2025版高考数学一轮总复习课后限时集训53双曲线含解析

课后限时集训(五十三)双曲线建议用时：40分钟一、选择题1．(2024·浙江高考)渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是()A．eq\f(\r(2),2) B．1C．eq\r(2) D．2C[依据渐近线方程为x±y＝0的双曲线，可得a＝b，所以c＝eq\r(2)a，则该双曲线的离心率为e＝eq\f(c,a)＝eq\r(2)，故选C.]2．已知双曲线的方程为eq\f(y2,4)－eq\f(x2,9)＝1，则下列关于双曲线说法正确的是()A．虚轴长为4B．焦距为2eq\r(5)C．离心率为eq\f(\r(13),3)D．渐近线方程为2x±3y＝0D[由题意知，双曲线eq\f(y2,4)－eq\f(x2,9)＝1的焦点在y轴上，且a2＝4，b2＝9，故c2＝13，所以选项A，B均不对；离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(13),2)，故选项C不对；由双曲线的渐近线知选项D正确．故选D.]3．(多选)(2024·山东青岛二中期中)若方程eq\f(x2,5－t)＋eq\f(y2,t－1)＝1所表示的曲线为C，则下面四个命题中正确的是()A．若1＜t＜5，则C为椭圆B．若t＜1，则C为双曲线C．若C为双曲线，则焦距为4D．若C为焦点在y轴上的椭圆，则3＜t＜5BD[对于A，当t＝3时，方程x2＋y2＝2表示圆，所以A不正确；对于B，当t＜1时，5－t＞0，t－1＜0，此时曲线C是焦点在x轴上的双曲线，所以B正确；对于C，当t＝0时，方程eq\f(x2,5)－eq\f(y2,1)＝1表示双曲线，此时双曲线的焦距为2eq\r(6)，所以C不正确；对于D，当方程eq\f(x2,5－t)＋eq\f(y2,t－1)＝1表示焦点在y轴上的椭圆时，满意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5－t＞0，,t－1＞0，,5－t＜t－1，))解得3＜t＜5，所以D正确．]4．(2024·全国卷Ⅰ)设F1，F2是双曲线C：x2－eq\f(y2,3)＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积为()A．eq\f(7,2) B．3C．eq\f(5,2) D．2B[法一：设F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，则由题意可知F1(－2,0)，F2(2,0)，又|OP|＝2，所以|OP|＝|OF1|＝|OF2|，所以△PF1F2是直角三角形，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝16.不妨令点P在双曲线C的右支上，则有|PF1|－|PF2|＝2，两边平方，得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝4，又|PF1|2＋|PF2|2＝16，所以|PF1|·|PF2|＝6，则S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|＝eq\f(1,2)×6＝3，故选B.法二：设F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，则由题意可知F1(－2,0)，F2(2,0)，又|OP|＝2，所以|OP|＝|OF1|＝|OF2|，所以△PF1F2是直角三角形，所以S△PF1F2＝eq\f(b2,tan\f(θ,2))＝eq\f(3,tan45°)＝3(其中θ＝∠F1PF2)，故选B.]5．已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,16)＝1(a＞0)的一条渐近线方程为4x＋3y＝0，F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，点P在双曲线C上，且|PF1|＝7，则|PF2|＝()A．1 B．13C．17 D．1或13B[由题意知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,16)＝1(a＞0)的一条渐近线方程为4x＋3y＝0，可得eq\f(4,a)＝eq\f(4,3)，解得a＝3，所以c＝eq\r(a2＋b2)＝5.又由F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|＝7，可得点P在双曲线的左支上，所以|PF2|－|PF1|＝6，可得|PF2|＝13.故选B.]6．(2024·西安模拟)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的顶点到其一条渐近线的距离为1，焦点到其一条渐近线的距离为eq\r(2)，则其一条渐近线的倾斜角为()A．30° B．45°C．60° D．120°B[设双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的右顶点A(a,0)，右焦点F2(c,0)到渐近线y＝eq\f(b,a)x的距离分别为1和eq\r(2)，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(ab,\r(a2＋b2))＝1，,\f(bc,\r(a2＋b2))＝\r(2)，))即eq\f(a,c)＝eq\f(\r(2),2).则eq\f(b2,a2)＝eq\f(c2－a2,a2)＝eq\f(c2,a2)－1＝2－1＝1，即eq\f(b,a)＝1.设渐近线y＝eq\f(b,a)x的倾斜角为θ，则tanθ＝eq\f(b,a)＝1.所以θ＝45°，故选B.]7．(多选)已知双曲线E过点(3，eq\r(2))，(6，eq\r(11))，则()A．E的方程为eq\f(x2,3)－y2＝1B．直线x－eq\r(2)y－1＝0与E有且仅有一个公共点C．曲线y＝ln(x－1)过E的一个焦点D．E的离心率为eq\r(3)ABC[设双曲线E的方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)，因为双曲线E过点(3，eq\r(2))，(6，eq\r(11))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(9m＋2n＝1，,36m＋11n＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,3)，,n＝－1，))故双曲线E的方程为eq\f(x2,3)－y2＝1，选项A正确；联立直线与双曲线的方程，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－\r(2)y－1＝0，,\f(x2,3)－y2＝1，))消去x得y2－2eq\r(2)y＋2＝0，Δ＝0，故选项B正确；E的一个焦点为点(2,0)，易知该点在曲线y＝ln(x－1)上，故C正确；因为a＝eq\r(3)，c＝2，所以双曲线E的离心率e＝eq\f(2\r(3),3)，选项D错误．故选ABC.]8．(多选)(2024·山东滨州期末)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1(－5,0)，F2(5,0)，则能使双曲线C的方程为eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1的条件是()A．双曲线的离心率为eq\f(5,4)B．双曲线过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(9,4)))C．双曲线的渐近线方程为3x±4y＝0D．双曲线的实轴长为4ABC[由题意可得焦点在x轴上，且c＝5.A选项，若双曲线的离心率为eq\f(5,4)，则a＝4，所以b2＝c2－a2＝9，此时双曲线的方程为eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1，故A正确；B选项，若双曲线过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(9,4)))，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(25,a2)－\f(\f(81,16),b2)＝1，,a2＋b2＝25，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝16，,b2＝9，))此时双曲线的方程为eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1，故B正确；C选项，若双曲线的渐近线方程为3x±4y＝0，可设双曲线的方程为eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝m(m＞0)，所以c2＝16m＋9m＝25，解得m＝1，此时双曲线的方程为eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1，故C正确；D选项，若双曲线的实轴长为4，则a＝2，所以b2＝c2－a2＝21，此时双曲线的方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,21)＝1，故D错误．故选ABC.]二、填空题9．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为2x＋y＝0，一个焦点为(eq\r(5)，0)，则a＝________；b＝________.12[由2x＋y＝0，得y＝－2x，所以eq\f(b,a)＝2.又c＝eq\r(5)，a2＋b2＝c2，解得a＝1，b＝2.]10．(2024·南宁模拟)已知双曲线E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)．若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________．2[由已知得|AB|＝|CD|＝eq\f(2b2,a)，|BC|＝|AD|＝|F1F2|＝2c.因为2|AB|＝3|BC|，所以eq\f(4b2,a)＝6c，又b2＝c2－a2，所以2e2－3e－2＝0，解得e＝2，或e＝－eq\f(1,2)(舍去)．]11．已知焦点在x轴上的双曲线eq\f(x2,8－m)＋eq\f(y2,4－m)＝1，它的焦点到渐近线的距离的取值范围是________．(0,2)[对于焦点在x轴上的双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，它的焦点(c,0)到渐近线bx－ay＝0的距离为eq\f(|bc|,\r(b2＋a2))＝b.双曲线eq\f(x2,8－m)＋eq\f(y2,4－m)＝1，即eq\f(x2,8－m)－eq\f(y2,m－4)＝1，其焦点在x轴上，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(8－m>0，,m－4>0，))解得4<m<8，则焦点到渐近线的距离d＝eq\r(m－4)∈(0,2)．]12．已知椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,m)＝1与双曲线x2－eq\f(y2,n)＝1的离心率分别为e1，e2，且有公共的焦点F1，F2，则4eeq\o\al(2,1)－eeq\o\al(2,2)＝________，若P为两曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|＝________.03[由题意得椭圆的半焦距满意ceq\o\al(2,1)＝4－m，双曲线的半焦距满意ceq\o\al(2,2)＝1＋n，又因为两曲线有相同的焦点，所以4－m＝1＋n，即m＋n＝3，则4eeq\o\al(2,1)－eeq\o\al(2,2)＝4×eq\f(4－m,4)－(1＋n)＝3－(m＋n)＝0.不妨设F1，F2分别为两曲线的左、右焦点，点P为两曲线在第一象限的交点，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|PF1|＋|PF2|＝4，,|PF1|－|PF2|＝2.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|PF1|＝3，,|PF2|＝1，))则|PF1|·|PF2|＝3.]1．(2024·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若eq\o(F1A,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(F1B,\s\up6(→))·eq\o(F2B,\s\up6(→))＝0，则C的离心率为________．2[如图，由eq\o(F1A,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，得F1A＝AB.又OF1＝OF2，所以OA是三角形F1F2B的中位线，即BF2∥OA，BF2＝2OA.由eq\o(F1B,\s\up6(→))·eq\o(F2B,\s\up6(→))＝0，得F1B⊥F2B，OA⊥F1A，则OB＝OF1，所以∠AOB＝∠AOF1，又OA与OB都是渐近线，得∠BOF2＝∠AOF1，又∠BOF2＋∠AOB＋∠AOF1＝180°，得∠BOF2＝∠AOF1＝∠BOA＝60°，又渐近线OB的斜率为eq\f(b,a)＝tan60°＝eq\r(3)，所以该双曲线的离心率为e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\r(1＋\r(3)2)＝2.]2．(2024·黄冈模拟)双曲线C的渐近线方程为y＝±eq\f(\r(3),3)x，一个焦点为F(0，－8)，则该双曲线的标准方程为______．已知点A(－6,0)，若点P为C上一动点，且P点在x轴上方，当点P的位置改变时，△PAF的周长的最小值为________．eq\f(y2,16)－eq\f(x2,48)＝128[∵双曲线C的渐近线方程为y＝±eq\f(\r(3),3)x，