河南省天一大联考2025届高三数学第一学期期末学业水平测试试题含解析

河南省天一大联考2025届高三数学第一学期期末学业水平测试试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若与互为共轭复数，则（）A．0 B．3 C．－1 D．42．已知变量，满足不等式组，则的最小值为（）A． B． C． D．3．已知，复数，，且为实数，则（）A． B． C．3 D．-34．已知，且，则的值为（）A． B． C． D．5．已知向量满足,且与的夹角为,则()A． B． C． D．6．某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有A．72种 B．36种 C．24种 D．18种7．已知，若对任意，关于x的不等式（e为自然对数的底数）至少有2个正整数解，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．8．如图，在△ABC中，点M是边BC的中点，将△ABM沿着AM翻折成△AB'M，且点B'不在平面AMC内，点P是线段B'C上一点.若二面角P-AM-B'与二面角P-AM-C的平面角相等，则直线AP经过△AB'CA．重心 B．垂心 C．内心 D．外心9．已知向量，，则与共线的单位向量为()A． B．C．或 D．或10．若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．11．设，则““是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必条件12．各项都是正数的等比数列的公比，且成等差数列，则的值为()A． B．C． D．或二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若，则的最小值为________.14．设复数满足，其中是虚数单位，若是的共轭复数，则____________．15．如图是一个算法伪代码，则输出的的值为_______________.16．已知向量，，则______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在直角坐标系中，点的坐标为，直线的参数方程为（为参数，为常数，且）.以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，建立极坐标系，圆的极坐标方程为.设点在圆外.（1）求的取值范围.（2）设直线与圆相交于两点，若，求的值.18．（12分）已知函数，其中为实常数.（1）若存在，使得在区间内单调递减，求的取值范围；（2）当时，设直线与函数的图象相交于不同的两点，，证明：.19．（12分）已知在四棱锥中，平面，，在四边形中，，，，为的中点，连接，为的中点，连接.（1）求证：.（2）求二面角的余弦值.20．（12分）设不等式的解集为M，.（1）证明：；（2）比较与的大小，并说明理由.21．（12分）如图所示，四棱柱中，底面为梯形，，，，，，.（1）求证：；（2）若平面平面，求二面角的余弦值.22．（10分）在最新公布的湖南新高考方案中，“”模式要求学生在语数外3门全国统考科目之外，在历史和物理2门科目中必选且只选1门，再从化学、生物、地理、政治4门科目中任选2门，后三科的高考成绩按新的规则转换后计入高考总分.相应地，高校在招生时可对特定专业设置具体的选修科目要求.双超中学高一年级有学生1200人，现从中随机抽取40人进行选科情况调查，用数字1~6分别依次代表历史、物理、化学、生物、地理、政治6科，得到如下的统计表：序号选科情况序号选科情况序号选科情况序号选科情况11341123621156312352235122342223532236323513145232453323541451413524235341355156152362525635156624516236261563623672561715627134371568235182362823538134923519145292463923510236202353015640245（1）双超中学规定：每个选修班最多编排50人且尽量满额编班，每位老师执教2个选修班（当且仅当一门科目的选课班级总数为奇数时，允许这门科目的1位老师只教1个班）.已知双超中学高一年级现有化学、生物科目教师每科各8人，用样本估计总体，则化学、生物两科的教师人数是否需要调整？如果需要调整，各需增加或减少多少人？（2）请创建列联表，运用独立性检验的知识进行分析，探究是否有的把握判断学生“选择化学科目”与“选择物理科目”有关.附：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828（3）某高校在其热门人文专业的招生简章中明确要求，仅允许选修了历史科目，且在政治和地理2门中至少选修了1门的考生报名.现从双超中学高一新生中随机抽取3人，设具备高校专业报名资格的人数为，用样本的频率估计概率，求的分布列与期望.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

计算，由共轭复数的概念解得即可.【详解】，又由共轭复数概念得：，.故选：C【点睛】本题主要考查了复数的运算，共轭复数的概念.2、B【解析】

先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值.【详解】解：由变量，满足不等式组，画出相应图形如下：可知点,，在处有最小值，最小值为.故选：B.【点睛】本题主要考查简单的线性规划，运用了数形结合的方法，属于基础题.3、B【解析】

把和代入再由复数代数形式的乘法运算化简，利用虚部为0求得m值．【详解】因为为实数，所以，解得.【点睛】本题考查复数的概念，考查运算求解能力.4、A【解析】

由及得到、，进一步得到，再利用两角差的正切公式计算即可.【详解】因为，所以，又，所以，，所以.故选：A.【点睛】本题考查三角函数诱导公式、二倍角公式以及两角差的正切公式的应用，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.5、A【解析】

根据向量的运算法则展开后利用数量积的性质即可.【详解】.故选：A.【点睛】本题主要考查数量积的运算，属于基础题.6、B【解析】

根据条件2名内科医生，每个村一名，3名外科医生和3名护士，平均分成两组，则分1名外科，2名护士和2名外科医生和1名护士，根据排列组合进行计算即可．【详解】2名内科医生，每个村一名，有2种方法，3名外科医生和3名护士，平均分成两组，要求外科医生和护士都有，则分1名外科，2名护士和2名外科医生和1名护士，若甲村有1外科,2名护士,则有C3若甲村有2外科,1名护士,则有C3则总共的分配方案为2×(9+9)=2×18=36种，故选：B.【点睛】本题主要考查了分组分配问题，解决这类问题的关键是先分组再分配，属于常考题型.7、B【解析】

构造函数（），求导可得在上单调递增,则,问题转化为,即至少有2个正整数解,构造函数,,通过导数研究单调性,由可知，要使得至少有2个正整数解,只需即可,代入可求得结果.【详解】构造函数（），则（），所以在上单调递增，所以，故问题转化为至少存在两个正整数x，使得成立，设，，则，当时，单调递增；当时，单调递增.，整理得.故选:B.【点睛】本题考查导数在判断函数单调性中的应用,考查不等式成立问题中求解参数问题,考查学生分析问题的能力和逻辑推理能力,难度较难.8、A【解析】

根据题意P到两个平面的距离相等，根据等体积法得到SΔPB'M【详解】二面角P-AM-B'与二面角P-AM-C的平面角相等，故P到两个平面的距离相等.故VP-AB'M=VP-ACM，即故B'P=CP，故P为CB'中点.故选：A.【点睛】本题考查了二面角，等体积法，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.9、D【解析】

根据题意得，设与共线的单位向量为，利用向量共线和单位向量模为1，列式求出即可得出答案.【详解】因为，，则，所以，设与共线的单位向量为，则，解得或所以与共线的单位向量为或.故选：D.【点睛】本题考查向量的坐标运算以及共线定理和单位向量的定义.10、B【解析】

求导函数，求出函数的极值，利用函数恰有三个零点，即可求实数的取值范围.【详解】函数的导数为，令，则或，上单调递减，上单调递增，所以0或是函数y的极值点，函数的极值为：，函数恰有三个零点，则实数的取值范围是：.故选B.【点睛】该题考查的是有关结合函数零点个数，来确定参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意应用导数研究函数图象的走向，利用数形结合思想，转化为函数图象间交点个数的问题，难度不大.11、B【解析】

解出两个不等式的解集，根据充分条件和必要条件的定义，即可得到本题答案.【详解】由，得，又由，得，因为集合，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B【点睛】本题主要考查必要不充分条件的判断，其中涉及到绝对值不等式和一元二次不等式的解法.12、C【解析】分析：解决该题的关键是求得等比数列的公比，利用题中所给的条件，建立项之间的关系，从而得到公比所满足的等量关系式，解方程即可得结果.详解：根据题意有，即，因为数列各项都是正数，所以，而，故选C.点睛：该题应用题的条件可以求得等比数列的公比，而待求量就是，代入即可得结果.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

由基本不等式，可得到，然后利用，可得到最小值，要注意等号取得的条件。【详解】由题意，，当且仅当时等号成立，所以，当且仅当时取等号，所以当时，取得最小值．【点睛】利用基本不等式求最值必须具备三个条件：①各项都是正数；②和（或积）为定值；③等号取得的条件。14、【解析】

由于，则．15、5【解析】

执行循环结构流程图，即得结果.【详解】执行循环结构流程图得,结束循环，输出.【点睛】本题考查循环结构流程图，考查基本分析与运算能力，属基础题.16、【解析】

求出，然后由模的平方转化为向量的平方，利用数量积的运算计算．【详解】由题意得，.，.，，.故答案为：．【点睛】本题考查求向量的模，掌握数量积的定义与运算律是解题基础．本题关键是用数量积的定义把模的运算转化为数量积的运算．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】

（1）首先将曲线化为直角坐标方程，由点在圆外，则解得即可；（2）将直线的参数方程代入圆的普通方程，设、对应的参数分别为，列出韦达定理，由及在圆的上方，得，即即可解得；【详解】解：（1）曲线的直角坐标方程为.由点在圆外，得点的坐标为，结合，解得.故的取值范围是.（2）由直线的参数方程，得直线过点，倾斜角为，将直线的参数方程代入，并整理得，其中.设、对应的参数分别为，则，.由及在圆的上方，得，即，代入①，得，，消去，得，结合，解得.故的值是.【点睛】本题考查极坐标方程化为直角坐标方程，直线的参数方程的几何意义的应用，属于中档题.18、（1）；（2）见解析.【解析】

（1）将所求问题转化为在上有解，进一步转化为函数最值问题；（2）将所证不等式转化为，进一步转化为，然后再通过构造加以证明即可.【详解】（1），根据题意，在内存在单调减区间，则不等式在上有解，由得，设，则，当且仅当时，等号成立，所以当时，，所以存在，使得成立，所以的取值范围为。（2）当时，，则，从而所证不等式转化为，不妨设，则不等式转化为，即，即，令，则不等式转化为，因为，则，从而不等式化为，设，则，所以在上单调递增，所以即不等式成立，故原不等式成立.【点睛】本题考查了利用导数研究函数单调性、利用导数证明不等式，这里要强调一点，在证明不等式时，通常是构造函数，将问题转化为函数的极值或最值来处理，本题是一道有高度的压轴解答题.19、（1）见解析；（2）【解析】

（1）连接，证明，得到面，得到证明.（2）以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，为平面的法向量，平面的一个法向量为，计算夹角得到答案.【详解】（1）连接，在四边形中，，平面，面，，，面，又面，，又在直角三角形中，，为的中点，，，面，面，.（2）以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，，，，，，，设为平面的法向量，，，，，令，则，，，同理可得平面的一个法向量为.设向量与的所成的角为，，由图形知，二面角为锐二面角，所以余弦值为.【点睛】本题考查了线线垂直，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.20、(1)证明见解析；(2).【解析】试题分析：(1)首先求得集合M，然后结合绝对值不等式的性质即可证得题中的结论；(2)利用平方做差的方法可证得|1-4ab|＞2|a-b|.试题解析：（Ⅰ）证明：记f(x)=|x-1|-|x+2|，则f(x)=，所以解得-＜x＜，故M=(-,).所以，||≤|a|+|b|＜×+×=.（Ⅱ）由（Ⅰ）得0≤a2＜，0≤b2＜.|1-4ab|2-4|a-b|2=(1-8ab+16a2b2)-4(a2-2ab+b2)=4(a2-1)(b2-1)>0.所以，|1-4ab|＞2|a-b|.21、（1）证明见解析（2）【解析】

（1）取中点为，连接，，，，根据线段关系可证明为等边三角形，即可得；由为等边三角形，可得，从而由线面垂直判断定理可证明平面，即可证明.（2）以为原点，，，为，，轴建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，并求得平面和平面的法向量，即可由法向量法求得二面角的余弦值.【详解】（1）证明：取中点为，连接，，，如下图所示：因为，，，所以，故为等边三角形，则.连接，因为，，所以为等边三角形，则.又，所以平面.因为平面，所以.（2）由（1）知，因为平面平面，平面，所以平面，以为原点，，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，易求，则，，，，则，，.设平面的法向量，则即令，则，，故.设平面的法向量，则则令，则，，故，所以.由图可知，二面角为钝二面角角，所以二面角的余弦值为.【点睛】本题考查线面垂直的判定，由线面垂直判定线线垂直，由空间向量法求平面与平面形成二面角的大小，属于中档题.22、（1）不需调整（2）列联表见解析；有的把握判