题意;

DDCE

DP4Z7

C.由第=笠不一定能得到小〃BC，故该选项不符合题意;

nCAC

ArtACARAF

D.由芸=修，可得出DE〃BC,故由黑=三不能得到OE〃3C，该选项不符合题意;

DDCEBDCE

故选B.

【点睛】本题考查对应线段成比例，两直线平行.掌握如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比

例，那么这条直线平行于三角形的第三条边是解题关键

区变式训练

1.（22-23九年级上•上海青浦•期中）在11ABe中，点E分别在AB、AC的反向延长线上，下列不能判定

。石〃的条件是（）

A.EA-.AC^DA.ABB.AC:AB=EC:BD

C.EA:EC=DA:DBD.AC:AE=AD:AB

【答案】D

【分析】利用“如果一条直线截三角形的两边或两边的反向延长线，对应线段成比例，那么这条直线平行于

三角形的第三边”逐项判断即可求解.

【详解】解:如图，

A、若E4:AC=ZM:AB,则故选项A不合题意；

B、若AC:AB=EC:BD,则DE〃BC,故选项B不合题意；

C、若EA:EC=DA:DB,则。E〃5C,故选项C不合题意；

D、若=无法得到DE〃BC,故选项D符合题意.

故选：D

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理的推论，准确掌握平行线分线段成比例定理推论是解题关键.

2.（23-24九年级上•上海普陀•阶段练习）如图，已知直线。、b、。分别交直线/于点A、B、C,交直线机

于点。、E、F,S.a//b//c,如果AB:5c=2:3,DF=20,那么EF=.

【答案】12

【分析】根据平行线的性质可得普=£设上=2x,则EF=3x,利用D尸=DE+EF求出x的值,

BCEF3

即可得出EF的值.

【详解】解：a//b//c,AB:BC=2:39

.ABDE2

设。石=2%,则砂=3x,

/.DF=DE+EF=2x+3x=5x=20,

/.x=4,

.•衣=3x4=12.

故答案为：12.

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键.

3.(2024八年级.全国.竞赛)如图1,在ABC中，截线。石交AB于点。，交AC于点交的延长线

于点尸.

图1图2

ADBFCE]

⑴求证:

BDCFAE"；

⑵若截线上经过极的重心点G,如图2,利用(1)中的结论，求证：翁If"

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理：

(1)过点C作CG〃m'交于点G,根据平行线分线段成比例定理可得结论;

BDGHFB

相加可得结论.

⑵由⑴得潺露I，DA~AGHF

【详解】（1）证明：过点。作CG〃。方交A5于点G,如图,

AE~DA9FC~GD

.ADBFCEADGDBD1

>.------------------=--------------------=1

DBFCEADBDAGD

（2）证明：如图，连接并延长AG交5C于点G,

HF।.CEGHFC

——=1,则n——=-------,

FCEAAGHF

小八川〜曰BDAGHF1.BDGHFB

由DGF截ABH可得------------=1,贝nI=--------

DAGHFBDAAGHF

・・,点G是.ABC的重心,

・・・AH为5C边上的中线，且AG=2G”,

.CEBDGHFCGHFB_GH（FC+FB）_2GH

**EADA~AGHFAGHF~AGHFAG

4【经典例题五由平行截线求相关线段的长或比值】

【例5】（2023秋・广东深圳•九年级校联考期中）如图，三条直线a〃》〃c,若AS=CD,丝=],则孚=

DF3GE

A\/B

GK

CZ7

【答案】A

AnARiAn93

【分析】根据a〃8可得====1,从而得到AG=GO=二AD,再由工=不，可得。尸最后

GDCDDF3

±40-AD

BGAG2[,进行计算即可得到答案.

再由〃〃〃可得2

ac13

GFGD+DF-AD+-AD

【详解】解：a//b,AB=CD,

AGAB1

•,•_一__一_—_——i工，

GDCD

AG=GD,

AG=GD=-AD,

2

AD_2

DF-3?

3

:.DF=-AD,

2

a//b//c,

BGAG

13

GEGFGD+DF-AD+-AD

故选：A.

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握此知识点是解题的关键.

X变式训练

/yr）1

1.（2023秋・安徽六安•九年级校考期中）如图，点。㈤/分别在；ABC的边上，==：,DE〃3C,£F〃AB,

BD3

点加是EF的中点，连接3M并延长交AC于点M则F二N的值是（）

【答案】A

【分析】过点尸作FG〃师交AC于点G,可证£7V=GN.同理，可得=丝=1,EC=3AE，4f=g==；

ECDB3ECFC3

由FG〃BN,得见=也=工,于是GC=3NG；设EN=NG=a,则GC=3a,EC=5a,AC=­a,从而

FCGC33

/目EN3

得一=—.

AC20

【详解】解：过点尸作/G〃5N交AC于点G,

.ENEM

''~GN~~FM~

：.EN=GN.

9：DE//BC,

.AEAD_1

・•法一拓一记

・•・EC=3AE.

•・・£F〃AB,

.AEBF_1

**EC-FC-3*

FG//BN,

.BFNG_1

**FC-GC_3,

JGC=3NG.

设EN=NG=a,则GC=3a,

:.EC=EN+NG+GC=5a

：.EC=3AE=5a.

AE=­a.

3

520

AC=AE+EC=-a+5a=—a.

33

EN_a3

AAC-20--20.

—a

3

故选：A

【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理；由平行线得到线段间的数量关系是解题的关键.

2.（2023秋•湖南衡阳•九年级校联考阶段练习）如图ABC中，E、尸为的三等分点，M为AC的中点,

BM与AE、AF分别交于G、H,贝U3G:GW:9.

【答案】5:3:2

【分析】首先过点/作MK〃BC,交AF,AE分别于K,N,由M是AC的中点与E、尸为BC的三等分

点，根据平行线分线段成比例定理，即可求得知"=。由/,MG=BG,,然后根据比例的性质，即可求解.

4

【详解】解：过点M作研〃5C,交ARAE分别于K,N,

•・,M是AC的中点，

.MN_NK_AN_AM

**EC--AE~^4C-2?

•：E、产为5C的三等分点，

JBE=EF=FCf

:,MN=2NK,

..MHMKMG_MN

・BH-BF-4'BG~BE~

：.MH=-BH,MG=BG,

4

^MH=a,BH=4a,BG=GM=(,

3

GH=GM-MN=-a,

2

53

:.BGGH：HM=-a:-a:a=5:3:2.

22

故答案为：5:3:2.

【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理与比例的性质.此题难度适中，解题的关键是注意辅助线的

作法，注意数形结合思想的应用.

3.（2023秋•河南南阳•九年级校考阶段练习）如图，已知直线4、4、4分别截直线。于点A、B、C,截直

⑴如果AB=4,6C=8,EF=12,求DE的长;

(2)如果DE:=2:3,AB=6,求AC的长.

【答案】⑴6

⑵15

【分析】（1）由平行线分线段成比例定理得到==亦，代入已知线段长度即可得到DE的长；

BCEF

（2）由平行线分线段成比例定理得到黑=名，由上:所=2:3得到坐=丝=言，由AB=6得到

BCEFBCEF3

3

BC=-AB=9,即可得到AC的长.

【详解】（1）解：如图,

・.・lx//l2//l3,

.ABDE

•・密一而‘

VAB=4,8C=8,EF=12,

即OE的长为6；

(2)lx//l2//l3f

.ABDE

**BC-EFJ

DE:EF=2:3,,

.ABDE_2

**BC-EF-3)

•・•AB=6,

3

BC=-AB=9

2f

：.AC=AB+BC=6+9=15.

【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理并找准对应线段是解题的关键.

*41经典例题六黄金分割】

【例6】(2024.上海杨浦.一模)已知尸是线段"的黄金分割点，且相>8尸，那么下列等式能成立的是()

.ABAPcABBP

A.—=—B.-

APBPBPAP

„AP75-1cABA/5-1

k_z.一L).—

BP2AP2

【答案】A

【分析】本题考查黄金分割点，根据黄金分割点的定义得出线段比例关系，选出正确选项，解题的关键是

掌握黄金分割点的性质.

【详解】解:如图，

P

A1----------------------1--------------'R

•••点户是线段AB的黄金分割点,,S.AP>BP,

.APPBV5-1

9AB~AP~2'

故选：A.

区变式训练

1.（23-24九年级上•上海崇明・期中）已知M是线段A8上的黄金分割点，且那么下列各项正确

的是（）

A.4吆=避二1B.国£=避二1c.则_=避二1D.8M是AM与的比例中项

AB2MB2AB2

【答案】A

【分析】本题主要考查黄金分割点的定义，把一条线分割成两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部

分与这部分之比等于避二1即可得到答案.

2

【详解】解：由于M是线段上的黄金分割点，

,AM_BM_V5-1

故选项A正确，选项B、C错误；

由比例中项定义可知，选项D错误.

故选A.

2.（23-24八年级下•上海青浦•期末）点P是线段上的一点，如果BP=^5-1,那么

AP=_____

【答案】2

【分析】本题考查了黄金分割，由题意得出点F是的黄金分割点，得到人尸=叵口45,结合

2

AB=AP+BP,BP=y/5-l,代入计算即可得出答案.

【详解】解：：AP2=3PAB，

.APBP

*'AP)

二点尸是AB的黄金分割点，

...AP=^^-AB,

2

VAB=AP+BP,BP=s/5-l,

：.AP=^—^(AP+V5-1),

2

解得：AP=2,

故答案为：2.

3.（22-23九年级上•上海嘉定•期中）已知点A、B、C在一条直线上，AB=1,S.AC2^BCAB,求AC的

长.

【答案］垦［或!!2公

22

【分析】分三种情况：当点C在线段A3上，当点C在线段的延长线时，当点C在线段54的延长线时,

然后分别进行计算即可解答.

【详解】解：分三种情况：

当点C在线段上，如图：

ABC

AC2=BCAB,

.・.点C是AB的黄金分割点，

,Vs-1.\/5-1\/5-1

..AACr=-----ABR=-----xl=-----；

222

当点C在线段AB的延长线时，如图：

---•.・—

ACB

设AC=x,贝1]5。=4。-帅=1,

AC2=BCAB,

%2=(x—1),1,

整理得：x2—x+1—O,

二.原方程没有实数根；

当点C在线段54的延长线时，如图：

CAB~

设AC=x,贝iW=AC+AB=x+l,

AC2=BCAB,

X~~(x+1),1,

整理得：x2—x—1=0,

解得：玉=91,X=匕好(不符合题意，舍去),

1222

，AC的长为叱叵；

2

综上所述，AC的长为正匚或士

22

【点睛】本题考查了黄金分割，分三种情况讨论是解题的关键.

＞提优训练

1.（22-23九年级上•上海闵行•期中）已知2x=3y（xw。），下列式子错误的是（）

【答案】C

【分析】根据内项之积等于外项之积可对42、C进行判断；利用合比性质可对。进行判断.

x3

【详解】解：A.2产3»则一=不，所以A选项不符合题意；

y2

B.2x=3y,则鼻=］，所以8选项不符合题意；

C.2x=3y,则y：x=2：3,所以。选项符合题意；

x3x33

D.2x=3y,则一=彳，所以---=-~,所以。选项不符合题意.

y2x+y3+25

故选：C.

【点睛】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的基本性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性

质、合分比性质、等比性质等）是解决问题的关键.

2.（22-23八年级下•上海浦东新•期末）已知P是线段A5的黄金分割点，S.AP＞BP,则下列比例式能成立

的是（）

丝四AB=5-1

A组.也BC"=也D

APAB'APBPABAPAP2

【答案】C

【分析】根据黄金分割的定义求解即可.

【详解】解：如图所示，

P

A1-------------------1------------'R

■尸是线段48的黄金分割点，且钎＞8尸，

.PBAPV5-1

APAB2

A.故该选项不正确，不符合题意；

APAB

B.黑二黑，故该选项不正确，不符合题意；

APBP

APRP

C.—=故该选项正确，符合题意；

ABAP

D.丝=叵"，故该选项不正确，不符合题意；

AP2

故选：C.

【点睛】本题考查了黄金分割的定义，解决本题的关键是掌握黄金分割定义（把线段AB分成两条线段"和

BP（AP>BP）,且使AP是AB和研的比例中项，叫做把线段A8黄金分割，点P叫做线段A3的黄金分割

点）.

3.（23-24九年级下•全国•单元测试）已知点C是线段AB上的一个点，且满足AC2=BOAB,则下列式子成

立的是（）

.ACA/5-1„ACA/5-1„BC75-1„CB75+1

/X.（-----------------------D.---------....................V_______=--------------U.--------------------------

BC2AB2AB2AC2

【答案】B

【分析】把AB当作已知数求出AC,求出BC,再分别求出各个比值，根据结果判断即可.

【详解】：AC2=BC>AB,

AAC2-BC・AB=O,

VAB=AC+BC

/.AC2-（AB-AC）AB=O,

.,.AC2+AB«AC-AB2=O,

22

.AC=-AB+7AB-4x1x(-AB)

"2x1

:边长为正值，

/.AC=士正AB,BC=AB-AC=3~AB,

22

—1+y/5

.AC2-1+^1+^

"~BC~3-V5-3-石-—~,故A选项错误,

=@二i,故B选项正确,

AB22

驾=三史，故C选项错误，

AB2

3号=",故D选项错误,

故选B.

【点睛】本题考查了解一元二次方程和黄金分割的应用，把AB当作已知数求出AC,求出BC,再分别求

出各个比值是解题关键.

4.（22-23九年级上•上海崇明•期中）在ABC中，点。、E分别在边A3、AC上，如果">=2,BD=3,

那么由下列条件能够判定DE〃3C的是（）

.DE2AE2〃AE2CE_2

A.--——Bn.—=-C........——

BC5AC5AD5AC-5

【答案】B

【分析】利用如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于

三角形的第三边可对各选项进行判断即可.

ADAE„ADAE

【详解】当=—或——=——时n，DE//BC,

DBECABAC

嚼嚏时，r，口

可得A一E=-2

EC3

当*嚏时，r田AE2

可得——=-

AC5

AE2.AE2

即Hn——二一或——

EC3AC5

所以B选项是正确的,

故选：B.

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.

5.（22-23八年级下•上海•期末）如图，已知尤="，求作x,则下列作图正确的是（）

a

【答案】B

【分析】先在射线A4上依次截取BC=c,在射线4V上截取小》=》，连接3。，过C作

交4V于E,则@==即。再根据尤="，即可得出结论.

cDEaa

【详解】如图，需要在射线A"上依次截取AB=。，BC=C,在射线AN上截取

连接5。，过。作交AN于E,则

ABADab

——=——，即Rn一二——，

BCDEcDE

所以。石=一；

a

因为x=g,

a

所以DE=x即OE即为所求.

故选：B.

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理的基本作图，熟练掌握定理是解题的关键.

6.⑵-24九年级上•浙江杭州•阶段练习）若言《则泊值为

7

【答案】

【分析】此题考查了比例的性质，根据比例性质即可求解，解题的关键是正确理解比例的性质.

【详解】

a+b5

.,.设。=7左，a+b=5k（左/0）,

:.b=-2k,

.a7k7

>•—―-----------

b—2k2,

7

故答案为：

7.（22-23九年级上•上海奉贤•期中）已知线段。是线段b、c的比例中项，如果6=3,c=2,那么

【答案】A/6

【分析】根据比例中项的定义：若6是a,c的比例中项，即〃=改.即可求解.

【详解】解：.••线段。是线段6、c的比例中项，

'.a2=bc,

即a2=6,

a=46（负值舍去）.

故答案是：屈.

【点睛】本题考查了比例线段，解题的关键是理解比例中项的定义.

8.（23-24九年级上•上海长宁•阶段练习）已知点C是线段的黄金分割点，且若线段AB的长

为4厘米，那么线段AC的长为_____厘米.

【答案】（2石-2）/（-2+2君）

【分析】根据黄金比值是避二1,列式计算即可.

2

【详解】•・,点C是线段A5的黄金分割点，AOBC,线段A3的长为4厘米，

4。=存1AB=（275-2）cm,

故答案为：（275-2）.

【点睛】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段与全线段的比等于较

短线段与较长线段的比，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值且二1叫做黄金比.掌握黄金分割的概

2

念是解题的关键.

9.（22-23九年级上•上海奉贤・期中）如图，四边形ABCD中，AD〃3C〃石尸，如果AE=3,AB=8,CD=10,

【分析】根据平行线分线段成比例得出A笠E=纪DF，求出=1?5,即可得出答案.

ABCD4

【详解】9：AD//BC//EF,

.AEDF

••南—五’

VAE=3,AB=8,0)=10,

.3DF

**8-7O-，

解得：

4

1575

CF=CD-DF=10——=—,

44

故答案为：—.

4

【点睛】本题考查平行线分线段成比例，正确得出比例线段是解题的关键.

10.（23-24九年级上•上海松江•期末）如图，已知直线4、4、4分别交直线优于点&、B、C,交直线“于

点。、E、F,S.1A//12//l3,AB=2BC,DF=6,那么EF=.

【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键.

ARDP

先由运用平行线分线段成比例的内容可得黑=于=2,再将尸-研=6-历代入求出

EF,即可求解.

【详解】解：,."I〃/2〃/3，A8=2BC,

ABDEc

---------2,

BCEF

QDE=DF-EF=6-EF,

:T=2,

EF

解得£F=2.

故答案为：2.

a+bb+cc+a

11.（22-23九年级•上海•假期作业）设力=2（：_c）=3（c_a『求8〃+鲂+5c的值.

【答案】0

【分析】根据分式基本性质，得臀2鲁，令臀2进而即可求解.

【详解】根据分式基本性质