2024-2025学年湖南省长沙市某中学高二（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖南省长沙市望城一中高二(上)开学数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.苧cosl5。+苧sini5°=()

A号B4D

2-1

2.若集合4={x||2比一1|>3},B={x|(2x+l)(x-3)<0},则4。3是()

1

A.{%|-1V%<—5或2<%<3]B.{%|2<%<3]

1

C.{x|-1<%V——}D.{x|--<%<2]

3.已知函数/。)的部分图象如如图所示，则/(%)的解析式可能是()

A./(x)=|^

2

B"⑺得x+l

X2+2

C.f(%)=

e-x-ex

D-f(x)=追­cosx

4.在四面体4BCD中，点M,N满足宿=2而，丽=2而，若而=x^+y冠+z同，贝收+y+

Z=()

111

A.——B.-C.—D.1

5.已知tan(a-J)=]tan(a+/?)=/则tan(0+J)=()

313I13

A-22B.而C.-D.-

6.四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没

有出现点数6的是()

A.平均数为3,中位数为2B.中位数为3,众数为2

C.平均数为2,方差为2.4D.中位数为3,方差为2.8

7.在正四棱柱力BCD中，AB=/2,AA1=2,设四棱柱的外接球的球心为。，动点P在正方形

4BCD的边上，射线。P交球。的表面于点M,现点P从点4出发，沿着力-BTCTD—A运动一次，则点

M经过的路径长为()

4/27T8/27T

B.2/2?rD.4vl兀

33

8.如图，边长为2的正方形ABCD中，P,Q分别为边BC,CD上的点，AP-^Q=2|PQ|-则*+焉的最大

值为（）

A.1

B.

3/2

D.罢

二、多选题:本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知复数zi的虚部与Z2的实部均为2,则下列说法正确的是（）

A.Zi是虚数

B.若㈤=\z2\=2,则Z]=z2

C.若Zi=Z2,则Z1与Z2对应的点关于％轴对称

D.若Z1/2是纯虚数，则㈤=\z2\

10.一口袋中有大小和质地相同的5个红球和2个白球，则下列结论正确的是（）

A.从中任取3球，恰有一个红球的概率是：

B.从中有放回的取球3次，每次任取一球，恰好有两个白球的概率为言

C.从中不放回的取球2次，每次任取1球，若第一次已取到了红球，则第二次再次取到红球的概率为|

D.从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到白球的概率为瑞

11.已知平行六面体ABCD-4B1C1D1的棱长均为1,ADAB=^AB=^AXAD=60°,E,F分别是棱

BiG和GA的中点，P是4G上的动点，则下列说法正确的是（）

A.&C=42

B.若AP=”的，贝必iP〃面EFC

C.若4P=3PG，贝LlffiEFC

D.若M是线段&D的中点，N是线段EF上的动点，则MP+PN的最小值是孚

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知函数/(久)=若函数y=/(久)-仅有一个零点，则实数TH的值是.

13.《中国居民膳食指南(2022)》数据显示，6岁至17岁儿童青少年超重肥胖率高达19.0%.为了解某地中学

生的体重情况，某机构从该地中学生中随机抽取100名学生，测量他们的体重(单位：千克)，根据测量数

据，按[40,45),[45,50),[50,55),[55,60),[60,65),[65,70]分成六组,得到的频率分布直方图如图所

示，根据调查的数据，估计该地中学生体重的50%分位数是.

f频率/组距

0.08-..............I—)

s

S

OS.

。40455055606570体重/千克

14.已知一个圆台的侧面积为356兀，下底面半径比上底面半径大1,母线与下底面所成角的正切值为7,

则该圆台的外接球(圆台的上、下底面圆周上的点均在球面上)的体积为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

已知X,丫两组各有5位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下：

X组：10,11,12,13,14,y组：12,13,15,14,a

假设所有病人的康复时间相互独立，从x,丫两组随机各选1人，x组选出的人记为甲，丫组选出的人记为

乙.

(1)如果a=8,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；

(2)如果a=16,事件M：“甲康复时间为11天”，事件N：“甲乙康复时间之和为25天”，事件M,N是

否相互独立？

16.(本小题15分)

如图所示，己知CE_L底面ABC,乙ABC=pAB=BC=2CE,AAJ/=BBr//=2CE,。为BC的中点.

(1)若CE=1,求三棱锥E-ADC的体积.

(2)求证：DE1ArC；

17.(本小题15分)

已知函数/(%)=ln(e2x+1)—%.

(1)当X20时，函数g(%)=/(%)-％-a存在零点，求实数。的取值范围；

(2)设函数h(%)=ln(?n•e%-2血)，若函数/(%)与九(%)的图象只有一个公共点，求m的取值范围.

18.(本小题17分)

在△ABC中，内角力，B,C的对边分别为a,b,c,且2cosc=空巴史乎已

sinA

(1)求角4

(2)点P在边BC上，S.AP1AB,AP=2,求△4BC面积的最小值.

19.(本小题17分)

2

已知正实数集力={a1,a2,…，an},定义：A={%引七吗E4}称为4的平方集,记71(4)为集合力中的元素个

数.

(1)若4={1,2,3,4},求集合弟和打缶2)；

(2)若71(22)=2016,求n(a)mm；

(3)求证：n(42)>2n(X)-1,并指出取等条件.

参考答案

1.71

2.5

3.2

4.C

5.4

6.C

7.A

8.B

9.ABD

10.AC

U.ACD

12.0

13.53.75

500

14.-^-7T

15J?：(1)当a=8时，从X,丫两组随机各选1人，

样本空间。={(%,y)|xe{10,11,12,13,14],y6(12,13,15,14,8}),共有25种，

甲的康复时间比乙的康复时间长的情况有{(10,8),(11,8),(12,8),(13,12),(13,8),(14,12),(14,13),

(14,8)},共8种，

所以概率为蔡.

(2)当a=16时，P(M)=

事件N的情况有{(10,15),(11,14),(12,13),(13,12)},共4种，则P(N)=去

事件MN：“甲康复时间为11天且甲乙康复时间之和为25天”的情况为(11,14),则P(MN)=装，

।144

因此P(M)P(N)=-x—=—^P(MN),

D乙。乙。

所以事件M,N不相互独立.

16.1?：(1)当CE=1时，根据题意可得，AB=BC=2CE=2,

^E-A^D=5_ECO，

•••AAr//CE,A4i〃平面CDE,

•••三棱锥E-aDC的体积：

111

1112

-X-XXX--

^E-A^D~匕「ECO=3XS^ECDXAB323

证明：(2)连接/C,交DE于F,

•・•CE1面ABC,AAJ/BBJ/CE,

・•.BBi1BC,CE1BC,BrBC^\LEC。为直角三角形，

又BB、=BC,CE=泌=DC,

・•.乙B、CB=乙EDC=45。，

・•・乙CFD=90°,即DE1BC

又CEJ_底面ABC,/-ABC=p

・•・CELAB,AB1BC,・•・ABi.^BrBCE,

OEu面B/CE,AB1DE,

又A^BJIAB,A1B11DE,

vA1B1nBiC=Bi，・•.DE1面//修，又/传u面418c

・•.DE1ArC.

17.解：(1)v/(%)=ln(e2x+1)—%,当%>0时,

函数g(%)=f(x)-x-Q存在零点，

即a=ln(e2x+1)—2%在%6[0,+8)时有解,

设0(x)=ln(e2x+1)—2x(%>0),

即0(%)=In(万+1),v%>0,1<^7+1<2,(p(x)e(0,ln2],

即实数a的取值范围为(0,ln2].

(2)若函数/(%)与/i(%)的图象只有一个公共点，

则关于％的方程ln(m•ex—2m)=ln(e2x+1)—%只有一解，

・•・m•ex-2m=ex+?一”只有一解，令t=ex(t>0),

得关于t的方程(zn-l)t2-2mt-1=0有一正数解，

①当机=1时，方程的解为t=-a不合题意；

②当TH>1时，则』=47n2+4(m—1)>0恒成立,

ti-t2=——L＜o,.,.此方程有一正一负根，负根舍去，满足题意；

x4m-1

③当时，满足420的情况下，因为以"2=-高＞0，。，^2同号，所以得满足L=12＞。，

只需4m2-4(m-1)x(-1)=0,且染有＞0,

解得根=匚”；

综上，实数zn的取值范围为或7n＞1}.

18.解：(1)由2cosc=空吧警，根据正弦定理与余弦定理，可得2x。2+庐-，2=吐,

sinA2aba

整理得炉+©2—a2=一A,所以COS&="+/-〃=—工,结合。＜4＜兀，可得4=亭；

2bc23

(2)设NZBP=3,则乙4cB=7T—Z-BAC—0=^—0,

因为2814P,ABAC=V-NP4C=*，结合4P=2,可得BP=鉴=马，

36smdsmd

ADpri71

在△力CP中，由正弦定理得sing_8)=藐，解得PC=sinG-ey所以+PC=三3+而甲p

过4点作BC的垂线，垂足为M,设AABC的面积为S,

A

BMPC

因为NP4M+乙BAM=^ABM+ABAM=所以NPHM=^.ABM=9,可得AM=APcosd=2cos0,

所以S=2xAMxBC=cos。(焉+-^)=cosd-‘讥'洛)

ny[3cos073<38AT3