2024-2025学年湖南省岳阳市平江县某中学高三（上）入学数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖南省岳阳市平江县颐华高级中学高三（上）入学

皿「，、忆\__IX、/A

数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.集合4={1,2,3,4,5,9},B={对口6⑷，则金(AC8)=()

A.{1,4,9}B.{3,4,9}C.{1,2,3}D.{2,3,5}

2.已知向量出3满足|初=1,|五+2百|=2,且@一2为)1孔贝:)|=().

A.iB.年C.苧D.1

3.已知曲线C：x2+y2=16(y>0),从C上任意一点P向％轴作垂线PP',P'为垂足，则线段PP'的中点M的

轨迹方程为().

2“22”2

7r+>1(>>。)B.rR/(y>0)

C境+9=10>。)D.g+^=l(y>0)

4.函数f(x)=-x2+(ex-e-x)sinx在区间［—2.828］的大致图像为()

5.设函数/（久）=sin（s+今在区间（0,兀）恰有三个极值点、两个零点，则3的取值范围是（）

片）第C.（5|]D.片卷

6.已知正数a,b满足工+£=1,若不等式a+b之一/+4%+18-m对任意实数%恒成立，则实数ni的取

ab

值范围是（）

A.[3,+oo）B.（-8,3]C.（-8,6]D.[6,+oo）

co

7.已知正三棱台ABC—的体积为学AB=6,4出=2,肌4/1与平面ABC所成角的正切值为（）

%+1,%〈0

,_11八，若关于％的方程f2(%)+(TH-4)/(%)+2(2-Tn)=0有五个不同的实数

f1%一二I，%>u

根，则实数小的取值范围是（

A.[1,3)B.(0,2)C.[1,2)D.(0,1)

二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知数列｛5｝的通项公式为厮=（n+2）•切，则下列说法正确的是（

A.%=2是数列｛&J的最小项B.是数列｛册｝的最大项

C.的是数列｛。九｝的最大项D.当n>5时，数列｛。九｝递减

10.点。在△ABC所在的平面内，则以下说法正确的有（）

A.若U1+赤+瓦=0,则点。为△ABC的重心

B若初,嗡一景=苏（赢-翻=°，则点。为△ABC的垂心

C.若（瓦5+OB）-AB=（OB+OCy~BC=0,则点。为△4BC的外心

D.若瓦？==瓦一瓦?，则点。为△力8c的内心

11.设函数/（X）=2/—3a久2+1,则（）

A.当a>1时，/（x）有三个零点

B.当a<0时，x=0是/。）的极大值点

C.存在a,b使得久=b为曲线y=f（久）的对称轴

D.存在a使得点为曲线y=/（乃的对称中心

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知复数z满足（2z+3）i=3z,贝ijz=.

13.在边长为1的正方形A8CD中，点E为线段CD的三等分点，CE=扣已F为线段BE上的动点，G为4F中

点，则赤•前的最小值为.

14.有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6,从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球.记ni表

示前两个球号码的平均数，记"表示前三个球号码的平均数，则机与n差的绝对值不超过：的概率是

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题12分)

为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体

育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：

时间范围

[0,0.5)[0.5,1)[1,1.5)[1.5,2)[2,2.5)

学业成绩

优秀5444231

不优秀1341471374027

(1)该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时的人数约为多少？

(2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长(精确到02).

⑶是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关?

16.(本小题12分)

记AABC的内角2,B,C的对边分别为a,b,c,已知扁=告

⑴若C=与，求B；

(2)求处交的最小值.

17.(本小题12分)

已知四棱锥P—4BCD,AD//BC,AB=BC=1,AD=3,DE=PE=2,E是力。上一点，PE1AD.

P

bC

(1)若尸是PE中点，证明：BF〃平面PCD.

(2)若力B1平面PED,求平面P4B与平面PCD夹角的余弦值.

18.(本小题12分)

已知函数/(久)=(1—ax)ln(l+x)—x.

(1)当a=-2时，求/'(x)的极值；

(2)当x>0时，/(%)>0,求a的取值范围.

19.(本小题12分)

已知双曲线C：/一y2=爪>0),点P](5,4)在C上，k为常数，0<k<l,按照如下方式依次构点

40=2,3,...),过B1T作斜率为k的直线与C的左支交于点Qn_i，令4为册_1关于y轴的对称点，记心的坐

标为(%n，%)

(1)若k=",求七，月；

(2)证明：数列口”-%｝是公比为岩的等比数列；

L—K

(3)设立为△匕Pn+iPn+2的面积，证明：对任意的正整数n，Sn=sn+1.

参考答案

l.D

2.5

3.2

4.B

5.C

6.D

7.B

8.C

9.BCD

10.AC

11.AD

9.

12--f

1313

13--

18

141

42+3+1+137+40+27

15.解：(1)580人中体育锻炼时长大于1小时人数占比P=25

58058,

该地区29000名初中学生中体育锻炼时长大于1小时的人数约为29000x||=12500；

(2)该地区初中学生锻炼平均时长约为

1x[1|X0.5X(5+134)+l+oSX(4+147)+1+15X(42+137)+15+2X(3+40)+2+25x(1+

27)］吗。0.9%；

(3)由题意可得2x2列联表,

口，2)其他总数

优秀455095

不优秀177308485

①提出零假设Ho：成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时无关,

②确定显著性水平a=0.05,P(72>3,841)«0.05,

7

⑸y2_______580x(45x308—177x5°)__________〜

J4—(45+50)x(177+308)x(45+177)x(50+308)〜'

④否定零假设，即学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关.

、(即x.xmC0Si4sin2B2sinBcos5sinB

16.解：(1)因为「=—―=——k=-5，

''1+7siTnAl+7coTs2B2cos,BcosB

即sinB=cosAcosB—sinAsinB=cosQ4+8)=—cost'=

而O<8<3所以8=3

L6

(2)由(1)知，sinB=-cosC>0,所以］<C<?r,0<B<|,

而sinB=—cost=sin(C—1)，

所以C=(+B,即有力='—2B,所以Be(0,*C6&引，

grpta2+Z)2_sin2A+sin2B_cos22B+l—cos2B

c2si712ccos2B

2

CSBB广孙冲

=(2°2-)2=COS2+_5>2/8-5=4A<2-5.

cos^B4Bcos^B

当且仅当4cos2^=且COS,BG1),即COS2B=苧时取等号，

COS"\Z7L

所以包要的最小值为-5.

CL

17.解：⑴

取PD的中点为S,接SF,SC,贝|SF〃ED,SF=尹-1。=1,

而ED〃BC,ED=2BC,故SF〃BC,SF=BC,故四边形SF8C为平行四边形,

故BF“SC,而BFC平面PCD,SCu平面PCD,

所以BF〃平面PCD.

(2)

因为ED=2,故AE=1,i^AE//BC,AE=BC,

故四边形AECB为平行四边形，故CE//4B,所以CE1平面P4D,

而PE,EDu平面P力D,^CE1PE,CE1ED,而PE1ED,

故建立如图所示的空间直角坐标系，

购4(0,-1,0),B(l,-1,0),C(l,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2),

贝同=(0,—1,—2),而=(1,-1,-2),PC=(1,0,—2),4=(0,2,—2),

设平面P4B的法向量为沅=(x,y,z),

则由也”=0可得已;2z；0取记=(0,一2,1),

(m-PB=0kx-y-2z=0

设平面PCD的法向量为元=(a,6,c),

则耶•里=0可得得J2：=0取元=(),

<-n-PD=0(2b-2c=0

/—>—、

4故4rcos<m,"=郦m-n祠=后—1诉=一V~3,0

故平面P4B与平面PCD夹角的余弦值为尊

18.解：(1)当a=-2时，f(%)=(1+2x)ln(l+%)-%,

故(Q)=21n(l+尤)+黑—1=21n(l+%)一击+1,

因为y=21n(l+x),y=一击+1在(一1,+8)上为增函数，

故尸(%)在(—1,+8)上为增函数，而((0)=0,

故当一1<x<0时,f'(x)<0,当x>0时，-(%)>0,

故/(%)在x=。处取极小值且极小值为/(0)=0,无极大值.

(2)f(%)=—aln(l+久)+;—1=_aln(l+x)—,x>0,

设s(久)=—aln(l+x)—,x>0,

人」S^x)=--西淳=出寿一=--(i+工)2'

当。〈一，时，s'(x)>0,故s(%)在(0,+8)上为增函数，

故s(%)>s(0)=0,即—(%)>0,

所以/(%)在［o,+8)上为增函数，故/(%)>f(o)=o.

当—2<。<0时，当0V<V—2°+工时,s^x)<0,

2a

故s(x)在(0,-券)上为减函数，故在(0,-誓)上s(x)<s(0),

即在(0尸等)上尸⑺<0即f(x)为减函数,

故在(0,—亨)上/(无)</(0)=0,不合题意，舍.

当Q>0,此时s'(%)<0在(0,+8)上恒成立,

同理可得在(0,+8)上f(%)v/(0)=0恒成立，不合题意，舍;

1

综上，ci<-

19廨：(1)点尸式5,4)在双曲线C：%2-y2=m(m>0)±,

771=52—42=9,

直线PiQi的方程为y-4=|(x-5),即久-2y+3=0

联立tm，解瞰二3或仁：(舍),

则点Qi(—3,0),点P2(3,0),

%2=3/2=5

(2)%(/,%)关于丫轴的对称点是Qn-1(-Xn，%)，

而吃.1(%1-1，%1-1)，而P„T，Qn-1都在同一条斜率为左的直线上,

•••%n_iHfn%=k,

xnxn—1

.n2一谥=9,①

•：PnT，Qn-1都在双曲线上二.2

Xn，-1一a1=9,

①一②nOn一久n-l)On+^n-1)=(%一为-1)(%+7n-l)>

而%-yn-i=—kQn+xn-i)③，Xn-xn_r=-k(yn+yn-i)④,

®-③今引一%一(Xn-1-7n-l)=k(Kn—%)+k(xn_r-打一力

xnyn_i+k

(1-k)(xn-yn)=(1+/c)(xn-i-yn-i)>x

n-l-yn-l1-k

即数列｛%—%｝是公比为岩的等比数歹!I•

(3)要证=S九+1，即证S^p71Pzi+]Pn+2=^△pn+1pn+2pn+3»等价于P九+iP?i+2//分P九+3,

记力=---