2025届广东省珠海市珠海二中、斗门一中高三数学第一学期期末统考模拟试题含解析

2025届广东省珠海市珠海二中、斗门一中高三数学第一学期期末统考模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．定义两种运算“★”与“◆”，对任意，满足下列运算性质：①★，◆；②（）★★，◆◆，则（◆2020）（2020★2018）的值为()A． B． C． D．2．记递增数列的前项和为.若，，且对中的任意两项与（），其和，或其积，或其商仍是该数列中的项，则（）A． B．C． D．3．已知集合，则集合真子集的个数为（）A．3 B．4 C．7 D．84．一辆邮车从地往地运送邮件，沿途共有地，依次记为，，…（为地，为地）．从地出发时，装上发往后面地的邮件各1件，到达后面各地后卸下前面各地发往该地的邮件，同时装上该地发往后面各地的邮件各1件，记该邮车到达，，…各地装卸完毕后剩余的邮件数记为．则的表达式为（）．A． B． C． D．5．已知数列是公比为的等比数列，且，若数列是递增数列，则的取值范围为（）A． B． C． D．6．函数的最大值为，最小正周期为，则有序数对为（）A． B． C． D．7．在精准扶贫工作中，有6名男干部、5名女干部，从中选出2名男干部、1名女干部组成一个扶贫小组分到某村工作，则不同的选法共有()A．60种 B．70种 C．75种 D．150种8．命题：存在实数，对任意实数，使得恒成立；：，为奇函数，则下列命题是真命题的是（）A． B． C． D．9．中国的国旗和国徽上都有五角星，正五角星与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以、、、、为顶点的多边形为正五边形，且，则（）A． B． C． D．10．复数（i是虚数单位）在复平面内对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限11．已知变量，满足不等式组，则的最小值为（）A． B． C． D．12．的展开式中含的项的系数为（）A． B．60 C．70 D．80二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知数列的各项均为正数，满足，．，若是等比数列，数列的通项公式_______．14．已知椭圆的下顶点为，若直线与椭圆交于不同的两点、，则当_____时，外心的横坐标最大．15．如图，在长方体中，，E，F，G分别为的中点,点P在平面ABCD内，若直线平面EFG，则线段长度的最小值是________________.16．展开式中的系数为_________.（用数字做答）三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）椭圆：的左、右焦点分别是，，离心率为，左、右顶点分别为，.过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1.（1）求椭圆的标准方程；（2）经过点的直线与椭圆相交于不同的两点、（不与点、重合），直线与直线相交于点，求证：、、三点共线.18．（12分）设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为．（1）当直线的倾斜角为时，求线段AB的中点的横坐标；（2）设点A关于轴的对称点为C，求证：M，B，C三点共线；（3）设过点M的直线交椭圆于两点，若椭圆上存在点P，使得（其中O为坐标原点），求实数的取值范围．19．（12分）在中，设、、分别为角、、的对边，记的面积为，且．（1）求角的大小；（2）若，，求的值．20．（12分）已知在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，点的极坐标为．（1）求直线的极坐标方程；（2）若直线与曲线交于，两点，求的面积．21．（12分）已知函数，函数在点处的切线斜率为0.（1）试用含有的式子表示，并讨论的单调性；（2）对于函数图象上的不同两点，，如果在函数图象上存在点，使得在点处的切线，则称存在“跟随切线”.特别地，当时，又称存在“中值跟随切线”.试问：函数上是否存在两点使得它存在“中值跟随切线”，若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由.22．（10分）本小题满分14分）已知曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数），求直线被曲线截得的线段的长度

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

根据新运算的定义分别得出◆2020和2020★2018的值，可得选项.【详解】由（）★★，得（+2）★★，又★，所以★，★，★，，以此类推，2020★2018★2018，又◆◆，◆，所以◆，◆，◆，，以此类推，◆2020，所以（◆2020）（2020★2018），故选：B.【点睛】本题考查定义新运算，关键在于理解，运用新定义进行求值，属于中档题.2、D【解析】

由题意可得，从而得到，再由就可以得出其它各项的值，进而判断出的范围．【详解】解：，或其积，或其商仍是该数列中的项，或者或者是该数列中的项，又数列是递增数列，，，，只有是该数列中的项，同理可以得到，，，也是该数列中的项，且有，，或（舍，，根据，，，同理易得，，，，，，，故选：D．【点睛】本题考查数列的新定义的理解和运用，以及运算能力和推理能力，属于中档题．3、C【解析】

解出集合，再由含有个元素的集合，其真子集的个数为个可得答案.【详解】解：由，得所以集合的真子集个数为个.故选：C【点睛】此题考查利用集合子集个数判断集合元素个数的应用，含有个元素的集合，其真子集的个数为个，属于基础题.4、D【解析】

根据题意，分析该邮车到第站时，一共装上的邮件和卸下的邮件数目，进而计算可得答案．【详解】解：根据题意，该邮车到第站时，一共装上了件邮件，需要卸下件邮件，则，故选：D．【点睛】本题主要考查数列递推公式的应用，属于中档题．5、D【解析】

先根据已知条件求解出的通项公式，然后根据的单调性以及得到满足的不等关系，由此求解出的取值范围.【详解】由已知得，则.因为，数列是单调递增数列，所以，则，化简得，所以.故选：D.【点睛】本题考查数列通项公式求解以及根据数列单调性求解参数范围，难度一般.已知数列单调性，可根据之间的大小关系分析问题.6、B【解析】函数（为辅助角）∴函数的最大值为，最小正周期为故选B7、C【解析】

根据题意，分别计算“从6名男干部中选出2名男干部”和“从5名女干部中选出1名女干部”的取法数，由分步计数原理计算可得答案．【详解】解：根据题意，从6名男干部中选出2名男干部，有种取法，从5名女干部中选出1名女干部，有种取法，则有种不同的选法；故选：C．【点睛】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理问题，属于基础题．8、A【解析】

分别判断命题和的真假性，然后根据含有逻辑联结词命题的真假性判断出正确选项.【详解】对于命题，由于，所以命题为真命题.对于命题，由于，由解得，且，所以是奇函数，故为真命题.所以为真命题.、、都是假命题.故选：A【点睛】本小题主要考查诱导公式，考查函数的奇偶性，考查含有逻辑联结词命题真假性的判断，属于基础题.9、A【解析】

利用平面向量的概念、平面向量的加法、减法、数乘运算的几何意义，便可解决问题．【详解】解：.故选：A【点睛】本题以正五角星为载体，考查平面向量的概念及运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于基础题．10、B【解析】

利用复数的四则运算以及几何意义即可求解.【详解】解：，则复数（i是虚数单位）在复平面内对应的点的坐标为：，位于第二象限.故选：B.【点睛】本题考查了复数的四则运算以及复数的几何意义，属于基础题.11、B【解析】

先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值.【详解】解：由变量，满足不等式组，画出相应图形如下：可知点,，在处有最小值，最小值为.故选：B.【点睛】本题主要考查简单的线性规划，运用了数形结合的方法，属于基础题.12、B【解析】

展开式中含的项是由的展开式中含和的项分别与前面的常数项和项相乘得到，由二项式的通项，可得解【详解】由题意，展开式中含的项是由的展开式中含和的项分别与前面的常数项和项相乘得到，所以的展开式中含的项的系数为．故选：B【点睛】本题考查了二项式系数的求解，考查了学生综合分析，数学运算的能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

利用递推关系，等比数列的通项公式即可求得结果.【详解】因为，所以，因为是等比数列，所以数列的公比为1．又，所以当时，有．这说明在已知条件下，可以得到唯一的等比数列，所以，故答案为：.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有根据递推公式求数列的通项公式，属于简单题目.14、【解析】

由已知可得、的坐标，求得的垂直平分线方程，联立已知直线方程与椭圆方程，求得的垂直平分线方程，两垂直平分线方程联立求得外心的横坐标，再由导数求最值．【详解】如图，由已知条件可知，不妨设，则外心在的垂直平分线上，即在直线，也就是在直线上，联立，得或，的中点坐标为，则的垂直平分线方程为，把代入上式，得，令，则，由，得（舍）或．当时，，当时，.当时，函数取极大值，亦为最大值．故答案为：.【点睛】本题考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用导数求最值，是中等题．15、【解析】

如图，连接，证明平面平面EFG.因为直线平面EFG，所以点P在直线AC上.当时.线段的长度最小，再求此时的得解.【详解】如图，连接，因为E，F，G分别为AB，BC，的中点，所以，平面，则平面.因为，所以同理得平面，又.所以平面平面EFG.因为直线平面EFG，所以点P在直线AC上.在中，，故当时.线段的长度最小，最小值为.故答案为：【点睛】本题主要考查空间位置关系的证明，考查立体几何中的轨迹问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.16、210【解析】

转化，只有中含有，即得解.【详解】只有中含有，其中的系数为故答案为:210【点睛】本题考查了二项式系数的求解，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）见解析【解析】

（1）根据已知可得，结合离心率和关系，即可求出椭圆的标准方程；（2）斜率不为零，设的方程为，与椭圆方程联立，消去，得到纵坐标关系，求出方程，令求出坐标，要证、、三点共线，只需证，将分子用纵坐标表示，即可证明结论.【详解】（1）由于，将代入椭圆方程，得，由题意知，即.又，所以，.所以椭圆的方程为.（2）解法一：依题意直线斜率不为0，设的方程为，联立方程，消去得，由题意，得恒成立，设，，所以，直线的方程为.令，得.又因为，，则直线，的斜率分别为，，所以.上式中的分子，.所以，，三点共线.解法二：当直线的斜率不存在时，由题意，得的方程为，代入椭圆的方程，得，，直线的方程为.则，，，所以，即，，三点共线.当直线的斜率存在时，设的方程为，，，联立方程消去，得.由题意，得恒成立，故，.直线的方程为.令，得.又因为，，则直线，的斜率分别为，，所以.上式中的分子所以.所以，，三点共线.【点睛】本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系，要熟练掌握根与系数关系，设而不求方法解决相交弦问题，考查计算求解能力，属于中档题.18、(1)AB的中点的横坐标为；（2）证明见解析；（3）【解析】

设.（1）因为直线的倾斜角为，，所以直线AB的方程为，联立方程组，消去并整理，得，则，故线段AB的中点的横坐标为．（2）根据题意得点，若直线AB的斜率为0，则直线AB的方程为，A、C两点重合，显然M，B，C三点共线；若直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为，联立方程组，消去并整理得，则，设直线BM、CM的斜率分别为、，则，即=，即M，B，C三点共线．（3）根据题意，得直线GH的斜率存在，设该直线的方程为，设，联立方程组，消去并整理，得，由，整理得，又，所以，结合，得，当时，该直线为轴，即，此时椭圆上任意一点P都满足，此时符合题意；当时，由，得，代入椭圆C的方程，得，整理，得，再结合，得到，即，综上，得到实数的取值范围是．19、（1）；（2）【解析】

（1）由三角形面积公式，平面向量数量积的运算可得，结合范围，可求，进而可求的值．（2）利用同角三角函数基本关系式可求，利用两角和的正弦函数公式可求的值，由正弦定理可求得的值．【详解】解：（1）由，得，因为，所以，可得：．（2）中，，所以.所以：，由正弦定理，得，解得，【点睛】本题主要考查了三角形面积公式，平面向量数量积的运算，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．20、（1）（2）【解析】

（1）先消去参数，化为直角坐标方程，再利用求解.（2）直线与曲线方程联立，得，求得弦长和点到直线的距离，再求的面积.【详解】（1）由已知消去得，则，所以，所以直线的极坐标方程为．（2）由，得，设，两点对应的极分别为，，则，，所以，又点到直线的距离所以【点睛】本题主要考查参数方程、直角坐标方程及极坐标方程的转化和直线与曲线的位置关系，还考查了数形