人教版九年级数学上册知识点及习题归纳

初三上知识点汇总

第二十一章一元二次方程

一、一元二次方程的概念

1.只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程.

2一般形式.+bx+c=O(tz0)

【注意】1.定义的隐含条件：①是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2。

2.任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成一般形式。要特别注意对于关于x的

方程62+法+。=0,当“片°时，方程是一元二次方程；当。=°且时，方程是一元一次方程。

例1:若(加一2)X'"2一2一3%+4=0是关于*的一元二次方程，则m的值是o

变式1：已知关于x的方程(a—3)1°T—£+2=0是一元二次方程，则2=

二、一元二次方程的解法

1.直接开平方法：方程的一边可化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，那么可用直接开平

方法解这类方程.

2.配方法：

(1)将方程的左边化成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负数，这样，我们可根据平方

根的定义，把方程两边开平方，这种解一元二次方程的方法叫做配方法.

(2)配方法解一元二次方程的一般步骤:

第一步：二次项系数化为1,方程两边都除以二次项的系数；

第二步：移项：将常数项移到方程的右边；

第三步：配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化为5+根)2="的形式；

第四步：求解：若方程右边的“为非负数，解可以根据平方根的定义求出方程的解.

【注意】对于配方为(尤+根)2="的一元二次方程，只有当时，才可直接开平方求解；若

方程无解.

3.求根公式法：

-b±yjb1-4ac

X--------------------2

(1)求根公式：2a(b--4ac>0)

(2)用公式法解一元二次方程的一般步骤：

第一步：把一元二次方程化为一般形式；

第二步：确定以b、c的值；

第三步：求出加一4℃的值；

第四步：若/一4m20,贝甘巴公从c以及廿一4收的值代入求根公式；若4*<0,则方程无解.

4.因式分解法：

(1)当一元二次方程整理成办2+6尤+。=°时，如果可以因式分解，则可以选用这个方法.

(2)因式分解法的一般步骤：

第一步：将方程整理为一般形式；

第二步：将方程左边因式分解，得到两个一次因式的积；

第三步：令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；

第四步：解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.

【注意】应用因式分解法解一元二次方程时，方程的右边必须是零.

例2：用适当的方法解下列方程:

(1)(21)2=5(2)X2-8X+15=0

2

(3)X2-10X+24=0(4)6x-5x+l=0

(5)3x2—1—1=0

变式2：(1)--x2+x+2=0(2)6x2+13x+6=0

三、根的判别式

1.一元二次方程根的判别式：△=〃-4ac

2.根的判别式用来判别根的个数情况：

-b±y/b2-4ac

(1)八＞0。方程办?+版+c=0(〃w0)有两个不相等的实数根五2一2a

————b

(2)A=0O方程办2+区+。=0(44°)有两个相等的实数根।h2a.

(3)A<0o方程以2+法+0=°("2°)没有实数根.

3.一元二次方程根的判别式的应用

(1)不解方程，判别方程根的情况；

(2)根据方程根的情况，确定方程中字母系数的值或取值范围；

(3)讨论因式分解问题及方程组的解的情况.

例3：若关于x的方程V+4X+2左=0有两个实数根，求k的取值范围及k的非负整数值。

变式3：已知关于x的方程2=0,(1)当方程的一个根为1时，求。的值；(2)求

证：无论。取何实数，该方程都有两个不相等的实数根。

四、根与系数的关系一一韦达定理

1.设一元二次方程方?+陵+。=°的两个根为不’马，则两个根满足：

bc

X[+%2=------，菁・X?——

aa

例4：已知％尸是方程2d—%—7=0的两根。不解方程求下列代数式的值。

(1)a2+p~(2)£+/(3)(2—1)(尸—1)⑷.―尸|

11

变式4：已知是方程2%9—%—5=。的两根。求一+一的直

X]x2

五、一元二次方程与实际问题

1.面积最大化问题

2.利润最大化问题

3.增长率问题

4.传播问题

5.动点问题

例5：某个体户以50000元资金经商，在第一年中获得一定的利润，已知这50000元资金加上第一年的利

润在第二年共获利润2612.5元，而且第二年的利润率比第一年多0.5%，则第一年的利润是多少元？

变式5：某个体户以50000元资金经商，在第一年中获得一定的利润，已知这50000元资金加上第一年的

利润在第二年共获利润2612.5元，而且第二年的利润率比第一年多0.5%，则第一年的利润是多少元？

【例1】下列方程是关于X的一元二次方程的是()

A.(a—I)x2+(Q+3)x-3=0B.(x+a)(x-Q)=(%+b)(x—2b)

C.^X4-6A：2+1=0口.(。2+1)_?—2尤+3=0

【例2】关于x的方程(〃+l)元2+2依-6=0是一元二次方程，则。的取值范围是()

A.a2±lB.aH°C.。为任何实数D.不存在

【例3】关于x的一元二次方程(“一1)/+工+/-1=0的一个根是0,则"的值为()

A.lB.-lC.1或-1D.-

2

【例4】已知a,b,c为正数，若二次方程依2+帆+。=0有两个实数根，那么方程储元2+片彳+。2=()的

根的情况是()

A.有两个不相等的正实数根B.有两个异号的实数根

C.有两个不相等的负实数根D.不一定有实数根

【例5】关于x的一元二次方程依2-6尤+9=0有两个不相等的实数根，那么上的取值范围是()

A.k<lB.k^OC.左<1且左w0D.k>l

［例6］若一元二次方程(m-2)x2+3(/7?+15)x+m2-4=0的常数项为零，则机的值为

【例7】若机是方程3三-2》-2=0的一个根，那么代数式三加-机+1的值为

2

【例8】若关于x的二次方程(根一1»2+2皿+加一2=°有两个不相等的实数根，则机的取值范围是

【例9】设外、%是方程/-2(左+l)x+F+2=0的两个不同的实根，且(占+1)(/+1)=8,则%的值是

【例10］选择恰当的方法解下列方程

1211

9(元+——4；(2)X2-X-6=0；(3)-x2——x——=0

(1)3362

(4)(5X-4)2-(4X-3)2=0；(5)(x-l)(x+3)=12

【例11】设方程1|-4=0,求满足该方程的所有根之和.

【例12】证明：无论实数加、〃取何值时，方程如？+（瓶+〃）％+〃=o都有实数根

【例13］已知关于元的方程/一侬；+机_1=0有两个不相等的实根石、x2,—+—=m,求加的值

为x2

【例14】某个体户以50000元资金经商，在第一年中获得一定的利润，已知这50000元资金加上第一年的

利润在第二年共获利润2612.5元，而且第二年的利润率比第一年多0.5%，则第一年的利润是多少元？

【例15】一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，每轮感染中平均一台电脑感染几台

电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染电脑会不会超过700台？

第二十二章二次函数

一、二次函数的概念

二次函数的定义

1.一般地，形如y=+c（%氏,为常数，。/0）的函数称为1的二次函数，其中彳为自变

量，丁为因变量，七瓦,分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数.

2.任何二次函数都可以整理成y+Zu+c（a,b,c为常数，awO）的形式.

3.判断函数是否为二次函数的方法：

（1）含有一个变量，且自变量的最高次数为2；

（2）二次项系数不等于0；

（3）等式两边都是整式.

4.二次函数自变量x的取值范围是全体实数.

二次函数图象的画法：五点绘图法

利用配方法将二次函数y="2+法+0化为顶点式y=-〃）2+%,确定其开口方向、对称轴及顶点

坐标

在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点（°‘°）、以及（°,,）

关于对称轴对称的点（2〃‘,）、与》轴的交点（玉‘°）,（%‘°）（若与无轴没有交点，则取两组关于对称轴

对称的点）.

二、二次函数的图象性质

二次函数丁=以2+以+°（。/0）的性质

b

对称轴：x=----

2a

会一।「zb4ac-b2

顶点坐标：（----,---------）x

2a4a

最值:

图1图2

4cic_l）2

①〃>0时有最小值--------（如图1）

4a

一Z72

②〃<。时有最大值--------（如图2）

4a

单调性：二次函数y=。/+bx+c（awO）的变化情况（增减性）

bb

①当a>0时，对称轴左侧x<---，y随着x的增大而减小，在对称轴的右侧x>----，y随x

2a2a

的增大而增大；

bb

②当a<0时，对称轴左侧x<——，y随着x的增大而增大，在对称轴的右侧x>——，丁随x

2a2a

的增大而减小；

二次函数y=a（x-h）2+左（a/0）的性质

对称轴：x=h

顶点坐标：（%人）

最值：

时有最小值及（如图1）

时有最大值3（如图2）

二次函数1心f）（XF）（awO）的性质

x+x

x=-i---2

对称轴：2

与x轴的交点坐标为（％，°），®，°）

二次函数的图象与系数的关系

1/的符号决定抛物线的开口方向：

当时，抛物线开口向上；

当。＜°时，抛物线开口向下.

2M决定抛物线的开口大小：

问越大，抛物线开口越小；

同越小，抛物线开口越大.

JQ-----b-

3.。和力共同决定抛物线对称轴的位置（抛物线的对称轴：2a）

当6=0时，抛物线的对称轴为,轴；

当。、人同号时，对称轴在丫轴的左侧；

当"、万异号时，对称轴在,轴的右侧.

简要概括为“左同右异”.

4.。的大小决定抛物线与y轴交点的位置（抛物线与丁轴的交点坐标为（°,,））

当c=0时，抛物线与丁轴的交点为原点；

当时，交点在丁轴的正半轴；

当时，交点在＞轴的负半轴.

根据二次函数的图象判断代数式符号

1./一4改决定了函数图象与x轴的交点情况：

当炉-4">°,有两个交点；

当方2-4"=°,有一个交点；

当廿一4ac<°,没有交点.

2.当x=l时，可以得到a+人+c的值；

当x=—l时，可以得至！U-6+c的值

二、二次函数解析式的确定

待定系数法求解析式

［一般式.y=cue1+bx+c（a0）

【注意】已知任意3点坐标，可用一般式求解二次函数解析式。

2.顶点式：y=^-h）2+k（a^0）

【注意】L已知顶点坐标或对称轴时，可用顶点式求解二次函数解析式.

2.已知二次函数的顶点和图象上的任意一点，都可以用顶点式来确定解析式.

3.交点式：丫=。（了一%）（了一尤2）（。片0）.

【注意】1、已知抛物线与x的两个交点坐标，可用交点式求解二次函数解析式.

2、已知二次函数与无轴的交点坐标，和图象上任意一点时，可用交点式求解二次函数解析

式.

工二一+尤2

3、已知二次函数与尤轴的交点坐标（.°），（*2，°）,可知二次函数的对称轴为-2.

4.对称式：>=4（无一尤1）（彳_*2）+后（。工0）.

【注意】当抛物线经过点（百次）、区，“）时，可以用对称式来求二次函数的解析式

三、二次函数的几何变换

平移变换

1、具体步骤：

先利用配方法把二次函数化成丁="（"一'）2+'的形式，确定其顶点（“"），然后做出二次函数

y=axl的图象，将抛物线>=奴2平移，使其顶点平移到（九..具体平移方法如图所示：

向上（比>0）,下（缸0）平移|”

y+无§

卡+

求1E

一1

*-A-

一M

->

#iI->1

自

4詈

y=a(x-/02+jt

向上（*>0）.下（*<0）平移屋I个单位

2、平移规律：在原有函数的基础上“左加右减，上加下减”.

对称变换

二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达

1、关于X轴对称y="2+6x+c关于X轴对称后，得到的解析式是>=一依2一区-。

y=a（x）2+/关于x轴对称后，得到的解析式是y=-^-h\-k；

2、关于,轴对称、=依2+汝+。关于〉轴对称后，得到的解析式是〉="2-法+。

y=”（xj）2+”关于y轴对称后，得到的解析式是yQ(X+0J+k

旋转变换

四、二次函数与实际应用

1、二次函数求最值的应用

【注意】对二次函数的最大（小）值的确定，一定要注意二次函数自变量的取值范围，同时兼顾实际

问题中对自变量的特殊要求，结合图像进行理解.

2、利用图像信息解决问题

【注意】获取图像信息，如抛物线的顶点坐标，与坐标轴的交点坐标等.

3、建立二次函数模型解决问题

【注意】构建二次函数模型时，建立适当的平面直角坐标系是关键。

［例1］下列说法中错误的是（

2

A.在函数＞=一）中，当龙=0时y有最大值o.

B.在函数＞=2无2中，当x＞°时y随X的增大而增大.

c.抛物线y=-/,'2X中，抛物线'=2/的开口最小，抛物线＞的开口

最大.

_2

D.不论。是正数还是负数，抛物线的顶点都是坐标原点.

【例2】函数＞=2/，y=3-2/，y=2f+l的相同.

A.形状B.顶点C.最小值D.增减性

【例3】下列函数中，当彳＞°时，,值随x值的增大而减小的是（）

A,丁=苫B.y=2x-lC.yxD.丫二尤?

2

【例4】己知在同一直角坐标系中，函数丁=冰与y=依的图象可能是（）

【例5】如图，直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，下列关系不正确的是（）.

A.h=m

B.k=n

C.k>n

D.h>0,k>0

【例6］如下图所示，二次函数>="2+陵+。（"*0）的图象经过点（T，2）,且与x轴交点的横坐标分别

为X,%,其中0<%2<1,下列结论:

①4a—»+c<0；@2a-b<Q.@b<-l.@b2+8a>4ac-其中正确的有（）

Al个B.2个C.3个D.4个

【例7】函数y=-3（无+以-2的图象可由函数>=-3（元-5>+3的图象平移得至ij,那么平移的步骤是（）

A•右移六个单位，下移五个单位B.右移四个单位，上移五个单位

C•左移六个单位，下移五个单位D.左移四个单位，上移五个单位

【例8】若函数>=（M-为二次函数，则加的值为.

【例9】二次函数y=x2-2（%+l）x+4的顶点在y轴上，则％=,若顶点在x轴上，则左=

【例10］已知二次函数尤+c（。2°）的图象如图所示，给出以下结论：①。+6+c<0；②

a-b+c<Q.③6+2。<°；④必c>0.其中所有正确结论的序号是

【例11】己知二次函数的图象与％轴有两个交点4-3，°）,3（1,0）,且顶点到刀轴的距离为4,求此二次

函数解析式.

y——xH—

【例12】已知一抛物线的形状与22的形状相同.它的对称轴为彳=-2,它与x轴的两交点之间的

距离为2,求此抛物线的解析式.

【例13】已知抛物线y=1-6x+5,求

（1）关于,轴对称的抛物线的表达式;

⑵关于x轴对称的抛物线的表达式;

⑶关于原点对称的抛物线的表达式.

【例14】已知关于X的方程侬2+2（加—1）%+机—1=°有两个实数根，且m为非负整数.

（1）求加的值；

（2）将抛物线G：y=侬一+2（m-1）》+加-1向右平移a个单位，再向上平移6个单位得到抛物线

G,若抛物线。2过点A（2,b）和点3（4,2b+l）,求抛物线02的表达式；

（3）将抛物线。2绕点（〃+1，〃）旋转180°得到抛物线。3,求抛物线。3的解析式.

【例15】某商品的进价为每件40元.当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经

市场调查：每降价1元，每星期可多卖出2。件.在确保盈利的前提下，解答下列问题：

(1)若设每件降价%元、每星期售出商品的利润为丁元，请写出丁与％的函数关系式，并求出自变

量》的取值范围；

(2)当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？

第二十三章旋转

一、旋转

1.旋转的概念

在平面内，将图形绕一个定点。沿某个方向(逆时针或顺时针)转动一定的角度，这样的图形变换

叫做旋转.这个定点。叫做旋转中心，转动的角称为旋转角.

【注意】旋转变换的三要素：旋转中心、旋转方向和旋转角.

2.旋转的性质

(1)旋转前后的图形全等；

(2)对应点到旋转中心的距离相等(意味着：即旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上)；

(3)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；

(4)对应线段所在直线的夹角等于旋转角.

二、中心对称

1.中心对称

把一个图形绕着某一个定点旋转180°,如果它能够与另外一个图形完全重合，那么就说这两个图形

关于这个点对称或者中心对称，这个点叫做对称中心.

2.中心对称的性质

中心对称图形上的每一对对应点所连的线段都被对称中心平分.

3.中心对称图形

在平面内，一个图形绕着某一个定点旋转18。°,如果旋转前后的图形完全重合，那么这个图形叫做

中心对称图形.

【注意】掌握中心对称图形需要注意以下几点：

(1)中心对称图形是指一个图形；

(2)中心对称图形有一个对称中心；

(3)中心对称图形在绕对称中心旋转180°后，前后两个图形互相重合.

4.区别中心对称与中心对称图形

中心对称是指两个全等图形之间的互相位置关系，中心对称图形是指具有特殊形状的一个图形。

5.确定关于某点成中心对称的两个图形的对称中心的方法：

(1)连接任意一对对称点，取这条线段的中点，则该点为对称中心；

(2)任意连结两对对称点，这两条线段的交点即是对称中心.

【例1】如图，把菱形旗℃绕点O顺时针旋转得到菱形DFOE,则下列角中不是旋转角的为（）

A.NBOFB.么ODc.ZCOED.ZCOF

【例2】如图，尸是正反5c内的一点，若将APBC绕点3旋转到AP7H,则NP3P的度数是（）

A.45。B,60°c,90。D.⑵。

A

【例3】如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG,EF交AD于

点、H,则四边形DHFC的面积为（）

A.百B.38c.9

【例4】在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，使它与图中阴影部分组成的新图形

构成中心对称图形，该小正方形的序号是（）

A.①B.②C.③D.@

【例5】）在下列四个黑体字母中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

CLXZ

A.B.C.D.

【例6】下列说法正确的是()

A.平移不改变图形的形状和大小，而旋转则改变图形的形状和大小

B.平移和旋转的共同点是改变图形的位置

C.图形可以向某方向平移一定距离，也可以向某方向旋转一定距离

D.在平移和旋转图形中，对应角相等，对应线段相等且平行

4,

y——x+4

【例7】如图，直线3与x轴、y轴分别交于A、8两点，△A03绕点A顺时针旋转90°后得

到小^O'B',则点2的对应点B'坐标为()

(3,4)(7,4)(7,3)r，(3,7)

AA.Dn.Cr.U.

【例8】如图，在R3Q4B中，NB=90。，NAOS=30。，将△Q4S绕点。逆时针旋转100。得到,

则幺08=___________

【例9】如图，△ABC中，AD是/BAC内的一条射线，BEXAD,且△CHM可由△BEM旋转而得，延

长CH交AD于点F,最后再连接FM,则下列结论中正确的是()

①M是BC的中点②=!即③CF_LAD④FM_LBC

2

A.1个B.2个C.3个D.4个

【例10］已知：如图，若线段CD是由线段AB经过旋转变换得到的.

求作：旋转中心0点.

【例11】RtAABC中,已知NC=90°,NB=50°,点D在边BC上，BD=2CD(如图).把AABC绕

点D逆时针旋m(0</72<180)度后，如果B点恰好落在初始HAA5C的边上，那么m=?.

A

【例12］已知：如图，四边形ABCD与四边形EFGH成中心对称，试画出它们的对称中心，并简要说明

理由.

A

【例13】已知：三点A(—1,1),B(-3,2),C(-4,-1).

(1)作出与aABC关于原点对称的△A1B1C1,并写出各顶点的坐标;

(2)作出与△ABC关于P(l,—2)点对称的△A2B2c2,并写出各顶点的坐标.

Mr

---1—I_I_.—>

0---------%

【例14］如图，将△ABC绕顶点3按顺时针方向旋转60。，得到ADBE,连接AD、OC,

若ZDCB=30°,AB=l,BC=2,CD=3,求AC的长度.

【例15］已知：如图1,O为正方形ABCD的中心，分别延长OA到点F,OD到点E,使OF=2OA,OE=2OD,

连接EF,将△FOE绕点O逆时针旋转a角得到△FOE，(如图2).

(1)探究AE，与BF的数量关系，并给予证明；

(2)当a=30。时，求证△AOE，为直角三角形.

5CC

图1图2

第二十四章圆

一、圆的相关概念与性质

1、圆

（1）描述性定义：在一个平面内，线段必绕它固定的一个端点0旋转一周，另一个端点A随之旋转

所形成的图形叫做圆，其中固定端点0叫做圆心，04叫做半径.通常用符号。表示圆，记作“0°”，

读作“圆°”.

（2）集合性定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径.

（3）同圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；

（4）同心圆：半径不相等的两个圆叫做同心圆；

（5）等圆：半径相等（能够重合）的两个圆叫做等圆.

2、弦

（1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.

（2）直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍.

（3）弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距.

【注意】直径是最长的弦，圆中，弦长AB的取值范围是：。〈旗＜2r.

3、弧

（1）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A3为端点的圆弧记作钻，读作弧的.

（2）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.

（3）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆.

（4）优弧：大于半圆的弧叫做优弧，用三个大写字母表示，如AC8.

（5）劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧，用两个大写字母表示，如筋.

（6）弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.

【注意】一般A8表示的是劣弧,优弧的表示要用三个字母表示，再在圆弧上任选一个字母，例如AC8.

4、圆心角

圆心角：顶点在圆心，并且两边都和圆相交的角叫做圆心角.

【注意】圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.

5、圆周角

圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.

【注意】任意一条弧所对的圆周角有无数多个，只有一种，他们都相等.任意一条弦所对的圆周角也

有无数个，但是分为两种，他们互为补角.

6、圆的旋转对称性

圆是中心对称图形，对称中心是圆心；圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度角，总能与自身重

合.

7、圆的轴对称性

圆是轴对称图形，经过圆心的任一条直线是它的对称轴.

二、垂径定理

定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

三、弧、弦、圆心角的关系

1、弧、弦、圆心角之间的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其

余各组量分别相等.

【注意】因为一条弦对的弧有两条，所以由弦等得出弧等时，这里的弧等指的是弦对的劣弧与劣弧相

等，优弧与优弧相等。

四、圆周角定理

1、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半.

【注意】在应用定理时，一定要保证“同弧或等弧”的前提。

2、推论：

(1)推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。

(2)推论2：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等.

(3)推论3：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.

五、点与圆的位置关系

1、设°°的半径为「，点尸到圆心。的距离为〃，则有：

(1)点在圆外od>r

(2)点在圆上od=r

(3)点在圆内od<r

2、不在同一直线上的三点确定一个圆.

圆的内接三角形

1、定义：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形.

2、性质

（1）三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距

离相等；

（2）三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角

形却有无数个，这些三角形的外心重合.

OA=OB=OC

【补充】锐角三角形外接圆的圆心在它的内部；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角

形外接圆半径等于斜边的一半）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部.

圆的内接四边形

1、定义：四边形的四个顶点均在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形.

2、性质

（1）圆内接四边形对角互补；

（2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角，即外角等于内对角.

如图：ZB+ZD=180。，ZA+N2=180。，Z4=Z1

A

E

【补充】圆的内接四边形的性质可以由同一条对角线(同一条弦)所对的两种圆周角互补得到.

六、直线和圆的位置关系

设。。的半径为R,圆心。到直线/的距离为“，则根据直线与圆相离、相切、相交的定义，容易得

到：

(1)直线/与。。相离od>R

(2)直线/与。。相切od=R

(3)直线/与。。相交od<R

七、切线的性质和判定

1、切线的性质

(1)定理：圆的切线垂直于过切点的半径.

(2)推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.

(3)推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.

2、切线的判定

(1)定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；

(2)距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；

(3)定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

八、切线长定理

1、切线长的概念

在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.

2、切线长定理

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.

九、三角形的内切圆

1.三角形的内切圆：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内

心，这个三角形叫做圆的外切三角形.

2、多边形的内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多

边形.

三角形内切圆的半径与三边的关系

（1）任意三角形

设。、屋c分别为中/4、ZB、NC的对边，面积为S,则内切圆半径为'-a+6+c.

（2）直角三角形

r=—（a+b—c\

设“、"、c分别为△至C中/4、ZB、NC的对边，若NC=90。，则2、

十、与弧长有关的计算

1、弧长的计算：由于圆周角可看做360°的圆弧，而360。的圆心角所对的弧长就是圆周长C=2位，

所以在半径为R的圆中，废的圆心角所对的弧长/的计算公式：

nuR

180

十一、与扇形有关的面积计算

1、扇形的定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.

2、扇形的周长：在半径为R,圆心角的度数为〃。的扇形中，周长的公式为：

C=2R+/=2R+鬻

3、扇形面积的计算公式:

nuR1

8=------

（1）360

S=LR

（2）2（/为扇形的弧长）

【例1】如图所示，在。。中，AB^2CD,那么（）

A.AB>2CDB.AB<2CD

C.AB=2,CDD.AB与2CZ>的大小关系不能确定

D

【例2】如下中图，•是。O的直径，点。、。在。O上，ZB<9C=110°,AZ>〃OC,贝ljNDC4=（）

A.70°B.60°C.20°D.40°

【例3】在圆柱形油槽内装有一些油.截面如图所示，油面宽为6分米，如果再注入一些油后，油面

上升1分米，油面宽度为8分米，圆柱形油槽直径削为（）

A.6分米B.8分米C.10分米D.12分米

【例4］已知矩形AB。的边48=15,80=20,以点8为圆心的圆，使A,C,°三点至少有一点在B

内，且至少有一点在18外，则8的半径厂的取值范围是（）

A.r>15B.15<r<20

C.15<r<25D.20<r<25

【例5】如图所示，入45。内接于。0,若NQ45=28。，则NC的大小是（）

c

A.56。B.62°c.28。D,32°

【例6】如图，PA、PB是。。的切线，A、B是切点，点C是劣弧AB上的一个动点，若NP=40。，则/ACB

的度数是（）

A.80°B.110°C.120°D.140°

【例7】如图，以点。为圆心的两个同心圆，半径分别为5和3,若大圆的弦与小圆相交，则弦长AB

的取值范围是（）

A.8<AB<10B.AB>8C.8<AB<10D.8<AB<10

【例9】如图，已知PA与圆相切于点A,过点P的割线与弦AC交于点B,与圆相交于点D、E,且PA=PB=BC,

又PD=4,DE=21,贝ijAB=.

【例10］若扇形的圆心角为60。，弧长为2兀，则扇形的半径为

【例11】如下左图，AWC内接于。O,AB=BC,ZABC=12O°,AD为。。的直径，4)=6,

那么50=________

【例12］如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点尸为切点，求证：AP=BP.

【例13】如图，八钻。的两个顶点AC在圆上，顶点A在圆外，gAC分别交圆于区。两点，连结

EC、BD.若△BEC与△BDC的面积相等，试判定A4BC的形状.

【例14］如图所示，已知的为°。的直径，8是弦，且.,8于点石，连接A。、℃、BC,

(1)求证：4CO=ZBCD,

(2)若〃=8cm,CD=24cm,求0O的直径.

，0

【例15］如图，半径为2岔的内有互相垂直的两条弦破8相交于尸点.

(1)设3c的中点为F，连结EP并延长交AD于E,求证：EFLAD.

(2)若钙=8,8=6,求0尸的长.

第二十五章概率初步

一、与概率有关的定义：

1、必然事件：事先能肯定一定发生的事件称为必然事件.

2、不可能事件：事先能肯定一定不发生的事件称为不可能事件.

3、确定事件：事先能肯定它是否发生的事件称为确定事件，必然事件和不可能事件都是确定事件.

4、不确定事件（随机事件）：事先不能肯定它会不会发生的事件称为不确定事件.

5、概率：随机事件A发生的可能性的大小.记为尸（A）.

P（A）=-

设〃为事件A包含的可能结果数，机为所有可能结果总数，则m.

对于任何一个事件A,它的概率尸04）满足04P必然事件的概率是1,

不可能事件的概率是0.

7、（补充）乘法原理：若一件事情需分加个步骤完成，而且每个步骤的概率分别为：P"”，P*

则，完成该事件的概率为：P=P『P2,J".

加法原理：若一件事情需分用种方法完成，而且每种方法的概率分别为：P'MP*则，完成该事

件的概率为：P=Pi+P?++〃加

二、求概率的方法：

1、列表

2、画树状图

3、用频率估计概率

列举法求概率如果在一次试验中，有〃种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件

m

A包含其中机种结果，那么事件A发生的概率为〃.

用树状图法求概当一次试验涉及3个或更多因素（例如从3个口袋中取球）时，列举法就不方

率

P（A）=-

便了，可采用树状图法表示出所有可能的结果，再根据〃计算概率.

利用频率估计概m

一般地，在大量