2025年高考数学一轮复习：课时作业五十八 直线和双曲线

五十八直线和双曲线

（时间：45分钟分值:90分）

【基础落实练】

1.（5分）（2024•大连模拟）过双曲线/一俨=2的左焦点作直线/,与双曲线交于45两

点，若磔为=4,则这样的直线I有（）

A.1条B.2条C.3条D.4条

【解析】选D.由题意得双曲线左焦点（-2,0）,当直线垂直于横轴时,|/引=2避不符

合题意，双曲线渐近线方程为产出；

故可设/产左（x+2）（左丹1）4%1,为）,5（%2咫）与双曲线联立可得2"+?=（1-

x-y=Z

杉）%2_4左2%-4杉-2=0,

4k2-4/c2-2

%1+%2=---2^1,%2=----,

l-k1-k

I2

由弦长公式知+1,-%2|=7必+rW：40左2+1=的左2_11,

1^-1|

则仁士（出一1）或仁±（"+1）.

故存在四条直线满足条件.

2.（5分）（2024福州模拟）已知双曲线C的方程为?俨=1,点P,Q分别在双曲线的

左支和右支上，则直线尸。的斜率的取值范围是（）

A.（岳

B.（-2,2）

C.Ug,+8）

D.（-oo,-2）U（2,+oo）

211

【解析】选A.双曲线在）?=1的渐近线方程为严士/斜率为±2，

依题意，点P,Q分别在双曲线的左支和右支上,所以直线。。的斜率的取值范围是

（43

2

3.（5分X2024•昆明模拟）已知F为双曲线C：y-y2=l的左焦点，过F的一条直线I

与双曲线C交于A,B两点，与双曲线C的渐近线交于D,E两点，若需孚,则直线

\UCJ|乙

/的斜率为（）

A.±9B婷C.ifD.±2

2

【解析】选A.据题意，设直线"=依什2）,两条渐近线满足方程?产=0,

fy=k（x+2）

由，j2得12一3左2（%2+4%+4）-3=0,

,3=1

整理彳导(1-3N)N-12FX-12左2一3=0,

4=144/+4(1-3N)(12N+3)=12F+12,

(y=k(x+2)

由，，2得：/-3左2(%2+4X+4)=0,

3=°

整理彳导（1-3左2）%2_12左2%一12左2=0,

42=1443+48左2(1-3F)=48N,

\AB\Kp+i姆

所以，所以七士£

西

22

4.（5分）（2024•北海模拟）已知直线尸x+1与双曲线C:、1l（A0,b>0）的两条渐近

ab

线父于，,B两点，且4在第一象限。为坐标原点右|。4|=2|0鼻则双曲线C的禺

心率为（）

A事B.^/iOC.2D.5

【解析】选B.因为|。4|=2］。以所以必=-2%B,

设5（加,加+1）,则4（-2加,-2加+1）,

因为左〃+公产0,所以*

112

解得加=-万所以力（万万），

所以片3,则e=~1+

口a«a

2

5.（5分）（多选题X2024•石家庄模拟）已知双曲线C:斤产=15>0）,若圆M:（x-2）2+y2=l

与双曲线C的渐近线相切，则（）

A.双曲线C的渐近线方程为世声0

B.双曲线。的实轴长为6

C双曲线。的离心率

D.过双曲线C的右焦点的直线与圆M交于A,B两点,则弦长|4引=2

【解析】选ACD.双曲线的渐近线方程为升町=0,圆M的圆心为（2,0）,半径为1,

所以圆心到渐近线的距离d-Jl,得。=平（负值舍去）,所以双曲线的渐近线

yjl+a

2

方程为X士画=0,故A正确;双曲线方程为俨=1,双曲线C的实轴长为2收,故B

错误;c2=q2+〃=3+i=4,所以双曲线的离心率故C正确；

因为双曲线的右焦点是圆M的圆心，所以弦长为直径，所以［4回=2,故D正确.

22

6.（5分X多选题）已知曲线。：磊+f*1（加。-1,且加W-4）,则下列结论正确

的是（）

A.若曲线。为椭圆或双曲线，则其焦点坐标为（土4,0）

B.若曲线。是椭圆厕加>-1

C.若m<-\且加齐4,则曲线。是双曲线

D.直线就方仁0（忆eR）与曲线。恒有两个交点

【解析】选AB.若曲线表示椭圆，

因为4+m>l+m,

所以。2=4+加＞0尸=1+加＞0,则m＞-\,

即椭圆焦点在%轴，则c2=q2/2=3得c中,

此时焦点坐标为（±&,。），

若曲线表示双曲线，由（4+m）（l+m）＜0,^-4＜m＜-l,

此时双曲线的标准方程为二

*I"I—X—771.

则a2=4+m,b2=-l-m,

即焦点在X轴，则C2=q2+b2=3得c=E

此时焦点坐标为（土木,0）,故A,B正确,C错误；

由kx-y-k^0得k（x-l）-y=0,

即直线过定点Mi,o）,

当曲线为双曲线时,-4＜加＜-1,

此时。2=4+加仁（0,3）,

当m=-2时d=2,此时，双曲线右顶点为（々,0）,在点M（l,0）的右侧，

此时直线与曲线C不一定有两个交点，故D错误.

7.（5分X2024•南京模拟）已知双曲线C过点（3,并）,且渐近线为尸土今,则双曲线

C的方程为;若动直线y=6x-2）与双曲线C的同一支有两个不同的交

点，则实数上的取值范围为.

【解析】①根据题意可得，双曲线的渐近线方程为歹=士2，设双曲线的方程为:

y2=A,(A#0),

仅=k（x-2）

②设直线产左（%-2）与双曲线。交于4（修,y）,5（%2,歹2）,由，，2=（1-

（3=1

3左2）炉+12左2/3-12左2=0,

,21

2k牛飞

1-3/c。0242221

贝5A>0今124+4x（3+12k）（l-3k）>°=k>§,

%1%2>0-3-12k2

l-3-f-c---o

所以k£（-oo,号U（孚,+8）.

答案:：-俨=1（-8,-mU（£+8）

22

8.（5分X2022•浙江高考）已知双曲线（。>0力>0）的左焦点为E过b且斜

ab

率为/的直线交双曲线于点/（%1必）,交双曲线的渐近线于点以%2屈）且

对<0<%2若I即=3|a|厕双曲线的离心率是.

【解析】过/且斜率为《的直线

b、__、b

/AyK（x+c）渐近线上尸*

，b

联立幅）,

y=0

由尸引=3尸4得/（-，第,

而点/在双曲线上,于是交，上三=1,

81a81ab

解得鸿，所以离心率e岑.

林案•至

口4

9.(10分)(2024・景德镇模拟)已知焦点在x轴上的双曲线实轴长为2,其一条渐近

线斜率为嫄.

(1)求双曲线的标准方程；

22

【解析】⑴因为双曲线的焦点在X轴上，设该双曲线的标准方程为三斗

ab

=l(a>0,Z?>0),

(2a—2(—A

因为该双曲线的实轴长为2,一条渐近线斜率为裾，则匕="，解得匚n上，

2

因此，该双曲线的标准方程为x2-y=l.

⑵过点/(口)能否作直线/,使直线I与所给双曲线交于P,Q两点，且点A是弦

PQ的中点?如果直线I存在，求出它的方程;如果不存在，说明理由.

【解析】(2)假定直线I存在，设以4(1,1)为中点的弦的两端点为。(孙为),。(%2"),

则有xi+x2=2,yl+y2=2.

根据双曲线的对称性知X1#2.由点P,Q在双曲线上得2%jyj=2,24y；=2,

、y-\-y?

两式相减得2(%1+%2)(%产2)-什巾2)什1-32)=0,所以2*2(占-%2)-201-歹2)=0,所以^-=2,

人1]一4*2

即以4(1,1)为中点的弦所在直线的斜率仁2,故直线。。的方程为产1=2(%-1),即

(22

2抄1=0.联立产十：,消去＞得2%2-4X+3=0/=(-4)2-4X2X3=-8＜0,

因此直线I与双曲线无交点，故满足条件的直线I不存在.

【加练备选】

已知双曲线。:炉-歹2=4,直线//=左(%-1),试确定实数上的取值范围，使：

(1)直线I与双曲线有两个公共点；

【解析】⑴联立”号？，

消y整理得(l-N)N+2左2%42-4=0,(*)

因为直线I与双曲线C有两个公共点,

7

-ri1-fc0

所EF以<4,2>2，

[A=47k+4(1-k)(k+4)>0

9

1-fcSfc0

整理得

4=4(4-3k2)>o'

解得:-竽＜左＜-1或-1＜左＜1或1＜左＜竽.

所以上的取值范围为惘-竽＜左＜-1或-1＜左＜1或1＜左＜竽｝.

(2)直线I与双曲线有且只有一个公共点;

【解析】（2）当1次2=0即仁±1时，直线/与双曲线的渐近线平行，

方程（*）化为2/5=0,故方程（*）有唯一实数解，即直线与双曲线相交,有且只有一个

公共点，满足题意.

当1/9时，因为直线1与双曲线C仅有一个公共点，则/=4（4-3N尸0,解得人士

2^/3

综上,仁士1或仁土竽

（3）直线I与双曲线没有公共点.

【解析】（3）因为直线I与双曲线C没有公共点，

所以,,

解得心竽或卜手.

所以k的取值范围为｛砥（考或不竽｝.

【能力提升练】

22

10.（5分）（2023•漳州模拟）已知双曲线CJll（a>0,b>0）的左焦点为此直线

ab

2

产砥左>0）与双曲线C交于P,Q两点，且NPpoW，巨好了忑=4,则当%+4取得最

小值时，双曲线C的离心率为（）

A.3B，V3C.2D取

【解析】选D.不妨设P位于第一象限，双曲线C的右焦点为连接PF2,F2Q,

因为。为。。尸尸2的中点，

所以四边形PF.QF.为平行四边形，

所以PF2=F]_Q，N/1尸尸2方；

设|=加,|PF21="（加,”>0），则m-n=2a,

]__,___l___,___,冗]

PF,FQ=4PF

由_〕L_1L得_L:乙〕-PF。^乙mncos解得mn=8;

2IT

在△PT铲2中,出产2广"=m2+n2-2mncos^=（m-n）2+mn=4a2+8=4c2,

所以Z?2=c2-a2=2,

所以段32（当且仅当4=2时取等号），

乙a'a<'a

所以当》2+耳取得最小值时，双曲线C的离心率e=1+

Laqa

11.（5分）侈选题）（2024•江门模拟）已知曲线C:x2sina+y2cosa=l（0ga<7r）厕下列说

法正确的是（）

A.若曲线。表示两条平行线，则a=0

B.若曲线。表示双曲线，则卜a（兀

C.若bag厕曲线。表示椭圆

D.若0<aC厕曲线C表示焦点在x轴上的椭圆

【解析】选BD.对于A选项,若曲线。表示两条平行线，则有sina=0或cosa=0,

且0<a<7i.

若sina=0,则a=0,此时曲线C的方程为俨=1,可得尸1或产1,合乎题意，

若cosa=0,则口三,此时曲线C的方程为N=l,可得％=一1或％=1,合乎题意，故A错;

对于B选项,若曲线C表示双曲线，则sinacosa<0,由于0<a<7i且sin中0,则sin

TC

a>0,可得cosa<0厕/对；

对于C选项,若曲线C表示椭圆，

'sina>0

则：，解得°<ag且04c错；

、sinaWcosa

112

对于D选项，若0<aV，则0<sina<cos%则而六^>0,曲线。的方程可化为

sina

2

£=1,此时，曲线C表示焦点在x轴上的椭圆,D对.

cosa

22

12.（5分）已知双曲线。-勺15>0力>0）的左、右焦点分别为尸尸2,过R作圆

ab

炉+俨=。2的切线，交双曲线右支于点M,若NBg=60。,则双曲线的渐近线方程为

（）

A.产士（3+避）xB.产士2%

C.产士^xD.J=±（1+A/3）X

【解析】选c.如图作OOPM于点于点民

因为入M与圆12+俨=〃相切,

所以|。4|=见尸2引=2|。4|=24,尸1引=26,

在RtA57WF2中,NP〃F2=60。，

匚121rl吃凶2a2/aAyf^a

LdllOU7?。。

又点M在双曲线上，由双曲线的定义可得:

整理得力与遗所以修立，

所以双曲线的渐近线方程为产弓4.

22

13.（5分）（2024・宜宾模拟）已知双曲线。餐？l（a>0,6>0）的左、右焦点分别为

ab

网,B,离心率为竽，过F2作渐近线yg的垂线交C于A,B两点，点A在第一象限,

若图^丹川,则&4跳；的周长为.

【解析】因为行若，所以F二1号，所以），则渐近线尸*，不妨设所

aaa3a33

22

平加,b=%c=2加，则双曲线的方程为1,

3mm

设/(%1,%)乃(%2必),所以AB:x=2m-^,

,22

Wi

联立3m2m2彳导8俨+4小加y-3加2=0,

x=2m-i

r-r-pi3m--37n-

所以为=一—,yi

4:

g'产lyil3-V3g、］1g3+V3

所以诂1万后,所以田Bl1—,

所以/引=3B|+跖号，所以加二A所以4=3,所以

AFi+BR+AB=2(AF2+BF2)+4a=18.

答案：18

的左、右焦点分别为F,,F2,C的离心率为2,直线/过B与。交于MN两点，当

10M时,△"F1B的面积为3.

⑴求双曲线。的方程；

【解析】⑴因为0M=0%=|»2|,所以/6许=90。.则|MF，+|MR2/=(2C)2,

(|MR/一附尸2|)2+2此平1|•也电|=4出+2附功•此平2-4。2,

所以加小此牝|=2月，

1

2

/\MFXF2的面积S^MF^MF^b^.

又C的离心率为，Jl+^2,所以4=1.

所以双曲线。的方程为

(2)已知都在C的右支上，设I的斜率为m.

①求实数加的取值范围；

②是否存在实数加，使得NMON为锐角?若存在，请求出m的取值范围;若不存在,

请说明理由.

【解析】(2)①根据题意B(2,0),则直线l:m(x-2)-y=0,

由,X-5―1彳导(3-加2)炉+4加2%_4加2_3=0,由’422

y=mx-2mU=16m+4(3-m)(4m+3)>0

得m2#3,J>0恒成立.

22

、4T?T,4?n+3

设昭西,为),川(%2加2),贝11一—,

m-3m-3

因为直线I与双曲线C的右支相交于MN不同的两点，

(x.+>0

所以「久;0，即

1A*]«Az2V/

所以加2>3魂牟得m£(-00,-^/3)U(巡,+oo).

②假设存在实数m使NMON为锐角，

>

所以万,而>0,即xix2+yiy20,

因为丁必=（加工］-2加）（加工2—2加）=加2%］必_2加2（/+%2）+4加2,所以（］+加2）%］必一

2加2（%］+%2）+4加2>0,由①得（1+加2）（4加2+3）-8加4+4加2（加2.3）>0,即7加2+3-12加2>0解得

加2<|,加2<|与加2>3矛盾，故不存在.

22

15.（10分）（2022•新高考/卷）已知点4（2,1）在双曲线。:24~=1伍>1）上，直线I

CLCL-1

交。于RQ两点，直线APAQ的斜率之和为0.

⑴求/的斜率；

22

【解析】⑴因为点4（2,1）在双曲线。：三）=1（4>1）上，

ClCL-1

41

所以事41，解得。2=2,

aa-1

2

即双曲线C：2产1,易知直线I的斜率存在，

设/：产区+加