高考数学一轮复习基础知识：集合与常用逻辑用语

高考数学一轮复习基础知识

集合与常用逻辑用语

集合

1.，合的含义与表示

(1)了解集合的含义，体会元素与集合的从属关系.

(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.

2.集合间的基本关系

(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.

(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义.

3.集合的基本运算

(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.

(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.

(3)能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.

常用逻辑用语

(1)理解命题的概念.

⑵了解“若夕，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相

互关系.

(3)理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.

(4)了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义.

(5)理解全称量词与存在量词的意义.

(6)能正确地对含有一个量词的命题进行否定.

第一讲集合

知识能力解读

知能解读(一)集合的基本概念及表示方法

1集合的概念

一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合，简称集.通常

用大写字母幺，8,C,…表示.集合中的每个对象叫做这个集合的元素.通常用小写字

母a,b,c,…表示.

2.集合中元素的三个特征

⑴确定性

设Z是一个给定的集合，。是某一具体的对象，则。是/的元素，或者不是Z的元素,

两种情况必有一种且只有一种成立.这个特性常用来判断涉及的总体能否构成集合.

(2)互异性

集合中的元素必须是互异的，也就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是

不同的.即集合中的元素不重复，两个或两个以上的相同元素都认为是一个元素，在用列举

法表示时也只能写一个.例如方程V+2x+1=0的解组成的集合必须写成

Z=｛-1｝.这个特性常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素.

(3)无序性

集合中的元素不考虑顺序，对于元素相同而排列次序不同的集合认为是相同的集合.例

如集合(1,2,3,4｝与集合｛4,3,2,1｝是相同的集合.这个特性常用来判断两个集合的关系.

3.集合的分类

(1)集合可以根据它含有的元素的个数分为两类：含有有限个元素的集合叫做有限集，

含有无限个元素的集合叫做无限集.

(2)不含任何元素的集合叫做空集，记作0.

注意：①空集中没有任何元素.要区分0和｛0｝,集合｛0｝中有1个元素0,而。中没

有任何元素，两者有着本质的不同.

②空集在实际问题中是实实在在存在的，如在实数范围内方程M+1=0的解集和不等

式1+1<0的解集都是空集.

4.集合的表示方法

⑴列举法

把集合的元素一一列举出来，并用花括号括起来表示集合的方法.

使用列举法时，需注意以下几点：

①元素间用分隔号“，”；②元素不重复；③元素无顺序；④对于含较多元素的集合，

如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但是必须把元素间的规律显示清楚后才能

用省略号.

如：从1到100的所有整数组成的集合可以表示为｛1,2,3,…,100｝.

(2)描述法

用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，即其中竖线

“I”左边表示集合中的代表元素，右边表示集合中元素满足的条件.

如：所有的直角三角形的集合可以表示为｛x|x是直角三角形｝.

(3)图示法

为了形象地表示集合，我们常常画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合.如

图所示，表示集合｛1,3,5,8｝.

5.常用数集的符号

为了书写方便，我们规定常见的数集用特定的字母表示，下面是几种常见的数集的表示

方法，请牢记.

数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集复数集

符号NN+或N*ZQRC

知能解读(二)集合间的基本关系

、、表示文字语言符号语言

关於、

相等集合A与集合B中的所有元素都相AjB,B=A=A=B

同

子集集合A中任意一个元素都是集合B/鼠5或534

中的元素

真子集集合A中任意一个元素均为集合BZUB或BYA

中的元素，且集合B中至少有一个元

素不是集合A中的元素

空集空集是任何集合的子集，是任何非空0^A,0U5（5^0）

集合的真子集

提示：①“e”是表示集合中的元素与集合关系的符号，而“之”与“U”是表示两

个集合间包含和真包含关系的符号，在书写时应注意区分.

②幺口3有两种情况：2=8和2。8.

若幺。5,则8中至少存在一个元素不属于

知能解读(三)集合与集合间的运算

集合运算|自然语言描述符号表示Venn图表示

并集一般地，由所有属于集合/或A\3B={x\xGA,5

属于集合8的元素组成的集合，

或X£5}0)B⑷

称为集合/与5的并集，记作

A\JB,读作“4并3”.(B顾

交集一般地，由属于集合/且属于4nB={x\xeA,

集合5的所有元素组成的集合，

且X£B}

称为幺与8的交集，记作

A[}B,读作“A交B”.0®

全集与补(1)一般地，如果一个集合含有.4={x\xGU,且

集我们所研究问题中涉及的所有

xA}回

元素,那么就称这个集合为全集，

通常记作U.

(2)对于一个集合A,由全集UO

中不属于幺的所有元素组成的回

集合称为集合A相对于全集U

的补集，简称为集合幺的补集，

记作.

2.集合中常用的运算性质

(1)若/口8,BA,则2=8；若幺口8,BjC,则ZqC.

(2)0qZ；若Zw0,则0UZ.

⑶幺口幺=幺，AC\B=BC\A,AQ0=0.

(4)AUA=A,ZU5=5UZ,A\J0=A.

⑸/n.N)=。，ZU.N)=U.

⑹(/riB)屋/1(ZUB).

(7.(ZU5)=・力・可，■(NUB)=・力・8).

(8)若/口8,则Zn8=Z,A\3B=B,反之变成立.

知能解读(四)有限集的子集个数公式

设有限集/中有〃个元素，则/的子集有2"个，其中真子集的个数为2"-1,非空子

集的个数为2"-1,非空真子集的个数为2"-2.

解题方法荟萃

I.数学思想方法

思想方法(一)分类讨论思想

它是根据数学对象本质属性的相同点和不同点确定划分标准，进行分类，然后对每一类

分别求解，并综合得出答案的一种数学思想.在划分中要求始终使用同一标准，这个标准应

该是科学的、合理的，要满足无重复、无遗漏、最简的原则.

(二)数形结合思想

数形结合的解题方法，就是把数学问题中的数量关系和几何图形结合起来进行探索分析

的思维方法.其实质就是将抽象的数学语言与直观图形结合起来，抽象思维和形象思维结合

起来，使抽象问题具体化，复杂问题简单化，通过“数”和“形”的联系与转化，化难为易，

增强直观性，从而使问题得到解决.数形结合包含两重意义：⑴以形助数(2)以数解形.所

谓“以形助数”就是将待研究的代数问题转化为研究其对应的几何图形，通过几何图形的直

观性寻找原问题的解题思路，从而获解；所谓“以数解形”就是借助代数计算等确定几何图

形的某些属性.

(三)补集思想

（四）分析法

（五洌举法

（六）Venn图法

II.解题规律技巧

（一）集合语言与集合思想在解题中的应用

（二）利用数轴解决集合间的关系问题

（三）集合中元素的“三性”及应用

（四）点集运算转化处理

in.易混易错辨析

（一）因没有弄清集合的代表元素而导致错误

（二）勿忘空集防“陷阱”

高考命题研究

纵观近几年高考试题，集合部分以考查基础知识为主，涉及集合的概念、集合间的基本

关系、集合的基本运算等.核心考点是集合的交集、并集和补集运算，既有列举法表示的集

合，又有描述法表示的集合，有时还会与不等式、函数、方程等知识结合，题型为选择题或

填空题，难度不大.

高考热点（一）集合的基本概念

（二）集合间的基本关系的判定与应用

（三）集合的基本运算

（四）集合中的新定义题

附录常用公式定理

i.常用符号

e-----属于e------不属于

c——包含于U——真包含于

。——包含Y——真包含

U——不包含于U——不包含

0——空集符号=——集合相等符号

n——交集符号u——并集符号

H—补集符号

u一—全集符号

N——自然数集z——整数集

N+（N*）——正整数集Q——有理数集

R——实数集，Q--无理数集

C——复数集eZ}----奇数集

（x|x=2n,neZ}----偶数集

2.常用公式

AC\A=AAQ0=0AC\U=A

A\JA=AA\J0=AA\JU=U

■(Zn5)=.Z)U.5).(ZUBb.Rn.B)

3.常用定理

传递性：若集合ZqB,BjC,则若集合幺。8,5UC,则NUC.

第二讲常用逻辑用语

知识能力解读

知能解读（一）四种命题及其关系

1.命题的定义

用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句称为命题.其中判断为真的语句叫

做真命题，判断为假的语句叫做假命题.

例如：“3是12的约数”“0.5是整数”都是命题.

说明：（1）并不是任何语句都是命题.一般来说，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命

一题.（2）一个命题，一般可以用小写英文子母表示，如p,q,r,….

2.四种命题

对于两个命题，如果一个命题的条件和结论，分别是另一个命题的结论和条件，那么我

们把这样的两个命题叫做互逆命题.其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆

命题.

一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题

叫做互否命题.把其中一个命题叫做原命题，另一个命题就叫做原命题的否命题.

一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题

叫做互为逆否命题.把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做原命题的逆否命

题.

3.表示形式

一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用「p和」q分别表示p和q的否定,

于是四种命题的形式就是：

原命题：若p,则q；逆命题：若q,则夕；否命题：若可，则「q；逆否命题：若

—iq,则—7?.

4.四种命题的关系

四种命题的关系如图所示：

点拨：互为逆否的两个命题的真假性相同，互逆或互否的两个命题的真假性没有关

系.

（二）充分条件、必要条件、充要条件

定义从集合观点看

若pnq，则P是q的充分条件若集合尸口0,则。是0的充分条件

若q=>p,则夕是q的必要条件若集合。口尸，则尸是。的必要条件

若夕=>q且q幺p,则夕是q的充分

若集合尸U0,则尸是。的充分不必要条件

不必要条件

若q=>P且p幺q,则夕是q的必要

若集合尸丫0,则尸是。的必要不充分条件

不充分条件

若pQq,则夕是q的充分必要条件若集合尸=0,则尸是0的充分必要条件

若p幺q,q幺p,则夕是夕的既不若集合尸且。。尸，则尸是。的既不充

充分也不必要条件分也不必要条件

说明：由上表可知，判断充分条件、必要条件、充要条件时应采用以下方法：（1）确定

条件?是什么，结论q是什么；（2）尝试从条件推结论，如果夕nq,则充分性成立，p是

q的充分条件（3）再考虑从结论推条件，如果qnp,则夕是q的必要条件，必要性成立;

（4）证明命题的条件是充要的，则既要证明充分性又要证明必要性.

（三）逻辑联结词：“或”“且”“非”

（1）或：联结两个命题?，q,得到新命题P或q.记作夕vq.

(2)且：联结两个命题夕，q,得到新命题P且q.记作夕Aq.

(3)非：对一个命题?全盘否定，得到新命题非p.记作

(四)真值表

(五)命题的否定与否命题

(1)命题的否定只否定命题的结论，它和原命题真假相反；而否命题是既否定条件，又

否定结论，它和原命题的真假性无关.

(2)写“非夕”或否命题时，必须使用否定词语对正面叙述的词语进行否定.因此掌握

常见的正面叙述词语以及它们的否定同语卜分必要，具《本列表如下：

正面词语等于(=)大于(>)小于(<)能是都(全)是

否定词语不等于(W)不大于(W)不小于(2)不能不是不都(全)是

正面词语至多一个至少有一个至多n个p或q夕且q

否定词语至少两个一个也没有至少〃+1个非夕且非q非p或非q

(3)命题“2人已”与"prq”的否定

①「(P八4)=(/”(「1)；②「(Pvq)=(/)△(「1)•

(六)量词与命题

1.全称量词

短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号

“V”表示.

2.全称命题

含有全称量同的命题，叫做全称命题.全称命题就是形如“对M中的所有x,有夕(x)

成立”的命题，用符号简记为VxeM,p(x).

3.存在量词

短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻

辑中通常叫做存在量词，并用符号“三”表示.

4.特称命题(存在性命题)

含有存在量词的命题，叫做特称命题(存在性命题)，用符号简记为三毛€河,夕(/).

5.全称命题与特称命题的否定

命题命题的否定

VXGM,—

全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.

解题方法荟萃

I.数学思想方法

思想方法(一)转化与化归思想

在处理问题时，把待解决或难解决的问题，通过某种转化过程，归结为一类已经解决或

较易解决的问题，最终解决问题，这就是转化与化归思想.转化后的新问题与原问题实质一

样时，这样的转化我们叫它等价转化.

(二)数形结合思想

（三）分类讨论思想

（四）反证法

（1）反证法是常用的间接证法之一.它的实质是当证明“若夕，则q”感到困难时，改

证命题“若夕，则不成立.

（2）反证法证题的步骤：第一步，假设结论的反面成立；第二步，从这个假设出发，推

理论证，得出矛盾；第三步，由矛盾判定假设不成立，从而肯定结论正确.由于反证法是很

有用的方法，所以应当学会使用反证法来证明用直接法证明感到困难的问题，在立体儿何中

经常使用这种方法.证明否定形式的命题也经常用反证法.

II.解题规律技巧

规律技巧（一）应用互为逆否命题的等价性解题

由于原命题与它的逆否命题等价，即具有相同的真假性，在直接证明原命题有困难时，

可以考虑证明与它等价的逆否命题，这种方法是间接证明命题的方法.

（二）利用集合关系判断充要条件

设与夕相应的集合为Z=,与4相应的集合为3=｛七（必，则有如下结论

（1）若2口8,则夕是q的充分条件，若则夕是q的充分不必要条件；

（2）若BJ幺,则夕是q的必要条件，若则夕是q的必要不充分条件；

（3）若A=B,则P与q互为充要条件（也称等价条件）；

（4）若且5。幺，则P既不是q的充分条件，也不是q的必要条件.

（三）全称命题与特称命题的真假判定方法

要判定全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x

验证p（x）成立；若要判定全称命题“VxeM,p（x）是假命题，只要能找出某一个

x=x0&M,使得夕（与）不成立即可（举反例法）.

要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x=%,使得P（与）

成立即可；如果在集合M中，使P（x）成立的元素不存在，那么这个特称命题是假命题.

II.易混易错辨析

易混易错（一）分不清条件的充分性与必要性而致误

在利用充分条件、必要条件解题时，常因弄反条件的充分性与必要性致错.

（二）对命题的否定与否命题区别不清而致误

命题的否定只否定命题的结论，不否定命题的条件，而否命题既要否定命题的结论，又

要否定命题的条件.

高考命题研究

命题、逻辑联结词与充要条件在高考中的考查，以命题的基本概念及充要条件为主，重

点考查命题真假的判定、充要条件的判定，考题多为选择题.另外，高考中这部分知识也可

以和其他知识如函数、方程、不等式、数列、解析几何等相结合在知识交汇点处命制综合性

大题，以考查学生分析问题和解决问题的能力.

全称命题、特称命题的否定及其真假判断也是高考的热点.

高考热点（一）命题的四种形式与关系及