2022-2023学年北京市八年级上期末数学试卷分类汇编：几何综合（含答案解析）

2022-2023学年北京市八年级上期末数学试卷分类汇编

——几何综合

参考答案与试题解析

一.全等三角形的判定与性质（共3小题）

1.（2022秋•密云区期末）如图，在△ABC中，ZBAC=60°,ZC=40°,/BAC与/ABC

的角平分线A。、BE分别交BC、AC边于点。和点E

（1）求证：△BEC是等腰三角形；

（2）用等式表示线段A3、AC、8。之间的数量关系，并证明.

【分析】（1）利用三角形内角和，角平分线的定义得出/EBC=/C,进而得出硬=EC,

即可得出结论；

（2）延长至尸，使BF=BD,连接。R利用等边对等角和三角形的外角得出/尸=

ZC,再证明方△AC。，根据全等三角形的性质得出AF^AC,再根据线段的和差

即可得出AB+BD=AC.

【解答】（1）证明：在△ABC中，N2AC=60°,NC=40°,

；./ABC=80°,

；BE平分/ABC,

：.ZEBC=40°,

：.ZEBC=ZC,

：.EB=EC,

.,.△BEC是等腰三角形.

（2）解：AB+BD=AC,

证明：延长AB至凡使BF=BD,连接。尸，

A

,.•

尸

F

:・NF=NBDF,

VZABC=ZF+ZBDF=SO°,

A2ZF=80°,

AZF=40°,

VZC=40°,

:.NF=/C,

「A。平分NA4C,

：.ZBAD=ZCADf

9：AD=AD,

：.AAFD=AACD(ASA),

：.AF=AC,

：.AB+BF=AC,

即：AB+BD=AC.

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构

造全等三角形是解题的关键.

2.(2022秋•大兴区期末)已知，在△ABC中，ZACB=90°,AC=BC,点M是AB的中

点，作N0ME=9O°,使得射线与射线ME分别交射线ACCB于点D,E.

(1)如图1,当点O在线段AC上时，线段MD与线段ME的数量关系是MD=ME；

(2)如图2,当点。在线段AC的延长线上时，用等式表示线段CDCE和BC之间的

数量关系并加以证明.

【分析】(1)连接CM,证明△MC£＞之(ASA),由全等三角形的性质可得出MD

=ME；

(2)连接CM,同(1)可证乌(ASA),由全等三角形的性质可得出CD

=BE,则可得出结论.

：△ABC是等腰直角三角形，M是的中点，

:.CM=MB,CMLAB,ZACM=AZACB=45°.

2

；.NACM=/B=45°,

又ZDMC+ZCME=ZBME+ZCME=90°,

：.ZDMC=ZBME,

：AMCDmAMBE(ASA),

：.MD=ME；

故答案为：MD=ME；

(2)CE=CB+CD.

证明：连接CM,

A

'图2

同（1）可知ZACM^ZCBA^45°,

:./DCM=NMBE=135°,

•；/DMC+/DMB=NBME+/DMB=90°,

：.ZCMD=ZBME,

:.AMCD咨AMBE（ASA）,

：.CD=BE,

：.CE=CB+BE=CB+CD.

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助

线构造全等三角形是解本题的关键.

3.（2022秋•通州区期末）如图△ABC中，NA4c=90°,AB^AC,。是AC边上一点，连

接8。，EC_LAC垂足为点C,SLAE=BD,AE交线段8c于点F.

（1）在图1中画出符合题意的图形，并证明CE=AD；

（2）当NC/E=NA£）8时，求证：8。平分/ABC.

图1

【分析】（1）根据证明RtAACE^RtABAD,

（2）由全等三角形的性质得从而有再说明AEL2D即可

证明结论.

【解答】（1）解：如图,

在RtAACE和RtABAD中，

[AE=BD,

lAC=AB，

RtAACE^RtABAZ)(HL),

：.CE=AD；

(2)证明：VRtAACE^RtABAZ),

ZE=ZADB,

■:NCFE=NADB,

；・NCFE=NE,

VZACE+ZZ)AB=180°,

J.CE//AB,

：.ZE=ZFAB,

VZCFE=ZAFB,

：.ZBAF=ZAFB,

・・•/ADB=/E=/EAB,

：.AE±BD,

：.ZEAB+ZABD=90°,ZAFB+ZFBD=90°,

・•・NABD=/FBD,

：.BD平分NA3C

【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质等知识，证明

AE,50是解题的关键.

二.等腰三角形的性质(共1小题)

4.(2022秋•海淀区期末)已知在△ABC中，AB=ACf且N5AC=a.作△AC。，使得AC

CD.

(1)如图1,若/ACO与/8AC互余，则/。CB=工二(用含a的代数式表示)；

—2—

(2)如图2,若/ACO与/8AC互补，过点C作CH_LA。于点H,求证：CH=1-BC；

2

(3)若△ABC与△AC£)的面积相等，则/ACO与/BAC满足什么关系？请直接写出你

的结论.

【分析】(1)由等腰三角形的性质，两角互余的概念，即可求解;

(2)作AE_L8C于E,由两角互补的概念，可以证明△ACHgZXACH(AAS),即可解决

问题;

(3)分两种情况，作DMLAC于M,BN±AC于N,作CF_LAB于F,DG±AC交AC

延长线于G,应用三角形全等，可以解决问题.

【解答】(1)解：：AB=AC,

：.ZABC=ZACB=1.(180°-a)=90°_"1—„IX，

22

/AC。与/BAC互余,

ZACD=90°-a,

ZDCB=ZACB-ZACD=90°--la-(90°-a)=Aa,

22

故答案为aa；

2

(2)证明：作AE_LBC于E,

D

'：AB=AC,AC=AD,

J.ZEAC^^ZBAC,ZACH=XZACD,CE=Uc,

222

ZEAC+ZACH^l.(ZBAC+ZACD),

2

,/NACZ)与NBAC互补，

ZEAC+ZACH=lx180=90°,

2

VZEAC+ZACE=90°,

ZACE=ZACH,

VZAHC^ZA£C=90°,AC^AC,

：.AACH^AACECAAS),

/AC£)=N3AC或NACO与NA4c互补；理由如下：

如图1,作DM±AC于M,BN±AC于N,

,：AABC与△AC。的面积相等，

AACXBN=AACXDM,

22

：.BN=DM,

"：DC=AB,

：.Rt/\DMC^Rt/\BNA(HL),

：.ZACD^ZBAC；

如图2,作CF_LAB于凡DG_LAC交AC延长线于G,

AABC与△AC。的面积相等，

:.1.ACXDG^1ABXCF,

22

：.DG=CF,

VAC=C£>,

.,.RtAACF^RtACDG〈HL）,

：.ZBAC=ZDCG,

'：ZDCG+ZACD=1SO°,

.\ZBAC+ZACD=180°,

/3AC与/AC。互补.

【点评】本题考查等腰三角形的性质，互余，互补的概念，关键是通过辅助线构造全等

三角形.

三.勾股定理（共1小题）

5.（2022秋•延庆区期末）在RtaABC中，ZABC=90°,AB=BC,NABD=cc,点、D为

AC边上的一个动点，连接BD,点A关于直线BD的对称点为点E,直线8DCE交于

点F.

（1）如图1,当a=20°时，根据题意将图形补充完整，并直接写出/BFC的度数；

（2）如图2,当0°<a<45°时，用等式表示线段尸C,EF,BC之间的数量关系，并

证明.

图1图2

【分析】（1）连接即，只要证明△ECB是等腰三角形即可解决问题；

（2）结论：EF2+FC1=2BC1,只要证明/BFC=90°,在RtAABC中，由勾股定理得

AC=V2BC.在Rt^AFC中，由勾股定理得A产+R^=AC2.由此即可解决问题.

【解答】解：（1）如图1,连接历，

A

图1

VA,E关于8。对称，

AZABD=ZEBD=20°,BA=BE=BC.

VZACB=90°,

AZEBC=50°,

：.ZCEB=1(180°-50°)=65°，

2

*.*/CEB=/BFC+/EBD,

：.ZBFC=65°-20°=45°.

・・・N3尸。的度数是45°；

(2)线段/C,EF,8C之间的数量关系是：EF2+FC1=2BC1.

证明：如图，连接ARBE.

图2

・・•点E和点A关于5。对称，

：.AF=EF9AB=BE,NAFB=NEFB,ZABF=ZEBF=a.

VZABC=90°,

：.ZEBC=90°-2a.

'：AB=BC,AB=BE,

：.BC=BE.

：.ZBEC=ZBCE=1.(180°-90°+2a)=45°+a.

2

NBEC=NFBE+/BFE,/FBE=oc,

：.ZBFE^45°.

：.ZAFE=90°.

在Rt^ABC中，由勾股定理得，AC八历BC

在RtZXAPC中，由勾股定理得，AF2+FC2=AC2.

•■-EF2+FC2=（V2BC）2-

：.EF1+FC2=2BC2.

【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关

键是灵活运用所学知识解决问题.

四.三角形综合题（共9小题）

6.（2022秋•平谷区期末）如图，TXABC中，AB^AC,NBAC=a（0°<a<90°）,A。为

BC边上的中线，过点8作8ELAC于E,交于点F,作/A8E的角平分线于

交AC于N.

（1）①补全图形1；

②求NCBE的度数（用含a的式子表示）；

（2）如图2,若/a=45°,猜想Ab与8M的数量关系，并证明你的结论.

【分析】（1）①根据题意画出图形即可；

②由等腰三角形的性质得出AO_LBC,ZDAC=lxBAC=la,证出/ADB=90°,由

22

直角三角形的性质可得出答案；

（2）连接MC,证出/MBC=45°,证明△?!£■尸0ABEC（ASA）,由全等三角形的性质

得出AF=2C,证出△BMC是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出BC=

MBM,则可得出结论.

【解答】解：（1）①补全图形如下:

图1

@-：AB^AC,。为BC的中点，

：.AD±BC,ZDAC=^ZBAC=l.a,

22

AZADB=9Q°,

VBEXAC,

:./AEB=NBEC=9Q°,

：.ZAEB^ZADB=90°,

NAFE=ZBFD,

:.NCBE=NZMC="la；

(2)&BM.

证明：连接MC,

图2

VZBAC=45°,ZAEB=90°,

：.ZBAC=ZABE=45°,

：.AE=EB,

■:BN平分/ABE,

:.NNBE=Z/ABE=225°,

2

VZDAC=AZBAC=22.5°,

2

AZEBC=ZDAC=ZNBE=22.5°,

：.ZMBC=45°,

在和△BEC中,

,ZEAF=ZEBC

■AE=BE，

ZAEF=ZBEC

/.AAEF^^BEC（ASA）,

：.AF=BC,

:。为8C的中点，AD±BC,

：.AD是BC的垂直平分线，

：.BM=MC,

VZMBC=45°,

ABMC是等腰直角三角形，

：.BC=®BM,

：.AF=y/2BM.

【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，线段中垂线的性质，

角平分线的性质，等腰直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的

关键.

7.（2022秋•怀柔区期末）康康同学在研究等边三角形，如图1,已知△ABC是等边三角形，

。为8C边的中点，E为中线上一点（E不可取A点，可取。点），点E关于直线AC

的对称点是点尺连接AREF,BF.

（1）①在图1中补全图形；

②他发现点E在中线上运动时，XkEF是一种特殊三角形.

请你回答ZXAEF是等边三角形；

③利用图1证明这个结论.

（2）康康同学发现当E点在中线上运动时，8尸的长度也有规律的变化.当BF为最

大值时，在图2中画出点R并连接AP,BF,8尸与AC交于点P.

①按要求画出图形；

②在AP上存在一点°,使PQ+QC的值最小，猜想这最小值=（填>,<,=）；

③证明②的结论.

（3）在边AC上存在一点M,同时满足BM-ME的值最大且BM+ME的值最小，则此时

MC与AC的数量关系是MC=1AC.

图1图2备用图

【分析】（1）①由题意补全图形即可；

②由等边三角形的性质和轴对称的性质即可得出结论；

③由等边三角形的性质得4c=30°,再由轴对称的性质得AF^AE,Z

2

CAF=ZCAD=30°,则/£4尸=/。4。+/。4尸=60°,即可得出结论；

（2）①按要求画出图形即可；

②由轴对称的性质和全等三角形的判定与性质即可得出结论；

③作点P关于AF的对称点P,连接CP交AF于点Q,则PQ=P'Q,得尸。+。。的最小

值为CP,再证（SAS）,得CP=BP,即可得出结论；

（3）连接BE并延长交AC于点V,设交AC于点P,由轴对称的在得BP+EP最小，

再由最大，则点M与点P重合，点E在BE上，由等边三角形的性质证明P

为AC的中点，即可得出结论.

【解答】（1）①解：补全图形如图1；

②解：斯是等边三角形，

故答案为：等边；

③证明：・・・△ABC是等边三角形，

：.ZBAC=6Q°,

・・•。为5c边的中点，

ZCA£>=ZBAD=AZBAC=30°,

2

:点E关于直线AC的对称点是点F,

：.AF^AE,ZCAF=ZCAD^3Q°,

：.ZEAF=ZCAD+ZCAF=60°,

...△A所是等边三角形；

（2）①解：按要求画出图形，如图2；

②解：在AF上存在一点。，使尸。+0C的值最小，

猜想尸。+。。的最小值=8尸，

故答案为：=；

③证明：作点尸关于A尸的对称点P',连接CP交AF于点。，

贝IPQ=P'Q，

C.PQ+QC的最小值为CP',

,/AABC是等边三角形，

：.AC=AB,ZABC=ZBAC=60°,

:点P关于AF的对称点为P,,

：.ZP'AF^ZFAC^30°,AP'^AP,

：.ZCAP'=ZP'AF+ZFAC=3Q°+30°=60°,

：.ZCAP'=ZBAP=60°,

.♦.△CAP丝△BAP(SAS),

:.CP'=BP,

...PQ+QC的最小值=BP；

(3)解：如图4,连接BE并延长交AC于点M,设8尸交AC于点P,

•..点E关于直线AC的对称点是点F,

；.BP+EP最小,

；BM-EM最大,

；•点M与点P重合，点E在8尸上，如图5,

,/是等边三角形，

...々=60°,

ZBAF=ZBAC+ZCAF=90°,

ZABF=90°-ZF=90°-60°=30°,

：.ZABF^IZABC,

2

平分/ABC,

；.尸为AC的中点，

.\MC=AAC,

2

故答案为：MC^IAC.

2

图1

【点评】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定

与性质、轴对称的性质以及最大值与最小值等知识，本题综合性强，解题的关键是学会

添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题.

8.（2022秋•丰台区期末）在△A8C中，ZBAC=110°,AC=AB,射线AO,AE的夹角为

55°,过点B作于点直线8尸交AE于点G,连结CG.

（1）如图1,射线A。，AE都在/54C的内部.

①设则NC4G=55°-a（用含有a的式子表示）；

②作点3关于直线的对称点3,，则线段3'G与图1中已有线段CG=B'G的

长度相等；

（2）如图2,射线AE在N8AC的内部，射线在NA4C的外部，其他条件不变，用

等式表示线段BEBG,CG之间的数量关系，并证明.

【分析】(1)①根据/BAQ+/CAE=55°,可求/CAG=55°-a；

②连接A3,证明△CAG0ABNG(&4S),即可得到CG=8'G；

(2)作8点关于的对称点9，连接设4BAF=B，证明△C4G0AB'AG(SAS),

即可得CG=B'G=2BF+BG.

【解答】解：(1)①•.•/a4C=110°,NDAE=55°,

：.ZBAD+ZCAE^55°,

"：ZBAD=a,

；.NCAG=55°-a,

故答案为：55°-a；

②连接AB',

由对称性可知，AB=AB'9ZBAD=ZB'AD,

9：AB=AC,

：.AC=AB\

*：ZDAG=55°,ZBAC=\10°,

ZBAF+ZCAG=ZB'AD+ZGAB',

：.ZCAG=ZGAB\

AACAG^AB'AG(SAS),

:.CG=EG,

故答案为：CG=BG

(2)CG=2BF+BG,理由如下：

作B点关于AD的对称点8,连接AB',

由对称性可知，AB^AB\ZBAD=ZB'AD,

VAB=AC,

：.AC=AB\

设NBAb=0,

*：ZDAG=55°,

：.ZBAG=55°-P，

VZBAC=110°,

：.ZCAG=55°+p,

*：ZGAB'=55°+p,

.'.△CAG^AB'AG(SAS),

JCG=B'G,

•:B'G=2BF+BG,

：.CG=2BF+BG.

c

图1

【点评】本题考查三角形的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定及性质，轴对称的性

质是解题的关键.

9.(2022秋•朝阳区期末)在△ABC中，AC=BC,0°<ZACB<120°,CD是48边的中

线，E是8c边上一点，ZEAB=1ZBCD,AE交CD于点F.

2

(1)如图①，判断△CPE的形状并证明；

(2)如图②，90°,

①补全图形；

②用等式表示CA,CD,CF之间的数量关系并证明.

c

【分析】(1)设/EAB=a,得出/CFE=90°-a,再表示出/B=90°-2a,进而得出

NCFE=/CEF,即可得出结论；

(2)①根据要求补全图形即可；

@2CD=AC+CF；先判断出AB=2CD,BH=EH,再判断出△AEC0/VlEH(A4S),得

出AC=AH,CE=EH,借助(1)的结论，即可得出结论.

【解答】解：(1)尸是等腰三角形，

证明：CD是AB边的中线，

：.CD±AB,

：.ZCDB=ZADC=90°,

设NEAB=a,

；.NCFE=NAFD=90°-ZEAB=90°-a,

,：ZEAB=1ZBCD,

2

：.ZBCD=2ZEAB=2a,

.•.ZB=90°-ZBCD=90°-2a,

：.ZCEF^ZEAB+ZB^a+90°-2a=90°-a,

:./CFE=NCEF,

...△CEF是等腰三角形;

(2)①补全图形如图②所示,

c

®2CD=AC+CF；

证明：如图③，

在RtZkABC中，AC^BC,

.•.NBAC=NB=45°,

过点E作EH±AB于H,

:.NBHE=90°,

:./BEH=45°=/B,

:.BH=EH,

在中，AC=BC,CD是AB边的中线,

：.AB=2CD,ZBCD=1ZACB=45°,

2

/.ZEAB=1ZBCD=22.5°,

2

：.ZEAC=ZBAC-ZEAB=22.5°=/EAB,

VZACB=ZAHE=9Q°,

'：AE^AE,

：.^AEC^^AEH(A4S),

C.AC^AH,CE=EH,

由（1）知，CE=CF,

CF=BH,

：.AB=AH+BH=AC+CF,

：.2CD=AC+CF.

【点评】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的判

定和性质，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键.

10.(2022秋•石景山区期末)如图，在△ABC中，AB=AC,NBAC=30°,点2关于AC

边的对称点为。，连接CD,过点A作且AE=C。，连接CE,DE.

(1)依题意补全图形；

(2)判断和。E的数量关系并证明；

(3)平面内有一点使得DM=OC,EM=EB,求NCDM的度数.

(备用图)

【分析】(1)根据要求作出图形即可；

(2)结论：AB=DE,证明四边形ACDE是平行四边形，推出AC=Z)E,可得结论；

(3)分两种情形：如图2中，当NCQM是钝角.证明△A8E丝△OEMCSSS'),推出/

BAE=NEDM=135°,即可解决问题，如图3中，当/CDM，是锐角时，同法可得/

ADM'=NA4E=135°解决问题.

【解答】解：(1)图形如图1所不：

E

理由：*：AE=CDfAE//CD,

・•・四边形ACDE是平行四边形,

：.AC=DEf

'：AB=AC,

：.AB=DE；

(3)如图2中，当NCDM是钝角.

：.AE=DMf

9

：AB=DEfBE=EM,

△ABE丝/IDEM(SSS),

ZBAE=AEDM,

'：AB=AC,ZBAC=30°,B,。关于AC对称，

：.ZCAD=ZCAB=30°,AC=AD,

：.ZACD^ZADC^15°,

'：AE//CD,

：.ZEAD=ZADC=15°,

ZBAE=30°+30°+75°=135°,

；./EDB=/BAE=135°,

：.ZCDM^36Q°-75°--30°-135°=120°.

如图3中，当/COM'是锐角时，同法可得NADM'=ZBAE=135°,

图3

：.ZCDM'=135°-75°-30°=30°,

综上所述，NCDM的值为120°或30°.

【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质,

平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中

考压轴题.

11.（2022秋•大兴区期末）如图，ZXABC为等边三角形，AC^AD,ZDAC>6Q°,连接

BD交AC于点、E,分别延长ZM,C2交于点尸.

(1)依题意补全图形；

(2)若NQBC=40°,直接写出/BA尸的度数为40°；

(3)用等式表示线段CF,AF,AE之间的数量关系，并证明.

【分析】(1)由题意画出图形即可；

(2)由等边三角形的性质得出NABC=60°,AB^AC,由等腰三角形的性质及三角形

外角的性质可得出答案；

(3)在8c上取点使CM=AE,连接AM,证明△ABEgZkCAM(ASA),由全等三

角形的性质得出证出4歹=桢，则可得出结论.

【解答】解：(1)依题意补全图形如下：

(2):△ABC是等边三角形，

ZABC^60°,AB^AC,

"：AC=AD,

：.AB=AD,

：.NABE=ZADE,

VZDBC=40°,

：.ZABE=ZABC-ZDBC=60°-40°=20°,

：.ZADE=20°,

ZBAF=ZABE+ZADE=40°；

故答案为：40°；

(3)CF=AF+AE.

证明：在2C上取点M,使CM=AE,连接AM,

,/△ABC为等边三角形，

ZACB=ZBAC=60a,AB=AC,

在△ABE和△CAM中，

，AB=AC

'ZBAE=ZACH>

AE=CM

.♦.△ABE丝△CAM（ASA）,

ZABE=ZCAM,

'：AC=AD,

J.AB^AD,

：./ABE=/ADB,

：.ZFAB=ZABD+ADB=2ZABD,

：.ZFAM=ZFAB+ZBAC-ZCAM=2ZABE+60°-ZABE=ZABE+600,

,/ZAMB=ZCAM+ZACB=ZABE+60°,

：.ZFAM^ZAMB,

：.AF=FM,

'：CF=AF+CM,

：.CF=AF+AE.

【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，

等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关

键.

12.（2022秋•通州区期末）已知：线段AB及过点A的直线/.如果线段AC与线段A8关

于直线/对称，连接交直线/于点。，以AC为边作等边△人（7£,使得点E在AC的

下方，作射线BE交直线/于点R连结CF.

（1）根据题意补全图形；

（2）如图，如果NBAO=a（30°<a<60°）,

①120°-a；（用含有a代数式表示）

②用等式表示线段砌，FE与尸C的数量关系，并证明.

【分析】（1）根据要求作出图形即可；

（2）①利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求解即可；

②结论：FA=EF+FC；在物上截取EG,使得FG=EF,连接EG,FC；证明aAEG丝

ACEF（SAS）,推出AG=CF,推出刚=八7+46=/6+。凡可得结论.

【解答】解：（1）图形如图1所不：

图1

(2)①,・,线段AC与线段关于直线/对称，

：.AC=AB,AO垂直平分线段5C,

：.ZCAD=ZBAD=af

:△ACE是等边三角形，

：.AC=AE=CEfZEAC=ZAEC=60°,

：.AB=AE,ZBAE=2a-60°,

：.ZABE=ZAEB=1.(180°-/BAE)=_1(180°-2a+60°)=120°-a.

22

故答案是：120°-a；

②结论：FA=EF+FC；

理由：在用上截取PG,使得FG=EF,连接EG,FC.

VZABE=120°-a,NBAD=a,

：.ZAFB=180°-AABE-ZBAD=6Q°,

,:FG=EF,

：.尸G是等边三角形，

:.EG=EF=FG,ZG£F=60°,

：./AEC=/GEF,

：.NAEC=/GEF,

：.ZAEG=ZCEF,

在△AEG和△<?£：〃中，

，EA=EC

'ZAEG=ZCEF>

EG=EF

.♦.△AEG注△CEP(SAS),

J.AG^CF,

：.FA^FG+AG^FG+CF^EF+FC,

即FA=EF+FC.

【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等

三角形的判定和性质，含30。角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常

用辅助线，构造全等三角形解决问题.

13.(2022秋•房山区期末)AABC是等边三角形，点。是直线AC上一动点，点E在8C

的延长线上，且CE=AD,连接。8,DE.

(1)如图1,若点。是线段AC的中点，则/由组=120°；

(2)当点。在线段AC上时，依题意补全图2,用等式表示。5与DE的数量关系，并

证明;

(3)当点。在线段AC的延长线上时，请直接用等式表示。8与DE的数量关系.

图2备用图

【分析】(1)证明NDBC=/E=30°,可得结论;

(2)结论：DB=DE.如图2中，过点。作。T〃CB交AB于点T.证明△8")丝ZVOCE

(SAS),可得结论;

(3)结论：DB=DE.证明方法类似(2).

【解答】解：(1)如图1中,

图1

「△ABC是等边三角形，AD=DC,

2。平分/ABC,

AZDBC=AZABC=30°,

2

"：AD=CE,AD=DC,

：.CD=CE,

：.ZE=ZCDE,

VZACB=ZE+ZCDE^60°,

.•.Z£=30°,

：.ZBDE^180a-30°-30°=120°.

故答案为：120；

(2)结论：DB=DE.

理由：如图2中，过点。作。T〃C8交A3于点T.

图2

•:DT〃CB,

：.ZATD=ZABC=60°,ZADT=ZACB=60°,

・•.△AOT是等边三角形，

：.AD=DT=AT,ZATO=60°,

9：AD=CE,AB=AC,

:・BT=CD,DT=CE,

*：ZBTD=ZDCE=120°,

:•△BTD"ADCE(SAS),

:・DB=DE；

(3)结论：DB=DE.

理由：如图3中，过点。作OT〃C3交A5的延长线于点T.

TD

图3

,:DT〃CB,

：.ZATD=ZABC=60a,ZADT=ZACB=60°,

△AOT是等边三角形，

：.AD=DT=AT,ZATD=60°,

\'AD=CE,AB=AC,

；.BT=CD,DT=CE,

'：ZBTD=ZDCE=60°,

:.ABTD%ADCE(SAS),

：.DB=DE.

【点评】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质

等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题.

14.(2022秋•昌平区期末)在等边△A8C中，点P,。是边上的两个动点(不与8,C

重合)，点尸在点0的左侧，且AP=AQ.

(1)若N8AP=20°,则乙4。8=80°；

(2)在图1中，求证：BP=CQ；

(3)点〃在边AC上，CM=CQ,点。为A。的中点，连接并延长交48于点N,

连接PM,PN.

①依题意将图2补全；

②猜想△「用/'的形状，并证明.

图1图2

【分析】(1)在△ABP中，ZAPQ=ZB+ZBAP=60°+20°=80°,ffi]AP=AQ,即可

求解；

(2)证明BH=C”，PH=QH,即可求解；

(3)①按要求补全图即可；

②证明△AOVg△。。闻(AAS)、AANM%ABPN(SAS),得到MN=PN,进而求解.

【解答】(1)解：•••△A8C为等边三角形，

则/BAC=/B=NC=60°,

在△AB尸中，ZAPQ^ZB+ZBAP^60°+20°=80°,

'：AP=AQ,

：.ZAQB=ZAPQ=S0Q,

故答案为：80；

(2)证明：过点A作AXL8C于点X,

AABC为等边三角形，则BH=CH,

同理可得：PH=QH,

：.BP=BH-PH=CH-QH=CQ；

(3)解：①连接MO并延长交48于点M连接PM,PN,补全图如下：

②△PMN为等边三角形，理由：

连接CM,"：CM=CQ,ZC=60°,

...△CQM为等边三角形，则CQ=CM=QM,

：.ZB=ZCQM=60°,

：.QM//AB,

：./MQD=ZNAD,/ADN=ZDMQ,

•.,。为AQ的中点，即AZ)=。。，

:.AADN学AQDM(AAS),

J.AN^QM,

设等边三角形ABC的边长为a,等边三角形CMN的边长为6,

则AN=QM=6,

由(2)知，则8P=CQ=b=AM

而BN=AB-AN=a-b,AM=AC-CM=a-b=BN,

在△BNP和△MAN中,

rAM=BN

-ZMAN=ZB=60°，

BP=AN

:.AANM%ABPN(SAS),

:.MN=PN,

同理可得：MN=PM,

：.MN=PN=PM,

：.△PMN为等边三角形.

【点评】本题考查了三角形三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质和判定，等腰

三角形的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键.

五.作图一复杂作图（共1小题）

15.（2022秋•西城区期末）在△ABC中，AB^AC在8C上截取连

接AD.在△ABC的外部作且BE交D4的延长线于点E.

（1）作图与探究：

①小明画出图1并猜想AE=AC同学小亮说“要让你这个结论成立，需要增加条件：Z

ABC=36°

请写出小亮所说的条件；

②小明重新画出图2并猜想△ABE且AD4c.他证明的简要过程如下：

小明的证明：

在△ABE■与AD4c中，

，ZABE=ZDAC

<AB=AC，

ZBAE=ZADC

可得△ABEdZMC.(ASA)

请你判断小明的证明是否正确并说明理由；

(2)证明与拓展：

①借助小明画出的图2证明BE=DE；

②延长4。到使DF=AE,连结8RCF.补全图形，猜想/BFE与NAFC的数量关

系并加以证明.

【分析】(1)①增加/ABC=36°,证明△ABC0ZXABE(ASA),即可的结论成立；

②小明证明时所使用的△ZMC中的三个条件uZDAC,AC,ZADC"不是"两角和它们

的夹边”的关系，所以不能使用“ASA”来证明，进而可以解决问题；

(2)①根据等腰三角形的性质和外角定义即可解决问题；

②根据题意即可补全图形;过点8作BG_LEF于点G,如图4,证明AABE出△CARSAS),

可得/E=/AFC,然后利用线段的和差和等腰三角形的性质即可解决问题.

【解答】(1)解：①增加NABC=36°,

'：AB=AC,

：.ZABC=ZC=36°,

"：BD=AB,

：.ZBAD=ZBDA=1.(180°-36°)=72°,

2

.♦.ND4c=72°-36°=36°,

/.ZABE=ZDAC=36°,

AZABE^ZABC^36°,

VZBAC=ZBAE=180°-2X36°=108°，

'：AB=AB,

：.AABC^AABE(ASA),

：.AC=AE.

增力口NABC=36°时，AE=AC成立.

故答案为：36；

②小明的证明不正确，

他证明时所使用的△D4C中的三个条件“/DAC,AC,/AZJC”不是“两角和它们的夹

边”的关系，

所以不能使用“ASA”来证明.

(2)①证明：如图2,

C

；.N3=NC,

；NDBE=N1+N3,Z4=Z2+ZC,N1=N2,

：.ZDBE=Z4.

:.BE=DE；

②解：补全的图形如图3,

猜想

证明：过点5作尸于点G,如图4,

图4

•：DF=AE,

：.AE+AD=DF+ADf

:・DE=AF,

•；BE=DE,

：.BE=AF.

在△ABE与△CA/中，

'BE=AF

</ABE=NCAF，

AB=CA

AAABE^ACAF（SAS）,

:・/E=ZAFC,

•：BA=BD,BGLEF,

：.DG=AG,

\9DF=AE,

：.DG+DF=AG+AEf

；・FG=EG,

•・・5G，E尸于点G,

:,BE=BF,

：・/BFE=/E,

：.ZBFE=ZAFC.

【点评】本题考查了作图-复杂作图，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得

至！J/VU5E名△CAR

六.作图.轴对称变换（共2小题）

16.（2022秋•门头沟区期末）已知，如图，在△ABC中，A0是N8AC的平分线，且AD=

AB,过点C作A。的垂线，交的延长线于点以直线为对称轴作点A的对称

点P,连接CP

(1)依题意补全图形；

(2)直接写出A8与"的位置关系；

(3)用等式表示线段A8与AB+AC之间的数量关系，并证明.

【分析】(1)交AD的延长线于点以直线C8为对称轴作点A的对称点P,连接CP

即可；

(2)根据角平分线的性质可知/8AO=NCA。，再由轴对称的性质可知

据此可得出结论；

(3)作辅助线，构建等腰三角形，易证△AC8丝△AM,则AC^AF,HC=HF,根据

平行线的性质和等腰三角形的性质得：AG=AH,再由线段的和可得结论.

(2)是/BAC的平分线，

：.ZBAD=ZCAD,

:点A与点P关于直线CH对称,

：.ZP=ZCAD,

：.ZP=ABAD,

：.AB//CP；

(3)线段AH与AB+AC之间的数量关系：2AH=AB+AC.

证明：延长AB和CH交于点R取2尸的中点G,连接GH.

在△ACH与■中，

,ZBAD=ZCAD

-AH=AH，

ZAHF=ZAHC

/.AACH^AAFH(ASA),

：.AC^AF,HC=HF,

：.GH//BC,

"：AB=AD,

：.ZABD^ZADB,

：.ZAGH^ZAHG,

J.AG^AH,

：.AB+AC=AB+AF=2AB+BF=2(AB+BG)=2AG=2AH.

【点评】本题考查了三角形全等的性质和判定、等腰三角形的性质和判定、三角形的中

位线定理等知识，熟练掌握这些性质是本题的关键，构建等腰三角形是解题的关键.

17.（2022秋•北京期末）如图，△ABC中，A8CAC,点。为BC边中点，ZBAD=a.作

点2关于直线AD的对称点8,连接89交A。于点£,过点C作C尸〃AB交直线A3于

点F.

（1）依题意补全图形，并直接写出NAB'E和NAFC的度数（用含a的式子表示）；

（2）用等式表示线段AB,AF,CT之间的数量关系，并证明.

【分析】（1）根据题中步骤画图，根据对称和平行的性质求解;

（2）添加辅助线，证明线段相等，利用等量代换证明.

【解答】解：（1）如图：

:点B关于直线AD的对称点B1,

：.AB=AB',

:ABE经LAB，E,

；./BAF=/BAD=a,ZAEB^ZAEB'=90°,

/.ZAB'£=90°-a,

CF//AB,

：.ZAFC=180°-2a；

(2)AF=AB+CF；

理由：如图：

:点B关于直线AD的对称点B,,D平分BC

:.BD=CD=DB',

：.ZBB'C=90°,

：.ZCB'3=90°-ZAB'B=a,

：.ZB'CF=1800-ZCB'B-ZF=a,

：.ZCB'B=/B'CF,

：.CF=CB',

'：AB=AB',

：.AF=AB'+B'F=AB+CF.

【点评】本题考查了轴对称，掌握轴对称的性质三角形的内角和是解题的关键.

七.几何变换综合题(共2小题)

18.(2022秋•东城区期末)已知：在△ABC中，.点。与点C关于直线

对称，连接AD,CD,CD交直线AB于点E.

(1)当/CA8=60°时，如图1.用等式表示，与AE的数量关系是：AE=^AD

2

BE与AE的数量关系是：BE=3AE；

(2)当NCAB是锐角(NCAB=60°)时，如图2；当NC4B是钝角时，如图3.

在图2,图3中任选一种情况，

①依题意补全图形；

②用等式表示线段AD,AE,BE之间的数量关系，并证明.

图1图2图3