【高效备课】北师大版八(上) 第7章 平行线的证明 5 三角形内角和定理 第2课时 与三角形外角有关的定理 教案

【高效备课】北师大版八(上)第7章平行线的证明5三角形内角和定理第2课时与三角形外角有关的定理教案课题：科目：班级：课时：计划1课时教师：单位：一、教材分析北师大版八年级上册第7章“平行线的证明”第5节“三角形内角和定理”第2课时“与三角形外角有关的定理”，主要介绍了三角形外角的性质及其与内角的关系。本节课的内容紧接前文，通过引导学生探究三角形外角与内角之间的联系，加深对三角形内角和定理的理解，培养学生的逻辑思维和空间想象能力。本节课的教学内容与日常生活紧密相关，有助于提高学生的学习兴趣。二、核心素养目标分析本节课旨在发展学生的逻辑思维和几何直观能力，通过探究三角形外角与内角的关系，培养学生的空间观念和推理能力。学生将在问题解决过程中，运用数学知识进行观察、分析、抽象和概括，发展数学建模素养。同时，通过小组合作和交流，提高学生的合作意识和交流表达能力。三、学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：

学生已经学习了三角形的定义、性质以及三角形的内角和定理。他们了解如何使用角度量具测量角度，并能通过几何图形的性质进行基本的推理。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：

学生对于探索几何图形的内在关系表现出浓厚兴趣，他们具备一定的逻辑思维能力和空间想象力。在课堂上，学生倾向于通过直观的例子和动手操作来理解抽象概念，喜欢在小组讨论中交流想法，通过合作解决问题。

3.学生可能遇到的困难和挑战：

学生可能在理解三角形外角定理的具体含义和证明过程中遇到困难，特别是在如何将外角与内角联系起来以及如何运用这些定理解决实际问题时。此外，对于一些空间想象力较弱的学生来说，理解外角与内角的关系可能会是一个挑战。四、教学资源-北师大版八年级上册数学教材

-多媒体教学设备（投影仪、电脑）

-三角板、直尺、圆规等绘图工具

-教学PPT

-小组讨论记录表

-数学练习题及答案

-教学参考书五、教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：

-发布预习任务：通过班级微信群，发布预习资料，包括三角形内角和定理的复习资料和三角形外角定理的引入案例。

-设计预习问题：设计问题如“三角形外角与内角有什么关系？”引导学生思考。

-监控预习进度：通过学生提交的预习笔记和问题，了解学生的预习情况。

学生活动：

-自主阅读预习资料：学生阅读资料，理解三角形内角和定理，并尝试理解外角定理。

-思考预习问题：学生针对问题进行思考，尝试用自己的语言描述外角定理。

-提交预习成果：学生将预习笔记和问题提交至微信群。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：鼓励学生独立思考，发展逻辑推理能力。

-信息技术手段：使用微信群进行资源分享和进度监控。

2.课中强化技能

教师活动：

-导入新课：通过一个具体的三角形外角实例，引导学生发现外角与内角的关系。

-讲解知识点：详细讲解三角形外角定理，并通过几何画板演示定理的正确性。

-组织课堂活动：分组讨论三角形外角定理的应用，每组设计一个证明过程。

-解答疑问：对学生提出的问题进行解答，确保学生对定理的理解。

学生活动：

-听讲并思考：学生听讲并思考定理的证明方法。

-参与课堂活动：学生分组讨论，合作完成定理的证明过程。

-提问与讨论：学生提出自己的疑问，并参与课堂讨论。

教学方法/手段/资源：

-讲授法：讲解三角形外角定理的理论基础。

-实践活动法：通过分组讨论，实践定理的证明过程。

-合作学习法：促进学生之间的交流和合作。

3.课后拓展应用

教师活动：

-布置作业：设计针对性的练习题，巩固三角形外角定理的应用。

-提供拓展资源：提供相关的数学网站和视频，帮助学生深入学习。

-反馈作业情况：批改作业，针对学生的错误给予指导。

学生活动：

-完成作业：学生独立完成作业，巩固所学知识。

-拓展学习：利用提供的资源，进一步探索三角形外角定理的更多应用。

-反思总结：学生反思学习过程中的困难和收获，总结学习经验。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：鼓励学生自主完成作业和拓展学习。

-反思总结法：引导学生对学习过程进行反思，提升学习效果。

本节课的重难点在于理解三角形外角定理及其证明过程，以及如何将定理应用于解决实际问题。通过课前预习、课堂讨论和实践、以及课后拓展，学生能够逐步掌握这些重点内容。六、知识点梳理1.三角形的定义与性质

-三角形的分类：按边分类（不等边三角形、等腰三角形、等边三角形），按角分类（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形）。

-三角形的性质：三角形内角和为180度，三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

2.三角形的内角和定理

-内角和定理：任意三角形的内角和等于180度。

-推论：如果已知三角形两个内角的度数，可以求出第三个内角的度数。

3.三角形外角的定义与性质

-外角的定义：三角形的一个内角的邻补角称为这个内角的外角。

-外角的性质：三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和。

4.与三角形外角有关的定理

-定理一：三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和。

-定理二：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。

5.三角形外角定理的证明

-通过构造平行线，利用同位角、内错角和同旁内角的性质来证明外角定理。

-通过作辅助线，将问题转化为已知的内角和定理或平行线性质来证明。

6.三角形外角定理的应用

-解决实际问题：利用外角定理来求解三角形中未知角的度数。

-解决几何问题：在几何证明中，外角定理可以帮助简化证明过程，找到证明的突破口。

7.几何图形的识别与作图

-识别三角形类型：通过边长关系和角度关系判断三角形的类型。

-作图技巧：使用三角板、直尺和圆规来作图，包括画三角形、标出角度、作平行线和垂线等。

8.几何证明的基本方法

-直接证明：通过逻辑推理直接证明结论。

-反证法：假设结论不成立，通过推导出矛盾来证明结论成立。

-归纳法：从特殊到一般，通过归纳总结出结论。

9.几何问题的解决策略

-分析问题：理解问题的条件和要求，确定解题方向。

-构造图形：根据问题条件，构造出有助于解决问题的几何图形。

-应用定理：在证明过程中，合理运用几何定理和性质。

-检验结果：检查证明过程和结论的正确性。

10.数学思维能力的培养

-观察与猜想：通过观察几何图形，提出猜想，并尝试证明。

-分析与综合：分析问题，综合运用所学知识解决问题。

-推理与证明：通过逻辑推理，证明几何定理和性质。

-反思与总结：对解题过程进行反思，总结解题经验和策略。七、教学评价与反馈1.课堂表现：

-学生参与度：观察学生在课堂上的积极参与情况，包括提问、回答问题和参与小组讨论的频率和质量。

-学生理解度：通过学生的反应和提问，评估学生对三角形外角定理的理解程度。

-学生注意力：记录学生在课堂上的注意力集中情况，以及是否有分心或干扰行为。

2.小组讨论成果展示：

-讨论内容：评估小组讨论的内容是否围绕三角形外角定理的核心概念展开。

-讨论深度：观察小组成员是否能够深入探讨定理的应用和证明方法。

-展示效果：评价小组代表的展示是否清晰、有条理，能否准确表达小组的观点和结论。

3.随堂测试：

-知识掌握：通过随堂测试，检测学生对三角形外角定理和相关概念的记忆和理解程度。

-应用能力：测试题目设计要能够考察学生将定理应用于解决实际问题的能力。

-测试反馈：及时收集测试结果，分析学生的错误类型和原因，为后续教学提供调整依据。

4.作业完成情况：

-作业质量：评估学生作业的完成质量和准确性，包括解题步骤是否完整，答案是否正确。

-作业态度：观察学生对待作业的态度，是否认真对待，按时提交。

-作业反馈：针对作业中的常见错误，给予具体的指导和反馈。

5.教师评价与反馈：

-个体评价：针对每个学生的课堂表现、小组讨论和作业完成情况，给予个性化的评价和反馈。

-整体评价：总结全班学生在本节课的整体表现，指出班级的优点和需要改进的地方。

-改进建议：根据评价结果，提出具体的教学改进建议，包括教学方法、教学内容的调整和学生学习习惯的培养。

6.学生自我评价：

-自我反思：鼓励学生对自己的学习过程进行自我反思，包括对定理的理解、作业的完成和课堂表现的评估。

-自我改进：学生根据自我反思的结果，提出改进学习方法和提高学习效率的计划。

7.家长反馈：

-家长意见：收集家长对学生在家庭学习中遇到的问题和困难的反馈。

-家校合作：根据家长反馈，与家长合作，共同促进学生的学习进步。八、典型例题讲解例题1：在三角形ABC中，已知∠A=50°，∠B=60°，求∠ACB的度数。

解答：根据三角形内角和定理，三角形ABC的三个内角之和为180°。因此，∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-50°-60°=70°。

例题2：在三角形ABC中，∠ACB是直角，∠BAC的外角是∠ACD，若∠BAC=30°，求∠ACD的度数。

解答：由于∠ACB是直角，所以∠ACB=90°。根据外角定理，∠ACD=∠ACB+∠ABC=90°+∠ABC。因为∠BAC和∠ABC是三角形ABC的两个内角，所以∠ABC=90°-∠BAC=90°-30°=60°。因此，∠ACD=90°+60°=150°。

例题3：在三角形ABC中，∠BAC=40°，∠ABC的外角是∠ACD，且∠ACD=100°，求∠BCA的度数。

解答：根据外角定理，∠ACD=∠ABC+∠BCA。因此，∠BCA=∠ACD-∠ABC=100°-∠ABC。由于三角形ABC的三个内角之和为180°，所以∠ABC=180°-∠BAC-∠BCA=180°-40°-(∠ACD-∠ABC)=140°-∠ACD=140°-100°=40°。所以∠BCA=100°-40°=60°。

例题4：在三角形ABC中，∠ABC的外角∠ACD与∠ACB的度数之差是30°，且∠ACB是三角形ABC中最大的内角，求∠ACB的度数。

解答：设∠ACB=x，则∠ACD=x+30°。由于∠ACD是∠ABC的外角，所以∠ACD=∠ABC+∠BAC。又因为∠ACB是最大的内角，所以∠BAC<∠ABC<∠ACB。根据三角形内角和定理，x+∠ABC+∠BAC=180°。由于∠ACD=∠ABC+∠BAC，所以x+30°=x+∠ABC+∠BAC=180°。因此，∠ABC+∠BAC=150°。由于∠ABC<∠ACB，所以∠BAC<30°。因此，∠ACB=x=150°-∠BAC>120°。

例题5：在三角形ABC中，∠BAC=45°，∠BCA的外角∠ACD=135°，求∠ABC的度数。

解答：由于∠ACD是∠BCA的外角，所以∠ACD=∠BCA+∠ABC。因此，∠ABC=∠ACD-∠BCA=135°-∠BCA。由于三角形ABC的三个内角之和为180°，所以∠BCA=180°-∠BAC-∠ABC=180°-45°-(135°-∠BCA)。解这个方程，得到∠BCA=180°-45°-135°+∠BCA=∠BCA-45°。因此，∠BCA=90°。所以∠ABC=135°-90°=45°。板书设计①三角形内角和定理：三角形内角和为180度。

②三角形外角的定义：三角形的一个内角的邻补角称为这个内角的外角。

③三角形外角定理：三角形的一个外角等于它不相邻