2024-2025学年新教材高中数学课时素养检测二十五第三章函数的概念与性质3.4函数的应用一含解析新人教A版必修第一册

PAGE课时素养检测二十五函数的应用(一)(20分钟45分)一、选择题(每小题5分,共25分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.向一杯子中匀速注水时,杯中水面高度h随时间t改变的函数h=f(t)的图象如图所示,则杯子的形态是 ()【解析】选A.从题图中看出,在时间段[0,t1],[t1,t2]内水面高度是匀速上升的,在[0,t1]上升慢,在[t1,t2]上升快.【补偿训练】一辆汽车在某段路程中的行驶速度v与时间t的关系图象如图,则t=2时,汽车已行驶的路程为 ()A.100km B.125kmC.150km D.225km【解析】选C.t=2时,汽车行驶的路程为:s=50×0.5+75×1+100×0.5=25+75+50=150(km).2.据调查,某自行车存车处在某星期日的存车量为2000辆次,其中变速车存车费是每辆一次0.8元,一般车存车费是每辆一次0.5元,若一般车存车数为x辆次,存车费总收入为y元,则y关于x的函数关系式是 ()A.y=0.3x+800(0≤x≤2000,x∈N*)B.y=0.3x+1600(0≤x≤2000,x∈N*)C.y=-0.3x+800(0≤x≤2000,x∈N*)D.y=-0.3x+1600(0≤x≤2000,x∈N*)【解析】选D.由题意知,变速车存车数为(2000-x)辆次,则总收入y=0.5x+(2000-x)×0.8=0.5x+1600-0.8x=-0.3x+1600(0≤x≤2000,x∈N*).3.已知A,B两地相距150千米,某人开汽车以60千米/时的速度从A地到达B地,在B地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A地,则汽车离开A地的距离x关于时间t(时)的函数解析式是()A.x=60tB.x=60t+50tC.x=QUOTED.x=QUOTE【解析】选D.明显动身、停留、返回三个过程中的速度是不同的,故应分三段表示函数,选D.4.某厂有很多形态为直角梯形的铁皮边角料,为了降低消耗,现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图所示).当截取的矩形面积最大时,矩形两边的长x,y应为()A.x=15,y=12 B.x=12,y=15C.x=14,y=10 D.x=10,y=14【解析】选A.本题考查二次函数的应用.结合图形,可得QUOTE=QUOTE,得y=24-QUOTE,矩形面积S=xy=xQUOTE=-QUOTE+24x,所以当x=-QUOTE=15时,S最大,此时y=24-QUOTE×15=12.【补偿训练】在如图所示的锐角三角形空地上,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x为________m.

【解析】设矩形花园的宽为ym,则QUOTE=QUOTE,即y=40-x,矩形花园的面积S=x(40-x)=-x2+40x=-(x-20)2+400,当x=20m时,面积最大.答案:205.(多选题)某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为L1=-x2+21x和L2=2x(其中销售量单位:辆).若该公司在两地共销售15辆,要使获得的利润最大,则在甲地销售的车辆数为 ()A.8 B.9 C.10 D.11【解析】选B、C.设公司在甲地销售x辆,则在乙地销售(15-x)辆,公司获利为L=-x2+21x+2(15-x)=-x2+19x+30=-QUOTE+30+QUOTE,所以当x=9或10时,L最大为120万元.二、填空题(每小题5分,共10分)6.生产肯定数量的商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)=QUOTEx2+2x+20(万元).一万件售价为20万元,为获得更大利润,该企业一个月应生产该商品的数量为________万件.

【解析】设利润为L(x),则利润L(x)=20x-C(x)=-QUOTE(x-18)2+142,当x=18时,L(x)有最大值.答案:187.图中折线是某电信局规定打长途电话所须要付的电话费y(元)与通话时间t(min)之间的函数关系图象,依据图象填空:通话2min,需付电话费________元;通话5min,需付电话费________元;假如t≥3min,电话费y(元)与通话时间t(min)之间的函数关系式是________.

【解析】由图知通话2min,需付电话费3.6元;通话5min需付电话费6元;当t≥3时,设y=kx+b,则有QUOTE解得k=1.2,b=0,所以y=1.2t(t≥3).答案:3.66y=1.2t(t≥3)三、解答题8.(10分)某地上年度电价为0.8元/度,年用电量为1亿度.本年度安排将电价调至0.55～0.75元/度之间(包含0.55元/度和0.75元/度),经测算,若电价调至x元/度,则本年度新增用电量y(亿度)与(x-0.4)(元/度)成反比,且当x=0.65时,y=0.8.(1)求y与x之间的函数关系式.(2)若每度电的成本为0.3元,则电价调至多少时,电力部门本年度的收益将比上一年增加20%?[收益=用电量×(实际电价-成本价)]【解析】(1)因为y与(x-0.4)成反比,所以可设y=QUOTE(k≠0),把x=0.65,y=0.8代入上式,得0.8=QUOTE,解得k=0.2,所以y=QUOTE=QUOTE,所以y与x之间的函数关系式为y=QUOTE(0.55≤x≤0.75).(2)依据题意,得QUOTE(x-0.3)=1×(0.8-0.3)×(1+20%),整理得x2-1.1x+0.3=0,解得x1=0.5(舍去)或x2=0.6,所以当电价调至0.6元/度时,电力部门本年度的收益将比上一年增加20%.(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共15分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.某公司在甲、乙两座仓库分别有农用车12辆和6辆.现须要调往A县10辆,B县8辆,已知从甲仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为40元和80元;从乙仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为30元和50元.则总费用最少为 ()A.300元 B.400元 C.700元 D.860元【解析】选D.设从甲仓库调到A县的车辆数为x,则从甲仓库调往B县的车辆数为12-x,从乙仓库调往A县的车辆数为10-x,从乙仓库调往B县的车辆数为6-(10-x)=x-4.设总的费用为y,则y=40x+80×(12-x)+30×(10-x)+50×(x-4)=1060-20x(4≤x≤10,x∈N).要想使运费y最少,则需x最大,所以当x=10时,运费y最少为860元.2.一个人以6m/s的速度去追停在交通灯前的汽车,当他离汽车25m时,交通灯由红变绿,汽车以1m/s2的加速度匀加速开走,那么 ()A.人可在7s内追上汽车B.人可在10s内追上汽车C.人追不上汽车,其间距最少为5mD.人追不上汽车,其间距最少为7m【解析】选D.设汽车经过ts行驶的路程为sm,则s=QUOTEt2,车与人的间距d=(s+25)-6t=QUOTEt2-6t+25=QUOTE(t-6)2+7,当t=6时,d取得最小值为7.3.(多选题)甲、乙两人同时从A地赶往B地,甲先骑自行车到两地的中点再改为跑步;乙先跑步到两地的中点再改为骑自行车,最终两人同时到达B地.已知甲骑自行车比乙骑自行车的速度快,且两人骑车的速度均大于跑步的速度.现将两人离开A地的距离s与所用时间t的函数关系用图象表示如图:则上述四个函数图象中,甲、乙两人运动的函数关系的图象分别是 ()A.甲对应图① B.甲对应图③C.乙对应图② D.乙对应图④【解析】选AD.甲先骑自行车到中点后改为跑步,知前半程的速度大于后半程的速度,则前半程的图线的斜率大于后半程图线的斜率.乙是先跑步,到中点后改为骑自行车,则前半程的图线的斜率小于后半程图线的斜率.因为甲骑自行车比乙骑自行车的速度快,则甲前半程的图线的斜率大于乙后半程图线的斜率,所以甲是①,乙是④.二、填空题(每小题5分,共15分)4.某电脑公司2017年的各项经营收入中,经营电脑配件的收入为400万元,占全年经营总收入的40%,该公司预料2024年经营总收入要达到1690万元,且安排从2017年到2024年,每年经营总收入的年增长率相同,则2024年预料经营总收入为________万元.

【解析】设年增长率为x(x>0),则QUOTE×(1+x)2=1690,所以1+x=QUOTE,因此2024年预料经营总收入为QUOTE×QUOTE=1300(万元).答案:13005.某商人将彩电先按原价提高40%,然后在广告中写上“大酬宾,八折实惠”,结果是每台彩电比原价赚了270元,那么每台彩电原价是________元.

【解析】设每台彩电原价x元,依题意得80%·x(1+40%)-x=270,解得x=2250.答案:22506.某厂生产产品,原来月产量为a,一月份增产10%,二月份比一月份减产10%,设二月份产量为b,则a与b的大小关系是________.

【解析】因为b=a(1+10%)·(1-10%)=a[1-(10%)2]=aQUOTE,即b=a×QUOTE.故a>b.答案:a>b三、解答题(每小题10分,共20分)7.某租赁公司拥有汽车100辆,当每辆车的月租金为3000元时,可全部租出,当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆,租出的车每辆每月须要维护费150元,未租出的车辆每月须要维护费50元.(1)当每辆车的月租金定为3600元时,能租出多少辆车?(2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?【解析】(1)租金增加了600元,所以未租出的车有12辆,一共租出了88辆.(2)设每辆车的月租金为x元(x≥3000),租赁公司的月收益为y元,则y=xQUOTE-QUOTE×50-QUOTE×150=-QUOTE+162x-21000=-QUOTE(x-4050)2+307050,当x=4050时,ymax=307050.所以每辆车的月租金定为4050元时,租赁公司的月收益最大为307050元.8.某地发生地质灾难,使当地的自来水受到了污染,某部门对水质检测后,确定在水中投放一种药剂来净化水质.已知每投放质量为m(mg)的药剂后,经过x天该药剂在水中释放的浓度y(mg·L-1)满意y=mf(x),其中f(x)=QUOTE当药剂在水中释放的浓度不低于4mg·L-1时称为有效净化;当药剂在水中释放的浓度不低于4mg·L-1且不高于10mg·L-1时称为最佳净化.(1)假如投放的药剂质量为4mg,问自来水达到有效净化一共可持续几天?(2)为了使在7天(从投放药剂算起)之内的自来水达到最佳净化,试确定应当投放的药剂质量m的最小值.【解析】(1)由题意得,当药剂质量m=4时,y=QUOTE当0<x≤4时,QUOTE+8≥4明显成立;当x>4时,由QUOTE≥4,得2x+28≥4(x-1),得4<x≤16.综上,0<x≤