2025版高考数学一轮总复习：函数的单调性与最值

第二节函数的单调性与最值

■课程标准

1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值.

2.理解函数的单调性、最大值、最小值的作用和实际意义.

L知识•逐点夯实口--必备知识系统梳理基础重落实-1课前自修

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知识梳理

L函数的单调性

(1)单调性的定义

要求Xl,X2一般地，设函数〃X)的定义域为D,区间I^D,如果VXI,X2",当XI<X2时

要求“尤1)与

都有.〃尤1)</(X2)都有了(XI)>〃X2)

定

义函数/(X)在区间/上单调递增；若函数〃X)在区间/上单调递减；若函

结论函数/(x)在定义域D上单调递增，贝厅数〃无)在定义域D上单调递减，贝厅(x)

(x)为增函数为减函数

图象描述

自左向右看图象是下降的

自左向右看图象是上升的

(2)单调区间的定义：如果函数尸/(x)在区间/上单调递增或单调递减,那么就说函数y=/(x)在

这一区间具有(严格的)单调性，区间/叫做y=f(x)的单调区间.

提醒(1)求函数的单调区间或讨论函数的单调性必须先求函数的定义域；(2)“函数的单调区间为与

“函数在区间N上单调”是两个不同的概念，显然

2.函数的最值

前提设函数y=/(x)的定义域为。，如果存在实数M满足

.一,①都有了(X)WM；①Vxez),者陌f(x)；

条件----------------------

八但三尤oGD,使得/(xo)使得f(xo)=M

结论M是函数y=f(X)的最大值M是函数y=f(x)的最小值

提醒(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取得；

(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值.

对点自测

1.判断正误.(正确的画7；错误的画“x”)

(1)函数y=：在定义域内单调递减.(x)

(2)对于函数y=/(无)，若〃1)<〃3)，则〃x)为增函数.(X)

(3)若函数〃尤)在区间(1,2］和(2,3)上均单调递增，则函数〃x)在区间(1,3)上单调递增.

(X)

2.下列函数中是增函数的为()

A/(x)=-xB./(x)=(|)%

C./(无)=/D.f(x)=V%

解析：D取制=-1,无2=0,对于A项有f(xi)=1,f(X2)=0,所以A项不符合题意；对于B项有f(xi)

=|,/(X2)=1,所以B项不符合题意；对于C项有/(xi)=1,/(忿)=0,所以C项不符合题意.故选D.

3.已知函数y=f（x）的图象如图所示，则该函数的单调递增区间为（）

A.［-1,2］U［4,5］

B.〔-1,2］和［4,5］

C.［-3,-1］U［2,4］

D.［-3,-1］和［2,4］

解析：B由图象知，该函数的单调递增区间为［-1,2］和［4,5］,故选B.

4.函数y=.在［2,3］上的最小值为（）

X-1

A.2B.-

121

C.-D.--

32

解析：B因为y=」在［2,3］上单调递减，所以>min=」="故选B.

5.函数/（无）=1的单调递增区间为（-8,-1）.

lx2-2x-3

解析：由f-2x-3>0得T或x>3,故/（x）的定义域为（-8,-1）U（3,+°°）,函数/（x）

=11,可看作y=］,/=/-2无-3复合而成，而单调递减，要求/（x）=」】•的单调递增区间,只

lx2-2X-377Jx2-2x-3

需求f=/-2x-3的单调递减区间，由函数y=/-2x-3在（-8,-1）上单调递减，故/（无）的单调递增区间

是（-8,-1）.

/常用结如

L若函数〃X）,g（X）在区间/上具有单调性，则在区间/上具有以下性质：

（1）当/（尤），g（X）都单调递增（减）时，/（无）+g（X）单调递增（减）；

（2）若左>0,则V（x）与单调性相同；若左<0,则子（x）与/（x）单调性相反;

（3）函数y=/（x）（/（x）>0）在公共定义域内与y=-〃x）,尸^的单调性相反.

f（X）

2.函数单调性的两个等价结论

设Vxi,无2G/（X1WX2）,贝（］：

（1）“为尸八犯）>0（或Gif）/（XI）-〃尤2）］>0）寸（尤）在/上单调递增；

-%2

⑺f（"I）<0（或（制72）［/（XI）-/（愈）］<0）弓（尤）在/上单调递减

_工2

6应用

1.（多选）若函数,g（x）在给定的区间。上具有单调性，下列说法正确的是（）

A.函数〃x）与〃x）-c（c为常数）具有相同的单调性

B.函数〃x）与c〃x）具有相同的单调性

C.若/（x）#0,则函数〃x）与-^具有相反的单调性

f（x）

D.若函数/（x）,g（x）在给定的区间上单调递减，则/（x）+g（无）单调递减

解析：AD对于A,根据图象进行上下平移单调性不变，可知命题正确；由结论1可知选项B、C错误，D正

确，故选A、D.

2.已知函数/（x）是定义在R上的偶函数，且对任意两个不等的实数。，be［0,+8）,总有“a）-"->0,则

a-b

满足了（2x-3）</（1）的实数x的取值范围是

解析：由结论2知，函数无）在区间［0,+8）上单调递增，又函数为偶函数，则在（-8,0］上单调递减,

故/（2x-3）</（1）即I2x-3I<1,解得1<x<2,故实数尤的取值范围是（1,2）.

考点•分类突破口-精选考点典例研析技法重悟通-T课堂演练

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判断函数的单调性（区间）

考点一

（定向精析突破）

考向7判断或证明函数的单调性

【例1】已知。>0,函数=x+?（x>0），利用定义法证明：函数在（0,迎］上单调递减，在

［6，+8）上单调递增.

证明：设％1>尤2>0,则/（制）-/（X2）=Xl+--X2--=（X1-X2）+a（X2"i）=「LX2）gX2-a）,

X2X1X2Xrx2

因为Xl>X2>0,所以Xl-X2>0,X1X2>0.

当尤i,尬£（0,时，0<»X2<a,所以％的-〃<0,所以/（为）-f（X2）<0,即/（为）<f（X2）,

所以/（x）在（0,d石］上单调递减；

当xi,松仁［A/H,+8）时，X1X2>a,

所以XlX2-4>0,所以/（为）-f（X2）>0,

即f（xi）>f（X2）,

所以/（X）在［、出，+8）上单调递增.

0变式

（变条件，变设可本例变为:用定义证明函数〃x）=3+2在（0,+-）上单调递增.

［1e%2-

证明：设则/（为）-f（X2）=（eX1+—）-（eX2+—）=（eX1-eX2）+———=（eX1-eX2）

，，exiex2exiex2

（11）_（—工2）（门初-1）

xx

e^e2ex±+x2

xxX1+%2

,：0<xi<x2,.,.ei-e2<0,e-1>0,

.*•/（xi）<f（X2）,（x）在（0,+°°）上单调递增.

解题技法

定义法证明或判断函数单调性的步骤

提醒判断函数的单调性还有图象法、导数法、性质法等.

考向2求函数的单调区间

［例2］函数〃无）=Ix-2I尤的单调递增区间为（-8,1）和（2,+8）.

%2-2%.>2

解析：/（%）={'一'作出了（X）的大致图象，如图所示，由图象知了（%）的单调递增区间是（-

-X2+2x,x<2.

°°,1）和（2,+°°）.

解题技法

确定函数的单调区间的方法

定义法i〔宪至定父裴:苒莉再箪祠可乏文录裤

④囱豪疏定南酸马箪病反而籥注毒防K:

图象法一是单调区间必须是函数定义域的子集;

二是图象不连续的单调区间要分开写，用

“和”或”连接,不能用“U”连接

导数法i国府寻薮两直扇式贫疏乏函裹扇革词团就

«训练

1.下列函数在区间(0,+8)上单调递减的是()

A./(x)=lnxB./()=ex

C.f(x)=VxD./(x)=-§

解析：B对于A,/(x)=lnx为对数函数，其底数e>l,在区间(0,+-)上单调递增，不符合题意；对于

B,/(x)=e-为指数函数，其底数十<1,在区间(0,+8)上单调递减，符合题意；对于C,f(x)=«为嘉

函数，其指数;>0,在区间(0,+8)上单调递增，不符合题意；对于D,/(X)=-2=二为反比例函数，在区

间(0,+8)上单调递增，不符合题意.故选B.

2.函数〃尤)=a-x的单调递增区间为()

A.(0,1)B.(0,1)

1

C.(-,+°°)D.(1+0°)

4z

解析：A令t=«c,显然在[0,+8)上为增函数.又y=/--=-G-之)2+]G20)在[o,当上单调递

增，由《彩得0QW%所以/CO的单调递增区间是[0,三(也可写为(0,()).故选A.

函数单调性的应用

考点二

(定向精析突破)

考向1利用单调性比较函数值的大小

【例3】若〃x)是定义在(-8,+8)上的偶函数，对任意的尤1,X2G[O,+8)且X1#X2,有人口〃二)

次-X1

<。，则()

A./(3)</(1)</(-2)

B./(3)</(-2)</(1)

C./(-2)</(1)</(3)

D./(1)</(-2)</(3)

解析：B•.•对任意的xi,x2e[0,+8)且xi#x2,有八勾一“一)<0...当X2。时,函数了(尤)单调递减，

X2-%1

(3)</(2)</(1),又/G)是定义在(-8,+8)上的偶函数，fix)=/(-x),/./(3)</(-2)

“⑴•

解题技法

利用单调性比较函数值大小的方法

比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，则要利用函数的性质，将自变量的值转化到同

一个单调区间内进行比较，或采用插值法比较大小.

考向2利用单调性解不等式

【例4】已知函数〃无)=lnx+2，，若〃次-4)<2,则实数。的取值范围是(-云,-2)U(2,

小).

解析：因为函数/(x)=lnx+2,在定义域(0,十8)上为增函数，且/(I)=ln1+2=2,所以由/(/一口<2

得，f(a2-4)</(1),所以解得-2或2<a<V5.

解题技法

考向3利用函数的单调性求参数的值(范围)

尤2-2ax%>]

'—'是R上的增函数，则实数a的取值范围是(0,|].

(ax-1,x<1

(?a<1,

xz-2ax,x>I,

解析：因为函数f(x)=(是定义在R上的增函数，所以上>0,解得0<。音?，所以

Iax-1z%<1

tl-2a>a-1z

实数a的取值范围为(0,|].

解题技法

利用函数的单调性求参数的值(范围)的方法

(1)根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解；

(2)对于分段函数，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.

0训练

L若函数=I2x+«I的单调递增区间是[3,+8),贝！]0=()

A.-2B.2

C.-6D.6

解析：C易知函数/(x)=I2x+aI的单调递增区间是[-],+oo),令-]=3,所以a=-6.

2.已知函数/(x)是R上的增函数,A(0,-1),B(3,1)是其图象上的两点，则"(尤+1)I<1的解集为一

(-1,2).

解析：由题意可知，/(0)=-1,/(3)=1,因为函数/(x)是R上的增函数，所以由"(x+1)I<1得-1

</(x+1)<1,即/(0)</(x+1)</(3),因此0<x+l<3,解得-1〈尤<2,即"(x+1)|<1的解集

为(-1,2).

函数的值域(最值)

考点三

(师生共研过关)

【例6】求下列函数的最值：

(1)/(x)=磊”[1,4]；

(2)/(x)=2*-Vx2+1.

解：(1)V/(x)=署=三三=2-京，天£[1，4],・・・/(x)在[1,4]上单调递增，，函数的最小值为f(l)

=也最大值为f(4)=*

(2)令A/%2+1=八则/=於-1,

：.y=2(?-1)7=2及T-2(后1).

Vy=2/2-t-2(r^l)的图象的对称轴为直线.•.当时，y=2产T-2的图象是上升的，；.如加=2义12-

1-2=-1,.,.函数/(x)的最小值为-1,无最大值.

解题技法

求函数最值(值域)的五种常用方法

(1)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；

(2)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；

(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值；

(4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；

(5)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.

提醒(1)求函数的最值时，应先确定函数的定义域；

(2)求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，再选取其中最大的作为分段函数的最大值，最小的作为分

段函数的最小值.

0训练

1•函数产器的值域是2+8)，

解析：尸施=4^^近不还+寻运

令t=7\+%2,则y=f+：N2jT^=2(当且仅当f=1,即/'=1,x=0时，取等号)，因此函数的最小值

为2,无最大值.即函数的值域是［2,+8).

-x>1

2.函数/(无)=■“'一’的最大值为2.

、-久2+2,久<1

1rX>1,

解析：作出函数/(无)=•x'的图象(如图所示)，由函数图象可知，f(x)max=Z(O)=2.

-x2+2,x<1

尸课时•跟踪检测口素养重提升■I课后练习

A级•基础达标

1.函数〃尤)=工在()

1-X

A.(-8,1)U(1,+8)上单调递增

B.(-,1)U(1,+°°)上单调递减

C.(-8,1)和(1,+8)上单调递增

D.(-8,1)和(1,+8)上单调递减

解析：C函数无)的定义域为{xIxWl},/(x)-1,根据函数y=-二的单调性及有关性质，可知

1-X1-XX

f(X)在(-8,1)和(1,+8)上单调递增.

2.(2024•黄冈中学一模)已知定义域为R的函数/(X),Vxi,尤2^R,Xi<X2,都有(XI-X2)[/(X1)-/(%2)]

<0,则()

A./(3)<〃兀)</(2)B./(兀)</(3)<〃2)

C./(2)</(7r)</(3)D./(TT)</(2)</(3)

解析：B易知f(x)是R上的减函数，又无>3>2,故/(无)</(3)</(2).

3.若函数〃x)=短，则〃x)的值域为()

A.(-8,3]B.(2,3)

C.(2,3]D.[3,+8)

22

解析：Cf(x)=Y^T=2+^,=X》。，.\X+1^1).,.OcWwi,：.f(x)e(2,3].

2X,x>0

'一X'若/(a)<7(6-a),则实数a的取值范围是

{-(f),%<0,

()

A.(-3,+8)B.(-8,-3)

C.(3,+8)D.(-8,3)

解析：D显然尤)在R上为增函数，故/'(a)<f(6-a)可化为a<6-a,解得a<3.故选D.

5.设函数〃x)在R上为增函数，则下列结论正确的是()

A.y=^^在R上为减函数

'17(x)1

B.y=lf(x)I在R上为增函数

C.尸--在R上为增函数

f(X、

D.y=-〃x)在R上为减函数

解析：D对于A,若/(x)=x,贝!|y=--—=」一，在R上不是减函数，错误；对于B,若/(x)=x,贝！I

I/(x)|Ix|

y="(x)I=IxI,在R上不是增函数，错误；

对于C,若/(无)=x,则y=-^=-3在R上不是增函数，错误；对于D,函数/(x)在R上为增函数，

f(%)X

则对于任意的Xl,X2^R,设Xl<X2,必有f(X1)<f(%2),对于y=-/(x),则有％->2=[-/(Xl)]-[-/

(X2)]=f(X2)-/(X1)>0,则y=-/(x)在R上为减函数，正确.故选D.

6.(多选)已知函数〃x)满足/G)=第，则关于函数〃无)的说法中正确的是()

A〃无)的定义域为{尤1x^-1}

B〃x)的值域为{yI产1,且y¥2}

C〃尤)在(0,+8)上单调递减

D.不等式/(x)>2的解集为(-1,0)

解析：BCD由于/(工)==?=-I，故/G)===1+」7(%/0且-1),所以/(九)的定义域为

XX।11+—XXri.Xi1

{xI-1,且xWO},作出其图象(图象略)，由图象知，f(x)的值域为{yIyWl,且yW2}；/(x)在(0,

+8)上单调递减；f3>2的解集为(-1,0).故选B、C、D.

7.已知一次函数/(x)=(4a-2)x+3在[-2,1]上的最大值为9,则实数a的值为2或-：.

4a-2>0,(a>-,

2则a=2；当4a-2<0时，/

{4a+1=9,(a=2,

4a-2<01

(x)在[-2,1]上单调递减，.•.{r则〃=--.1综上所述，a=2或〃

、-2(4a-2)+3=9,(a=-1,

8.(2024.重庆一模)函数〃无)-6IxI+8的单调递减区间是(-8,-3],[0,3].

(

%2-6%+8%>0

解析：由题意得函数/(X)={'-'当尤20时，函数/(x)=r-6x+8的单调递减区间为[0,

#+6x+8,%<0,

3],当x<0时，函数/(x)=W+6x+8的单调递减区间为(-8,-3],综上，函数了(尤)

为2-6%+8支>0

=­'—'的单调递减区间为(-8,-3],[0,3].

x2+6x+8,%<0

(%+-2-3%>]

9.已知函数/'(x)={*'—'则咒八-3)]=0,f(x)的最小值是2--3.

Jg(x2+l),x<1,

解析：(-3)=lg[(-3)2+l]=lg10=1,：.f[f(-3)]=/(1)=0.当尤21时，f(x)=x+|-3N2夜-

3,当且仅当彳=夜时，取等号，此时/(尤)min=2迎-3<0；当x<l时，/(尤)=lg(f+1)》lgl=0,当且仅

当X=0时，取等号，此时/(x)min=0"•函数/(X)的最小值为2e-3.

1。.已知函数/(x)=尤Ix-4I.

(1)把〃龙)写成分段函数，并在平面直角坐标系内画出函数〃x)的大致图象；

(2)写出函数/(x)的单调递减区间.

X2-4x,x>4,

(4x-x2,x<4,

函数图象如图所示.

(2)由(1)中函数的图象可知，函数/(无)的单调递减区间为(2,4).

B级•综合应用

-%2_|_4%.v4

11.设函数/(x)='—'若函数〃尤)在区间(。，。+1)上单调递增，则实数a的取值范围是—

log2x,%>4.

(-8,I]U[4,+8).

解析：函数/(x)的图象如图所示，由图象可知/(X)在(〃，〃+1)上单调递增，需满足或〃+lW2,即

或a24.

/(%)=log2%(%>4)

24%

/(%)=-%2+4x

(%W4)

12.能使“函数〃x)=xIx-1I在区间/上不是单调函数，且在区间/上的函数值的集合为[0,2]”是真命题的

一个区间/为田，2](答案不唯一)__________.

解析：当入21时，f(x)=X(X-1)=f-X；当X<1时，/(x)=X(1-X)=-x2+x,.*./(x)在(-00,0,

(I,+8)上单调递增，在Q,1)上单调递减.令/(x)=0,解得x=l或x=0；令/(x)=2,解得x=2,・,•只

需/=[〃，2],0<〃<1或/=(。，2],OW》<1时，/(%)在/上不单调且函数值的集合为[0,2],

13.已知/(x)(x乎a).

x-a

(1)若。=-2,试证明〃x)在(-8,-2)上单调递增；

(2)若。>0且〃尤)在(1,+8)上单调递减，求。的取值范围.

解：(1)证明：当a=-2时，/(无)=2.

设为<龙2<-2,

2

X1X2—(xt-x2)

则”为)-f(x2)