重庆市西南大学附属中学2023届高三下学期名校联盟诊断性测试数学试题 含解析

2023年名校联盟诊断性测试数学（满分：150分；考试时间：120分钟）2023年2月注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上．2．答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整．3．考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）．一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若，则（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】【分析】将指数式化成对数式，再利用换底公式和对数的运算性质计算即得.【详解】由化成对数式，可得，则.故选：D.2.已知命题．若命题P是假命题，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据基本不等式计算的最小值，再根据命题的真假计算即可.【详解】易知，因为命题P假命题，所以.故选：C3.已知各项均为正数的等比数列满足：，则（）A.60 B.32 C.15 D.20【答案】A【解析】【分析】设等比数列an的公比为，由两个等式求得，再利用等比数列部分和的特征，将拆项分组求和.【详解】设等比数列an的公比为.由，可得，因，解得.则.故选：A.4.已知圆台的上、下底面中心分别为，，过直线的截面是上、下底边边长分别为2和4，且高为的等腰梯形，则该圆台的侧面积为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据题意求得母线长，利用侧面积公式计算可求出答案．【详解】由题意，圆台的上下底面半径分别为1和2，且截面等腰梯形的腰是该圆台的母线，则母线长=2，则该圆台的侧面积.故选C【点睛】本小题考查圆台的侧面积的求法，考查运算求解能力，属于基础题．5.如图，在四边形中，，为线段中点，，则（）A. B.15 C.18 D.9【答案】D【解析】【分析】在中，由余弦定理求出长，由勾股定理可得直角三形，由求出长，再利用数量积定义即可求.【详解】在中，已知，由余弦定理可得，则.由，可得.故在中，为线段中点，则，又，则，且.故.故选：D.6.一医疗团队为研究治疗某种疾病的新药能否有助于7天内治愈该疾病病人，在已患病的500例病人中，随机分为两组，实验组服用该新药，对照组不服用该药，在其他治疗措施相同的情况下，统计7天内痊愈病例数，得到如下数据：7天内未痊愈7天内痊愈对照组30170实验组20280根据表格数据，下列结论正确的是（）参考公式及数据：，其中．0.100.0100.0012.7066.63510.828A.在犯错误的概率不大于0.01的前提下，可以认为服用该新药与7天内治愈病人无关B.在犯错误的概率不大于0.001的前提下，可以认为服用该新药与7天内治愈病人无关C.根据小概率值的独立性检验，可以推断服用该新药与7天内治愈病人有关D.根据小概率值的独立性检验，可以推断服用该新药与7天内治愈病人有关【答案】C【解析】【分析】求出卡方值，和6.635，10.828比较即可根据小概率值的独立性检验判断.【详解】，所以根据小概率值的独立性检验，有充分证据推断服用该新药对7天内治愈病人有影响，因此在犯错误的概率不大于0.01的前提下，可以推断服用该新药与7天内治愈病人有关，故C正确，A错误.，所以根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断服用该新药对7天内治愈病人有关，因此在犯错误的概率不大于0.001的前提下，不可以推断服用该新药与7天内治愈病人有关，故BD错误.故选：C.7.定义在R上的函数满足：①是奇函数；②与有且仅有三个不同的公共点，则（）A. B. C.3 D.6【答案】A【解析】【分析】分别求出函数关于对称，得出自变量及函数值的和即可.【详解】因为是奇函数，所以关于对称，可得，所以fx关于对称，直线也关于对称，所以三个不同的公共点也关于对称，则，且,所以.故选：A.8.如图所示，棱长为1的正方体中，分别是棱上的动点，且，则三棱锥体积的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先设边长建系设出点的坐标，再求出点到面的距离得出三棱锥的高，进而得出三棱锥的体积，最后应用导数得出体积的最大值.【详解】设，以分别为轴，建立空间直角坐标系，则，，设平面的法向量为n=x,y,z，又，则，即，令x=1，则，所以，又，到平面的距离，，令单调递增，当时，.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是，建立空间直角坐标系，利用空间向量法得到所求体积的表达式，从而得解.二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知复数（i为虚数单位），则下列结论正确的是（）A.是纯虚数 B.C.的虚部为 D.在复平面内对应的点位于第四象限【答案】AB【解析】【分析】利用复数、共轭复数的概念，复数的除法运算及几何意义一一判定选项即可.【详解】由纯虚数的概念，易知A正确；由共轭复数的概念，易知，即B正确；由，虚部为，故C错误；其对应的点位于第二象限，故D错误.故选：AB10.已知圆与圆交于两点，P是圆上的一动点，则（）A.直线的方程是 B.线段中垂线方程为C.线段的长度是 D.点P到直线的距离的最大值为【答案】ABD【解析】【分析】对于A，两圆方程相减即可得解；对于B，先由垂直得线段中垂线方程，接着由线段中垂线过圆心即可求解方程；对于C，先由点到直线距离公式得圆心到直线的距离，求出圆半径为，再由计算即可得解；对于D，求出圆心到直线的距离和圆半径即可得解.【详解】对于A，由，所以直线的方程是，故A正确；对于B，因为直线的方程是，所以线段中垂线方程可设为，圆化为标准式为，所以由圆的对称性可知线段中垂线过圆心，故，所以线段中垂线方程为，故B正确；对于C，圆心到直线的距离是，又圆，故圆半径为，所以线段的长度是，故C错误；对于D，圆化为标准式得，所以圆心，半径为，所以圆心到直线的距离是，所以圆上的点P到到直线的距离的最大值为，故D正确.故选：ABD.11.某人买一辆15万元的新车，购买当天支付3万元首付，剩余向银行贷款，月利率，分12个月还清（每月购买车的那一天分期还款）．有两种金融方案：等额本金还款，将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率：等额本息还款，每一期偿还同等数额的本息和，利息以复利计算．下列说法正确的是（）（参考：：计算结果精确到分）A.等额本息方案，每月还款金额为10196.07元B.等额本金方案，最后一个月还款金额为10030元C.等额本金方案，所有的利息和为2340元D.等额本金方案比等额本息方案还款利息更少，所以等额本金方案优于等额本息方案【答案】ABC【解析】【分析】对于BC，根据等额本金的还款方案分析结合等差数列求和公式计算即可，对于A，等额本息的还款方案分析结合等比数列的判定及求和公式计算判断，对于D，通过比较两种还款方案的优劣进行判断.【详解】对于A，设第个月贷款利息为，偿还本金为，则，，则，，则，同理得，，……，，所以数列是以为公比的递增等比数列，则有，得，所以每月还款的本息和为，所以A正确;对于B，倒数第二个月还款后，剩余本金10000，一个月利息为30元，本息和应为10030元，故B正确；对于C，利息和为（元），故C正确；对于D，由A知等额本息还款利息和为，两种贷款方案各有优劣，比等额本金高，但等额本金方案起初还款金额高，还款压力大，还款金额逐年递减；等额本息每月还款金额相同，低于等额本金方案前半段时间还款额，高于后半段时间还款额；还有通货膨胀等诸多经济因素影响两种方案的收益，故不能简单认为某种贷款方案优于另一种方案，故D错误.故选：ABC.12.设，则（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根据题意，分别构造函数，，，利用导数分析其单调性，比较大小进而求解即可.【详解】，设，所以，所以函数在上单调递减，所以，所以时，，所以，即，所以，所以,A正确；令，则，当时，，函数在单调递增，所以，即，,B错误；令，则,单调递增，当时，，函数单调递减，所以单调递减,,即，,C正确；令，则，所以在上单调递减，所以，即，,D正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：比较大小问题，根据结构特征构造函数，利用导数分析单调性，进而判断大小.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，第16题第一空2分，第二空3分，共20分．13.的展开式中的系数为_______．【答案】9【解析】【分析】由，根据单项式和多项式的乘法法则结合二项式定理求展开式中的系数.【详解】，的展开式中含的项为，其系数为，的展开式中含的项为，其系数为，的展开式中，的系数为.故答案为：9.14.已知点是角的终边上一点，则_______．【答案】##【解析】【分析】根据三角函数的定义式求得角的正余弦，利用同角的三角函数关系式和二倍角公式化简所求式，代入计算即得.【详解】由题意，，因.故答案为：.15.已知椭圆的右焦点和上顶点分别为F和A，连接并延长交椭圆C于B，若，则椭圆C的离心率为_______．【答案】【解析】【分析】先根据面积比例关系得出点B的横坐标，点在直线AF上得出B的坐标，最后应用点B在椭圆上得出得出离心率.【详解】因为，所以，所以，设，设直线，点在直线上，所以，点B在椭圆上，可得，所以，即得.故答案为:.16.在中，内角所对的边分别为，且，是边上的点，，则_______，的面积为_______．【答案】①.②.##【解析】【分析】先由正弦定理化边为角求得角，在几个三角形中分别利用余弦定理建立求解关于的方程组，然后由三角形面积即可求.【详解】因为，由正弦定理可得，，化简得，由，，得，由，则；在中，由余弦定理可得，且，则，化简得，在中，由余弦定理可得，且，则①，同理，在中，可得②由，得，①②得，，与联立解得，故的面积为.故答案为：；.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.将函数的图象向右平移个单位得到的图象，其中．（1）求在上的值域；（2）若对恒成立，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先化简解析式，利用整体法并结合正弦型函数的性质求出值域即可；（2）先求出得右移个单位后函数的解析式，再分析得为的最大值，再结合正弦函数的最值得到方程，解出即可.【小问1详解】∵当，，所以则值域为.【小问2详解】由题意得，因为对恒成立，则为的最大值，则，，则，，∵，∴.18.已知数列和等比数列，，若的最大项和最小项分别是中的和的值．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）结合函数的单调性得到数列an的最大项和最小项，解出，可得等比数列bn（2）用错位相减法求数列的前n项和【小问1详解】由题意，，结合函数的单调性，可知，所以数列an中的最大项为，最小项为，所以，即，所以等比数列bn的公比，所以【小问2详解】，，，两式相减得：，故.19.某综艺节目，5位嘉宾轮流参与抽奖．四个一模一样的箱子，只有一个箱子有奖品．抽奖规则为主持人请嘉宾在四个箱子中选择一个，若奖品在此箱子里，则奖品由嘉宾获得．前一位嘉宾抽奖结束后，主持人重新布置箱子，邀请下一位嘉宾抽奖．（1）记X为5位嘉宾中的中奖人数，求X的分布列，均值和方差；（2）主持人宣布游戏升级，新的抽奖规则是：当嘉宾选好一个箱子后，主持人（他知道哪个箱子有奖品）会打开一个嘉宾没有选择的空箱子给嘉宾看，此后嘉宾可以选择换一个箱子或者不换．嘉宾做出选择后，主持人再打开嘉宾最终选中的箱子，揭晓嘉宾是否中奖．嘉宾的哪种决策会有更大可能抽中奖品？请说明理由．【答案】（1）分布列见解析，均值为，方差为；（2）嘉宾换箱子会有更大可能抽中奖品，理由见解析.【解析】【分析】（1）由题意可知服从二项分布，利用二项分布的概率公式求出对应的概率，列出分布列，求出数学期望和方差即可；（2）先求出嘉宾不换箱子的中奖概率，再求出箱子的中奖概率，比大小，即可下结论.【小问1详解】由题意知，每位嘉宾中奖的概率为，不中奖的概率为，则服从二项分布，所以，，，所以的分布列为：012345数学期望为，方差为；【小问2详解】不换箱子时中奖概率：嘉宾第一次选择箱子时，中奖概率为；换箱子时中奖概率：设4个箱子分别为，有奖品的箱子为，当嘉宾先选箱，主持人会在箱中打开一个空箱子，此时嘉宾换箱子后，就选不中奖品，其概率为0；当嘉宾先选或或箱子，概率为，此时主持人打开另一个空箱子，嘉宾换箱子后一定能选中有奖品的箱，其概率为，所以换箱子的中奖概率为.所以，故嘉宾换箱子会有更大可能抽中奖品.20.已知抛物线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为Q，且Q点的横坐标为3．（1）求抛物线E的方程；（2）过点的直线l与抛物线E相交于两点，B关于x轴的对称点为，求证：直线必过定点．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由双曲线求其渐近线方程，求出点的坐标，由此可求抛物线方程；（2）联立直线的方程与抛物线方程可得关于x的一元二次方程，设Ax1,y1，Bx2,y2，，根据韦达定理求出，求出直线的方程并令，求出x并逐步化简可得，则直线【小问1详解】设点的坐标为，因为点在第一象限，所以，双曲线的渐近线方程为，因为点在双曲线的渐近线上，所以，所以点的坐标为，又点在抛物线上，所以，所以，故抛物线的标准方程为：；【小问2详解】设直线的方程为，联立，消得，，方程的判别式，即，设Ax1,y1因为点A、B在第一象限，所以，故，设B关于x轴的对称点为，则直线的方程为，令得：．直线过定点．【点睛】方法点睛：联立直线的方程与抛物线方程可得关于x的一元二次方程，设Ax1,y1，Bx2,y2，，根据韦达定理求出，求出直线的方程并令，求出x并逐步化简可得，则直线21.如图，四棱锥中，四边形是菱形，平面，分别是线段和上的动点，且．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值的最大值；（3）若直线与线段交于M点，于点H，求线段长的最小值．【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）根据条件建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量证明线面关系即可；（2）利用空间向量研究线面夹角，结合二次函数的性质计算最大值即可；（3）设，利用空间向量基本定理及三点共线的充要条件得出，利用向量模长公式及导数研究函数的单调性计算最值即可.【小问1详解】由于四边形是菱形，且，取中点，则，又平面，