山东省郓城高级中学2024-2025学年高二数学下学期3月开学收心考试试题

PAGEPAGE8山东省郓城高级中学2024-2025学年高二数学下学期3月开学收心考试试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1.已知直线l经过点P（﹣1，2），且倾斜角为135°，则直线l的方程为（）A．x+y﹣3＝0 B．x+y﹣1＝0 C．x﹣y+1＝0 D．x﹣y+3＝02.若直线mx+2y﹣2＝0与直线x+（m﹣1）y+2＝0平行，则m的值为（）A．﹣1 B．1 C．2或﹣1 D．23.圆心为点C（1，﹣1），且在直线4x﹣3y﹣2＝0上截得的弦长为2的圆的方程为（）A．（x+1）2+（y﹣1）2＝2 B．（x+1）2+（y﹣1）2＝4 C．（x﹣1）2+（y+1）2＝2 D．（x﹣1）2+（y+1）2＝44.若圆C1：x2+y2＝4与圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m＝0外切，则实数m＝（）A．﹣24 B．﹣16 C．24 D．165.记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5﹣a3＝12，a6﹣a4＝24，则（）A．2n﹣1 B．2﹣21﹣n C．2﹣2n﹣1 D．21﹣n﹣16.数列的前项和为，若，则A．1 B． C． D．7.已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±eq\f(3,4)x，且其右焦点为(5,0)，则双曲线C的标准方程为()A.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1 B.eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1C.eq\f(x2,3)－eq\f(y2,4)＝1 D.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝18.已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的左焦点为F，A、B两点是椭圆E上关于y轴对称的点，若△ABF能构成一个内角为的等腰三角形，则椭圆E的离心率e＝（） B． C．﹣1 D．2﹣二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分,部分选对得3分,错选得0分．9.已知直线l过点P（2，4），在x轴和y轴上的截距相等，则直线l的方程可能为（）A．x﹣y+2＝0 B．x+y﹣6＝0 C．x＝2 D．2x﹣y＝010.椭圆以坐标轴为对称轴，经过点（3，0），且长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的标准方程为（）A． B． C． D．11.若直线l：y+1＝k（x+）与圆C：x2+y2＝1有公共点，则实数k的值可以为（）A．2 B．1 C． D．12.已知F1，F2椭圆的左右焦点，|F1F2|＝4，点在椭圆C上，P是椭圆C上的动点，则的值可以为（）A．4 B． C． D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.在四棱锥中，平面，底面四边形为直角梯形，，，，，为中点．异面直线与所成角的余弦值为．14.设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．15.过双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点F为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的标准方程为________________．16.直线y＝kx+k与焦点在y轴上的椭圆+＝1总有两个公共点，则实数m的取值范围是．三、解答题：本大题共题，共分.17.已知数列是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和．18.已知等差数列的前项和为，，；各项均为正数的等比数列满意，．（Ⅰ）求数列和的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和．19.已知椭圆C的焦点为F1（）和F2（），长轴长为6，设直线y＝x+2交椭圆C于A、B两点．求：（Ⅰ）椭圆C的标准方程；（Ⅱ）弦AB的中点坐标及弦长．20.如图，平面，，，，，．（Ⅰ）求直线与平面所成角的正弦值；（Ⅱ）若二面角的余弦值为，求线段的长．21.已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为eq\f(3,2)的直线l与C交于A，B，与x轴的交点为P.（Ⅰ）若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；（Ⅱ）若eq\o(AP,\s\up7(→))＝3eq\o(PB,\s\up7(→))，求|AB|.22.设点M和N分别是椭圆C：＝1（a＞0）上不同的两点，线段MN最长为4．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线MN过点Q（0，2），且＞0，线段MN的中点为P，求直线OP的斜率的取值范围．2024年2月收心考试数学答案1.解：∵直线l的倾斜角为135°，∴斜率＝tan135°＝﹣1，又直线l过点（﹣1，2），∴直线的点斜式为y﹣2＝﹣1（x+1），即x+y﹣1＝0．故选：B．2.，所以m＝2．故选：D．3.解：圆心C到直线4x﹣3y﹣2＝0的距离d＝，又圆截直线4x﹣3y﹣2＝0所得的弦长为2，∴圆的半径r＝．则所求圆的方程为（x﹣1）2+（y+1）2＝4．故选：D．4.解：依据题意，圆C1：x2+y2＝4，圆心为（0，0），半径为R＝2，圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m＝0，即（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25﹣m，圆心为（3，4），半径r＝若圆C1：x2+y2＝4与圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m＝0外切，则有|C1C2|＝＝5＝2+，解可得m＝16，故选：D．5.解：设等比数列的公比为q，∵a5﹣a3＝12，∴a6﹣a4＝q（a5﹣a3），∴q＝2，∴a1q4﹣a1q2＝12，∴12a1＝12，∴a1＝1，∴2n﹣1，an＝2n﹣1，∴2﹣21﹣n，故选：B．6.解：数列的前项和为，，所以：．故选：．7.解：选B，由题意得eq\f(b,a)＝eq\f(3,4)，c2＝a2＋b2＝25，a＝4，b＝3，双曲线的标准方程为eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1.8.解：如图，设椭圆E的右焦点为F'，连接BF'，则四边形FABF'为等腰梯形，其中，∴，，，∴在焦点三角形△FF′B中，，即椭圆E的离心率为．故选：C．9.解：当直线l过原点时，直线方程为y＝2x，即2x﹣y＝0；当直线l不过原点时，设直线方程为x+y＝m，则m＝2+4＝6，∴直线方程为x+y﹣6＝0．∴直线l的方程可能为2x﹣y＝0或x+y﹣6＝0．故选：BD．10.解：依据题意，要求椭圆经过点（3，0），且长轴长是短轴长的2倍，分2种状况探讨：①椭圆的焦点在x轴上，则a＝3，b＝，此时椭圆的方程为，②椭圆的焦点在y轴上，则b＝3，则a＝6，此时椭圆的方程为；故选AC．11.解：如图：原点O到直线直线l的方程为kx﹣y+．的距离d＝，解得k＝0或k＝．由图可知，要使直线l：y+1＝k（x+）与圆C：x2+y2＝1有公共点，则实数k的取值范围是．故选：BCD．12.解：由题意c＝2，＝1，a2＝b2+c2，解得a2＝8，b2＝4，椭圆方程为,可得F1（﹣2，0），设P（x，y）则：，所以可得：x2＝8﹣2y2，则＝（2﹣x，﹣y）（﹣2﹣x，﹣y）＝x2﹣4+y2﹣＝又∈[﹣2，2]，所以当y＝时，取最大值，当y＝时取最小值，故选：BC．13.解：以A为原点建系，则，1，，，，，，．异面直线与所成角的余弦值为．14.解：如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，即|PB|＋|PF|的最小值为4.15.解：因为渐近线y＝eq\f(b,a)x与直线x＝a交于点A(a，b)，c＝4且eq\r(4－a2＋b2)＝4，解得a2＝4，b2＝12，因此双曲线的标准方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1.16.解：直线y＝kx+k恒过（﹣1，0），直线y＝kx+k与焦点在y轴上的椭圆+＝1总有两个公共点，可得解得m∈（1，4）．故答案为：（1，4）．17.解:（Ⅰ）由题意，设等差数列的公差为，则，，，，成等比数列，，即，整理，得，解得（舍去），或，，．（Ⅱ）由（1）知，设，故．18.解：（1）设等差数列的首项为，公差为，由，，得，解得．；设等比数列的公比为，由题意得，解得．；（Ⅱ）．令的前项和为，则，两式作差可得：，．.19.解：（Ⅰ）∵椭圆C的焦点为F1（）和F2（），长轴长为6，∴椭圆的焦点在x轴上，c＝2，a＝3，∴b＝1，∴椭圆C的标准方程.（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），AB线段的中点为M（x0，y0）由消去y，得10x2+36x+27＝0，∴，，∴，∵，∴弦AB的中点坐标为（，），＝＝．20.解：（Ⅰ）以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，可得，0，，，0，，，2，，，1，，，0，．设，则，2，．所以，，．设为平面的法向量，则，令，得．．直线与平面所成角的正弦值为；（Ⅱ）解：设为平面的法向量，则，可得，由题意，解得．符合题意．线段的长为．21.解：设直线l：y＝eq\f(3,2)x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．（Ⅰ）由题设得F，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋eq\f(3,2)，又|AF|＋|BF|＝4，所以x1＋x2＝eq\f(5,2).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(3,2)x＋t，,y2＝3x))可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，则x1＋x2＝－eq\f(12t－1,9).从而－eq\f(12t－1,9)＝eq\f(5,2)，得t＝－eq\f(7,8).所以l的方程为y＝eq\f(3,2)x－eq\f(7,8).（Ⅱ）由eq\o(AP,\s\up7(→))＝3eq\o(PB,\s\up7(→))可得y1＝－3y2.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(3,2)x＋t，,y2＝3x))得y2－2y＋2t＝0.所以y1＋y2＝2.从而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3.代入C的方程得x1＝3，x2＝eq\f(1,3).