2024-2025学年新教材高中数学第七章三角函数模块素养检测含解析新人教B版必修第三册

PAGE模块素养检测(一)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)1.sin600°+tan(-300°)的值是 ()A.-QUOTE B.QUOTEC.-QUOTE+QUOTE D.QUOTE+QUOTE【解析】选B.由题意sin600°+tan(-300°)=-sin(600°-540°)+tan(-300°+360°)=-sin60°+tan60°=-QUOTE+QUOTE=QUOTE.2.如图,a-b等于 ()A.2e1-4e2 B.-4e1-2e2C.e1-3e2 D.3e1-e2【解析】选C.a-b=e1-3e2.3.已知向量a,b的夹角为60°,QUOTE=2,QUOTE=1,则QUOTE= ()A.QUOTE B.QUOTE C.2QUOTE D.QUOTE【解析】选B.向量a,b的夹角为60°,QUOTE=2,QUOTE=1,则QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.【点睛】本题考查利用平面对量的数量积来计算平面对量的模,在计算时,一般将模进行平方,利用平面对量数量积的定义和运算律进行计算,考查计算实力,属于中等题.4.cos70°sin50°-cos200°sin40°的值为 ()A.-QUOTE B.QUOTE C.-QUOTE D.QUOTE【解题指南】依据诱导公式化简到角是锐角,再用正弦和差角公式求解.【解析】选B.cos70°sin50°-cos200°sin40°=cosQUOTEsinQUOTE-cosQUOTEsin40°=sin20°cos40°+cos20°sin40°=sin60°=QUOTE.【点睛】本题考查三角函数的诱导公式和正弦和差角公式.5.已知a,b是不共线的向量,=λa+b,=a+μb,λ,μ∈R,则A,B,C三点共线的条件为 ()A.λ+μ=2 B.λ-μ=1C.λμ=-1 D.λμ=1【解析】选D.由A,B,C三点共线,得∥,设=m(m≠0),即λa+b=ma+mμb,所以QUOTE所以λμ=1.6.(2024·全国卷Ⅱ)已知向量a=(2,3),b=(3,2),则|a-b|= ()A.QUOTE B.2 C.5QUOTE D.50【解析】选A.由向量a=(2,3),b=(3,2),可得a-b=(-1,1),所以|a-b|=QUOTE=QUOTE.【拓展延长】1.求向量的模的方法:(1)公式法,利用|a|=QUOTE及(a±b)2=|a|2±2a·b+|b|2,把向量的模的运算转化为数量积运算;(2)几何法,利用向量的几何意义.2.求向量模的最值(范围)的方法:(1)代数法,把所求的模表示成某个变量的函数,再用求最值的方法求解;(2)几何法(数形结合法),弄清所求的模表示的几何意义,结合动点表示的图形求解.7.(2024·天津高考)在如图的平面图形中,已知OM=1,ON=2,∠MON=120°,=2,=2,则·的值为 ()A.-15 B.-9 C.-6 D.0【解析】选C.因为=2,所以=3,同理=3,=-=3-3=3,·=3·=3(-)·=3·-3()2=3×2×1×cos120°-3×12=-6.8.已知点G是△ABC内一点,满意++=0,若∠BAC=QUOTE,·=1,则||的最小值是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解题指南】依据向量关系,利用,表示,再依据向量的模以及基本不等式求最值.【解析】选A.因为++=0,所以G是△ABC的重心,因此=,从而==QUOTE≥QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE(当且仅当=时取等号).二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.函数y=sinQUOTE是R上的偶函数,则φ的值可以是 ()A.QUOTE B.π C.QUOTE D.2π【解析】选A、C.由题意得sin(-φ)=±1,即sinφ=±1.所以φ可以是QUOTE或QUOTE.10.已知向量a与b不共线,则下列各对向量能作为平面对量的一组基底的是()A.2a,b C.a,a-b D.a+b,-a-b【解析】选ABC.因为向量a与b不共线,则2a与b,a+b与b,a与a-b都不共线,能分别作为平面对量的一组基底,由于a+b与-a-b共线,所以a+b,-a-b不能作为平面对量的一组基底.11.关于函数f(x)=sin4QUOTE-cos4QUOTE的下列叙述正确的是 ()A.最小正周期为QUOTE,奇函数B.最小正周期为QUOTE,偶函数C.最小值为-1,最大值为1D.最小值为0,最大值为1【解析】选AC.因为f(x)=sin4QUOTE-cos4QUOTE=sin2QUOTE-cos2QUOTE=-cosQUOTE=sin4x.所以f(x)为奇函数,T=QUOTE=QUOTE,最小值为-1,最大值为1.12.如图,直角△ABC的斜边BC长为2,∠C=30°,且点B,C分别在x轴,y轴正半轴上滑动,点A在线段BC的右上方.设=x+y,(x,y∈R),记M=·,N=x+y,分别考察M,N的全部运算结果,则 ()A.M的最小值为QUOTE B.M的最大值为QUOTEC.N的最小值为1+QUOTE D.N的最大值为1+QUOTE【解题指南】设∠OCB=α,用α表示出M,N,依据α的取值范围,利用三角函数恒等变换化简M,N,进而求得M,N最值的解.【解析】选BC.依题意∠BCA=30°,BC=2,∠A=90°,所以AB=1,AC=QUOTE.设∠OCB=α,则∠ABx=120°-(90°-α)=α+30°,0°<α<90°,所以BQUOTE,AQUOTE,CQUOTE,所以M=·=2cosαsinQUOTE=sinQUOTE+QUOTE,当2α+30°=90°,α=30°时,M取得最大值为1+QUOTE=QUOTE.因为=x+y,所以x=QUOTE,y=QUOTE,所以N=x+y=QUOTE+QUOTE=1+QUOTE,当2α=90°,α=45°时,N有最小值为1+QUOTE.三、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.(2024·全国卷Ⅲ)已知向量a=(2,2),b=(-8,6),则

=QUOTE=QUOTE=-QUOTE.答案:-QUOTE14.(2024·武威高一检测)已知α为锐角,且cosQUOTE=QUOTE,则tanα=.

【解析】由cosQUOTE=QUOTE,得sinα=QUOTE,因为α是锐角,所以α=60°,则tanα=QUOTE.答案:QUOTE15.已知向量a,b的夹角为QUOTE,且|a|=1,|2a-b|=QUOTE,则|b|=.

得4a2-4a·b+b2=10,即4-4×1×|b|·QUOTE+|b|2=10.解得|b|=3QUOTE或|b|=-QUOTE(舍去).答案:3QUOTE16.若QUOTE<x<QUOTE,则函数y=tan2xtan3x的最大值为.

【解析】令tanx=t,因为QUOTE<x<QUOTE,所以t>1,所以y=tan2xtan3x=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE≤QUOTE=-8.当且仅当QUOTE=QUOTE,即t=QUOTE时,等号成立.答案:-8【补偿训练】如图,函数y=4sinQUOTEcosQUOTE与函数y=2的图像围成一个封闭图形,这个封闭图形的面积是.

【解析】函数y=4sinQUOTEcosQUOTE=2sin3xQUOTE,图像的对称轴为直线x=QUOTE,由函数图像的对称性,利用面积“割补法”,得函数y=2sin3xQUOTE图像与函数y=2的图像围成封闭图形的面积是S=2×QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE四、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知向量a,b,c,d在同一平面内,且a=QUOTE,QUOTE.(1)若QUOTE=2QUOTE,且c∥a,求c.(2)若QUOTE=QUOTE,且QUOTE⊥QUOTE,求a与b的夹角θ.【解析】(1)因为c∥a,所以c=λa,则c=QUOTE,QUOTE,又因为QUOTE=2QUOTE,所以λ=±2,所以c=QUOTE,QUOTE或QUOTE,QUOTE.(2)因为QUOTE⊥QUOTE,所以QUOTE·QUOTE=0,又因为QUOTE=QUOTE,QUOTE=QUOTE,所以a·b=-QUOTE,cosθ=QUOTE=-1,且0°≤θ≤180°,所以θ=180°.18.(12分)已知QUOTE<θ<QUOTE,sin2θ=QUOTE,求sinθ-cosθ,sinθ+cosθ的值.【解析】因为sin2θ=2sinθcosθ=QUOTE,所以(sinθ-cosθ)2=1-2sinθcosθ=1-QUOTE=QUOTE.因为θ∈QUOTE,所以sinθ>cosθ,则sinθ-cosθ=QUOTE.因为(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ=1+QUOTE=QUOTE且sinθ+cosθ>0,所以sinθ+cosθ=QUOTE.19.(12分)已知函数f(x)=QUOTE,坐标原点为O,点An(n,f(n))(n∈N*),向量i=(0,1),θn是向量与i的夹角,计算QUOTE+QUOTE+…+QUOTE的值.【解析】因为向量i=(0,1),=QUOTE,θn是向量与i的夹角,所以直线OAn的倾斜角为90°-θn,直线OAn经过点AnQUOTE,所以直线OAn的斜率为kn=tan(90°-θn)=QUOTE=QUOTE-QUOTE.所以QUOTE=QUOTE=tan(90°-θn)=QUOTE=QUOTE-QUOTE所以QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=QUOTE-QUOTE+QUOTE-QUOTE+…+QUOTE-QUOTE=1-QUOTE=QUOTE.20.(12分)已知函数f(x)=QUOTEsin2x-2sin2x.(1)求函数f(x)的最大值.(2)求函数f(x)的零点的集合.【解析】(1)因为f(x)=QUOTEsin2x-2sin2x=QUOTEsin2x-(1-cos2x)=2QUOTE-1=2sinQUOTE-1,所以当2x+QUOTE=2kπ+QUOTE,即x=kπ+QUOTE(k∈Z)时,函数f(x)取得最大值1.(2)由(1)及f(x)=0,得sinQUOTE=QUOTE,所以2x+QUOTE=2kπ+QUOTE,或2x+QUOTE=2kπ+QUOTE,即x=kπ,或x=kπ+QUOTE(k∈Z).故函数f(x)的零点集合为{x|x=kπ,或x=kπ+QUOTE,k∈Z}.【一题多法】由f(x)=0,得2QUOTEsinxcosx=2sin2x,于是sinx=0,或tanx=QUOTE.由sinx=0,得x=kπ(k∈Z);由tanx=QUOTE,得x=kπ+QUOTE(k∈Z).故函数f(x)的零点的集合为{x|x=kπ,或x=kπ+QUOTE,k∈Z}.21.(12分)已知函数f(x)=sinQUOTEsinx-QUOTEcos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值.(2)探讨f(x)在QUOTE上的单调性.【解析】(1)f(x)=sinQUOTEsinx-QUOTEcos2x=cosxsinx-QUOTE(1+cos2x)=QUOTEsin2x-QUOTEcos2x-QUOTE=sinQUOTE-QUOTE,因此f(x)的最小正周期为π,最大值为QUOTE.(2)当x∈QUOTE