2025年高考数学一轮复习：直线与圆、圆与圆的位置关系【导学案】

第4课时-直线与圆、圆与圆的位置关系

【课标解读】

【课程标准】

1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.

2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.

【核心素养】

数学抽象、数学运算、逻辑推理.

【命题说明】

直线与圆、圆与圆的位置关系是局1考的热点内容之一，其中直线与

考向

圆相切及直线与圆相交是重点考查的内容，多以选择题或填空题

考法

的形式出现.

预计2025年高考直线与圆、圆的位置关系仍会出题，一般在选择

预测

题或填空题中出现.

【必备知识・逐点夯实】

知识梳理•归纳

1.直线与圆的位置关系（圆心到直线的距离为4圆的半径为r）

包直大系相离相切相交

图形

方程观点J<0J=0J>0

量化

几何观点d>rt7=rd<r

微点拨判断直线与圆的位置关系,常用几何法而不用代数法.

微思考当某直线所过定点4在圆上时,该直线与圆有何位置关系?

提示:直线与圆相交或相切.

2.圆与圆的位置关系

设圆01:(x-a1)2+(y-Z?i)2=r^(n>0),

圆Oi:(x-a2)2+(y-^2)2=r|(n>0).

方法

包直大系几何法:圆心距d与代数法:联立两圆方程组公切线条数

n/2的关系成方程组的解的情况

外离冷门+及无解4

外切d=打+-2一组实数解3

相交\ri-r2\<d<r\+r2两组硒的实数解2

内切t/=n-r2(n#2)一组实数解1

内含0<t/<ri-r2(n#2)无解0

3直线被圆截得的弦长

⑴几何法:弦心距d、半径r和弦长邮勺一半构成直角三角形，弦长|力引=2乒灌

(2)代数法:设直线严丘+加与圆％2+/+m+班+b=0相交于点代入消去乂得关

于X的一元二次方程，则+k2y(XM+%N)2-4%M%N.

常用结论

1.圆的切线方程常用结论

⑴过圆x2+y2=r2(r>0)Jz一点P(%o,yo)的圆的切线方程为xax+yoy=r2.

⑵过圆/+产=产外一点Mxojo)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为

xox+yoy^r2.

2.当两圆外切时，两圆有一条内公切线,该公切线垂直于两圆圆心的连线;当两圆

内切时，两圆有一条外公切线,该公切线垂直于两圆圆心的连线.

3.两圆相交时公共弦的性质

22

圆。1：/+72+/)次+百1尹/1=0(*+比-4回>0)与圆C2：x+y+Dvc+E2y+F2

=0(用+号-46>0)相交时：

(1)将两圆方程直接作差，消去x2y得到两圆公共弦所在直线方程；

(2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦；

(3)%2+>^+^ix+Eiy+Fi+l(x2+y2+D2x+E2y+F2)^0Q.0RJW-1)表示过两圆交点的圆系

方程(不包括。2).

基础诊断•自测

1=1A+4-

类型辨析改编勿用局考

题号12,354

1.(思考辨析)(正确的打“化’,错误的打“X”)

(1)若直线与圆有公共点，则直线与圆相交或相切.(、)

提示：(D直线与圆有一个公共点，则直线与圆相切,有两个公共点，则直线与圆相交,

故⑴正确；

(2)若两圆没有公共点，则两圆一定外离.(x)

提示：(2)两圆没有公共点，则两圆外离或内含，故(2)错误；

(3)若两圆外切，则两圆有且只有一个公共点,反之也成立.(x)

提示：(3)若两圆外切，则两圆有且只有一个公共点;若两圆有且只有一个公共点，则

两圆外切或内切，故(3)错误；

(4)若两圆有公共点厕|门寸2%寸1+r2.(4)

提示：(4)若两圆有公共点，则两圆外切或相交或内切，所以n-r21sd勺1+r2,故(4)正确.

2.(选择性必修第一册人AP96例5变条件)圆。1：/+产4y+3=0和圆。2：炉+产16y=0

的位置关系是()

A.外离B.相交C.相切D.内含

【解析】选D.Oi：%2+(y-2)2=l02：N+(y-8)2=64,所以Oi(0,2),n=l,

。2(0,8)/2=8,|。1。21。/(。-。)2+(2-8)2=6,则|3。21=6<2%=7,所以两圆内含

3.(选择性必修第一册人AP93练习T3变条件)直线x-y+3=0被圆Q+2)2+(>2)2=2

截得的弦长等于()

A.yB,V3C.2V3D,V6

【解析】选D.圆心(-2,2)到直线％少+3=0的距离呼，圆的半径片企,解直角三角

形得，半弦长为白，所以弦长等于语

4.(2022・天津高考)若直线x-y+加=0(冽>0)与圆(%-l)2+(y-1>=3相交所得的弦长为m,

贝Um=.

【解析】因为圆心到直线x-y+加=0(加>0)的距离d*,

V乙

又直线与圆相交所得的弦长为"所以加=25四所以"=4(3苧,解得m=2.

答案：2

5.(忽视直线斜率不存在的情形致误)过点。(泥,2)的圆C:x2+(y-l)2=2的切线方程

为.

【解析】由圆。方程知:圆心C(0,l),半径片近；

当过P的直线斜率不存在,即直线方程为

x=V^寸，直线与圆。相切；

设过P点且斜率存在的圆C的切线方程为产2=网%-夜)，即日-广或左+2=0,

则圆心。到直线的距离d金粤=鱼,即仁当所以该切线方程为冬-y*0,

V/c2+l442

即x+2V2y-5V2=0;

综上所述:所求切线方程为产企或x+2自-5&=0.

答案:产鱼或x+2V2y-5V2=0

【核心考点・分类突破】

考点一直线与圆的位置关系

考情提示

直线与圆相切求切线方程以及直线与圆相交求弦长是高考的重点,正确利用圆心

到直线的距离与半径之间的关系是解决此类问题的关键.

角度1直线与圆的位置关系的判断

[例1](1)(一题多法)已知圆C:x2+y2-6x-Sy+2.1=0和直线l:kx-y+3-4k^0的位置关系

是()

A.相交、相切或相离B.相交或相切

C.相交D.相切

【解析】选C.圆。:炉+/_6%&+21=0,即03)2+64)2=22,圆心为。(3,4),半径为r=2.

方法一直线/:丘-y+3-4Q0,即依r-4)-y+3=0,所以直线I过定点5(4,3).

(4一3)2+(3-4)2=2<4,所以点5(4,3)在圆C内，所以直线I与圆C相交

方法二圆心。(3,4)到直线l-.kx-y+3-^Q的距离为

|3fc-4+3-4k|\k+l\H+2k+l

小泛<4,所以直线与圆相交.

Jl+Ny/l+k21+k2

⑵侈选题)(2021・新高考〃卷)已知直线hax+by-r2^与圆。:炉+72=户,点出贴),则

下列说法正确的是()

A.若点4在圆。上厕直线I与圆C相切

B.若点4在圆。内,则直线I与圆C相离

C.若点4在圆。外厕直线I与圆C相离

D.若点A在直线I上,则直线I与圆C相切

【解析】选ABD.圆心C(0,0)到直线I的距离上一,若点4a⑼在圆C上，

俨2

则层+岳=产，所以df〒,厕直线I与圆C相切，故A正确；

Va2+b2

r2

若点力伍乃)在圆C内厕a2+b2<r2,^Xd=——->r,

7CL乙+b乙

则直线/与圆。相离，故B正确；

r2

若点4(好)在圆C外厕4+孑〉户，所以d=<口

7a乙+b乙

则直线I与圆C相交，故C错误；

若点4(9)在直线I上厕苏+炉一4。,即层+小户，所以d=_=『,

7a乙+b乙

则直线I与圆C相切，故D正确.

解题技法

判断直线与圆的位置关系的一般方法

(1)几何法:圆心到直线的距离与圆半径比较大小,特点是计算量较小；

(2)代数法:将直线方程与圆方程联立方程组，通过解的情况判断，适合于判断直线

与圆的位置关系.

角度2弦长问题

[例2](2024•昆明模拟)已知直线产2%与圆(x-2)2+(y-2)2=l交于A,B两点很U

BB|=()

.V52V5„3V5「4芯

A-nB—C—D—

【解析】选B.因为圆的方程为(+2)2+62)2=1,

所以圆心坐标为(2,2),半径-1,

则圆心(2,2)到直线产2%的距离d尚篝等，

所以弦长IZBI=2“2-*=2J1-：-2：.

解题技法

直线和圆相交弦长的两种求法

(1)代数法:将直线和圆的方程联立方程组，根据弦长公式求弦长.

(2)几何法:若弦心距为久圆的半径长为厂,则弦长/=2乒次

根据弦长求直线方程时要注意验证斜率不存在的情况.

角度3切线问题

［例3］已知点。(加+1,2-鱼)，点M(3,l),圆C:(x-l)2+(y-2)M.

(1)求过点P的圆C的切线方程；

【解析】由题意得圆心。(1,2),半径-2.

(1)因为(V2+1-l)2+(2-V2-2)M,

所以点。在圆。上.

所以切线的斜率仁

所以过点P的圆C的切线方程是产(2-夜)=%-(奁+1),即x-y+l-2V2=0.

(2)求过点M的圆。的切线方程，并求出切线长.

【解析】(2)因为(3-1)2+(1-2)2=5>4,所以点M在圆。外部.

当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为尸3,即/3=0.

又点。(1,2)到直线1-3=0的距禺d-3-l=2=r,

即此时满足题意，所以直线％=3是圆的切线.

当切线的斜率存在时，设切线方程为y-l-k(x-3),

即丘-y+1-3仁0,

则圆心C到切线的距离d笔冷尸2,解得仁|

所以切线方程为丁-1=|(%-3),即3x-4y-5=0.

综上可得，过点M的圆C的切线方程为％-3=0或3%-4,5=0.

因为四C|=J(3-1)2+(1-2)2=低

所以过点M的圆C的切线长为0M。|2N2=后=1.

解题技法

1.过一点求圆的切线方程的两种求法

⑴代数法:设切线方程为y-yo=©x-M,与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一

元二次方程,然后令判别式/=0进而求得左注意斜率不存在的情况.

⑵几何法:设切线方程为广川=碓-枇),利用点到直线的距离公式表示出圆心到切

线的距离4然后令d〒，进而求出左注意斜率不存在的情况.

特别地，当点在圆上时,可直接利用圆心与切点的连线的斜率及切线的性质求切

线方程.

2.过圆外一点。引圆的切线，求切线长时，常利用点E圆心、切点构成的直角三

角形求解.

对点训练

1.(2024・南京模拟)直线3x+4v+12=0与圆(x-1尸+8+1)2=9的位置关系是()

A.过圆心B相切

C.相离D.相交但不过圆心

【解析】选D.由题意知，圆01)2+8+1)2=9的圆心为(1,-1)泮径r=3,

则圆心到直线3x+4y+12=0的距离6/-|3xl^gg+12|-y,

因为0<d<r,所以直线与圆相交但不过圆心.

2.过点(年,0)且倾斜角为单勺直线I交圆/+尸6尸0于4与两点，则弦43的长

为()

A.4V2B,2V2C.2V10D,V10

【解析】选A.过点片,0)且倾斜角为争勺直线I的方程为产g(x+f),即岳-歹+1=0,

又圆/+72_6y=0即炉+&_3)2=9,所以圆心(0,3)泮径—3,

则圆心(0,3)到直线I的距离T步1,

所以直线被圆截得的弦43=2原m=4证.

3.(2024・东城模拟)已知点在圆C.x2+y2^m上，过M作圆C的切线/,则I的

倾斜角为()

A.30°B,60°C.1200D.15O0

【解析】选D.由题意得加=1+3=4,

当I的斜率不存在时，此时直线方程为尸1,与圆C:x2+y2-4相交,不符合题意;

当/的斜率存在时，设切线/的方程为y-V3-k(x-l),

则牛2=2,解得仁手,因为I的倾斜角为0。学＜180。,故I的倾斜角为150°.

V1+/C23

【加练备选】

(2024•宜春模拟)已知圆。经过三点0(0,0)M(l,l),5(4,2).

⑴求圆。的方程；

【角华析】(1)设圆。的方程为/+.+m+协+b=0(£)2+工-4Q0),

由圆。经过三点0(0,0)3(1,1),5(4,2),

F=0m=-8

得2+D+E+F=0，解得E=6,

、20+4。+2E+F=0(F=0

所以圆C的方程为x2+y2-8x+6y=0.

(2)经过点M(l,国)的直线I被圆C所截得的弦长为4萌,求直线I的方程.

【解析】(2)由(1)知圆C:(>4)2+(y+3)2=25,即圆心。(4广3),半径为5,

由直线/被圆。所截得的弦长为4号得圆心。到直线I的距离六口蒜屋⑸

而直线I经过点M1T),显然直线I的斜率存在,设直线I的方程为》+4=依口)，

即日-产4-仁0,于是d=巴等堂占/^得仁2或仁

所以直线I的方程为2x-y-6=0或x+2y+7=0.

考点二圆与圆的位置关系

[例4](1)已知圆E的圆心在y轴上,且与圆炉+产2产0的公共弦所在直线的方程为

「后尸0,则圆E的方程为()

A.x2+(y-V3)2=2B.x2+(y+V3)2=2

C.x2+(y-V3)2=3D.x2+(y+V3)2=3

【解析】选C.两圆圆心连线与公共弦垂直，不妨设所求圆心的坐标为(0,0,

半径为r.

又圆/+72_2尸0的圆心为(1,0)泮径为1,故$*=-1,解得a=W.

故所求圆心为(0,遍).点(1,0)到直线％-何=0的距离为田

所以9+产2产0截直线x-V3y=0所得弦长为2口|=8,圆心(0,8)到直线

x-V3y=0的距离为去

所以圆截直线％-何=0所得弦长为2/吗)2=必解得r=V3.

故圆心坐标为(0,遍)泮径为

得圆E的方程为x2+(y-V3)2=3.

(2)已知两圆Ci'.x1+y2-1x+10y-24=0和Ci:x2+y2+2x+2y-8=0.

①判断两圆公切线的条数；

【解析】①两圆的标准方程分别为Ci：(x-l)2+(y+5)M0,

22

C2:(x+l)+(y+l)=10,

则圆G的圆心为(1,-5)泮径n=5V2;

圆。2的圆心为(-1,-1)泮径厂2=VK

又|。1。21=2遍/1+r2=5或+0^/1-r2=5/-的。

所以n-"2<|。1。2|<厂1+r2,所以两圆相交，

所以两圆有两条公切线.

②求公共弦所在的直线方程以及公共弦的长度.

【解析】②将两圆方程相减得公共弦所在直线方程为X-2尹4=0.圆心C1到直线

x-2y+4=0的距离d一上空当图一3相,

V1+(-2/

设公共弦长为2/,由勾股定理得户=摩+/2,

得50=45+匕解得/=逐,所以公共弦长2Z=2V5.

一题多变

［变式1］本例(2)中,若两圆相交于4与两点，不求交点，则线段分别为两

个圆的圆心)的垂直平分线所在的直线方程为.

【解析】由圆G的圆心坐标为(1,-5),圆&的圆心坐标为(-1广1),可知忆02=^=2,

则上片|,。。2的中点坐标为(0,-3),

因此线段CiC2的垂直平分线所在的直线方程为y+3*,即x-2y-6=0.

答案:x-2y-6=0

［变式2］本例(2)中的两圆若相交于两点4优则经过两点4B且圆心在直线x+y^0

上的圆的方程为.

【解析】设所求的圆的方程为x2+y2-2x+10y-24+A(x2+y2+2x+2y-8)=0(#-1),

整理可得(1+⑷/+(1+2)y2+(2A-2)x+(2A+10)y-8A-24=0,

因此圆的圆心坐标为(3-*),由于圆心在X+产0上厕=，(-*)=0,

J■十八1-rA1-rAIT-A

解得%=2

因此所求的圆的方程为x2+y2+6x-6y+^Q.

答案：/+72+6%-6尹8=0

解题技法

圆与圆的位置关系问题的解题策略

(1)判断两圆位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和及差的绝对值的

大小关系判断.

(2)两圆相交时，两圆的公共弦所在直线的方程，可由两圆的方程作差消去％2,产项

得到

⑶求两圆公共弦长,常选其中一圆，由弦心距从半弦长;、半径7,构成直角三角形,

利用勾股定理求解.

考点三与圆有关的最值、范围问题

[例5](2024•沈阳模拟)已知实数x,y满足方程/+产4%+1=0.求：

(1斤的取值范围；

【解析】(1)由圆的一般方程可得:圆心为(2,0),半径r=V3;

因为02+02-4x0+l=l>0,

所以原点在圆x2+y2-4x+l=0的外部，

设汐测区-y=0(#0)与圆%2+^-4%+1=0有公共点，

所以圆心(2,0)到侯尸0(#0)的距离占粤3百，

V/c2+l

解得-bs左令后，

即郅取值范围为卜逐网.

(2)y-x的取值范围；

【解析】(2)设歹-%=私则直线x-y+m^O与圆x2+y2-4x+l=0有公共点，所以圆心(2,0)

至I」x-y+m^Q的距离d"詈ZVX

解得-乃-2s加sV^-2,

即下的取值范围为卜瓜2,悔2]

(3)/+产的取值范围.

【解析】⑶由⑴知:原点在圆％2+/-4%+1=0的外部，

则可设<+刀2=产任>0),则圆好+丁2=户任>0)与圆X2+J?2-4X+1=0有公共点，

因为两圆圆心距d=J(0-2)2+(0-0)2=2,

所以r-V3<2<r+V3,

解得2-V3</<2+V3,

所以7-4V3<r2<7+4V3,

即炉+产的取值范围为[7-4国,7+4V3].

解题技法

关于圆上点(%,仍有关代数式的最值问题的解法

代数式特征求解方法

转化为过点(凡与和点(x,y)的直线的斜率的

x-a

最值

t^ax+by转化为动直线的截距的最值

转化为动点(%,历到定点(见b)的距离平方的

(x-a)2+(y-b)2

最值

对点训练

侈选题)(2024・盐城模拟)已知实数对满足曲线C的方程炉+产2%一2=0,则下列选